不確定性原理的推導(dǎo)

不確定性原理的推導(dǎo)一、（普遍的）不確定性原理推導(dǎo):對(duì)于任意一個(gè)可觀測(cè)量A,有（見(jiàn)（12）式）：b=（（A一⑷艸|（A-⑷艸）={f\f）（1）式中：/三（2—〈4〉）0同樣地，對(duì)于另外一個(gè)可觀測(cè)量B，有：^=（s\g）式中：g三（斤一〈3））0由施瓦茨不等式（見(jiàn)（16）式），有：TOC\o"1-5"\h\zb樹(shù)珂/V〉〈g|g〉哥/|g〉「⑵對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)Z（見(jiàn)（17）式）：|^|2=［Re（z）］24-［hn（z）］2＞［hn（z）］2=［l（^-f（3）2z令z=〈/|g〉，⑵式：b；&彳寺［〈彳g）-〈g|。］）⑷又〈/1g〉=-（A））y/〔（A-何）肖）彳叫（人一⑷）（斤一何）0）彳叫應(yīng)一期巧一斤⑷+⑷何）0）=〈”亦P）一⑷〈”2p）+⑷（P6”）+⑷〈B〉（p|p〉=〈碼-⑴⑷-⑷9〉+⑷0〉類(lèi)似有:〈川g〉彳刼）-（對(duì)〈可（9）（9）（9）（9）所以⑴昉⑵刀彳碼-俾）可）（5）式中對(duì)易式：[入力]三—麗把（5）代入（4）,得（普遍的）不確定性原理：（6）二、位置與動(dòng)量的不確定性設(shè)測(cè)試函數(shù)幾I）,有（見(jiàn)（23）式）：["]/⑴+曹（/）一葺時(shí)）h（Jidfhdvhdf}

i\idridvicLrJ=（7）去掉測(cè)試函數(shù)，則:A=X.B=/?t把（8）代入（6）：>->-由于標(biāo)準(zhǔn)差是正值，所以位置與動(dòng)量的不確定性:(11)(11)(11)(11)三、時(shí)間與能量的不確定性由（見(jiàn)（24）式）：(10)叮加-⑴(10)可得：b、Qp=加—⑴，加卜3所以時(shí)間與能屋的不確定性：(18)(18)附：1、數(shù)學(xué)符號(hào)及常量〈X〉:X的平均值〈&|0〉：矢量（函數(shù)）a和0的點(diǎn)積（內(nèi)積）j的不確定程度，即丿?的標(biāo)準(zhǔn)差hxh=—,其中A=6.6260693（11）1034Js為普朗克常量2龍/：z2=-l2、有關(guān)公式推導(dǎo)⑴式：洞0〈0）洞0〈0）巧⑵式：對(duì)于|何0〉「和9|?〈0|0）設(shè)67=（心呂,兀,???爲(wèi)），0=（兒兒,兒，…,兒）則I〈a|0）『=g+?耳兒+5兒+???+￡y,,）2〈a|a〉=（彳+三+丘+…+兀）〈0|0〉=（）￡+￡+）￡+???+￡）(12)(13)(14)(15)構(gòu)造方程:構(gòu)造方程:(兀一y\)2+(tx2-y2)2+(血一y3)2+???+(%—yn)2=0其中/為未知數(shù)顯然，該方程最多僅有一個(gè)對(duì)f的解該方程可寫(xiě)為：（彳+丘+￡+-+x；）t2-2（i+x2y2+禺兒+???+?！眱海?『+（y；+y；+yl+???+y；）=o因?yàn)槠浣庵挥衞或i個(gè)，所以△§（）：4（砒+無(wú)兒+耳兒+???+X”兒）'—4（對(duì)+疋+￡+???+兀：）$：+）弓+yl+???+￡）<0把（12）、（13）、（14）式代入，得：|00〉『<?口〉〈0|0〉（⑹⑶式：設(shè)z=ci+ib則[￡(“/)]—#[("ib)-(a-ib)]2=-^(2ib)2=b2[Im⑵]7所以(17)[Im⑵F=[￡(Z+M(17)2i（6）式：薛定愕方程:加竺一乂竺+艸dt2mdx^可以寫(xiě)做:dt2mdx^h及其共軌式:更L一匹—

dt2mdx^h所以又由（13）、（14）式，有:利用分部枳分公式：（15）式可以寫(xiě)為ill2wddx對(duì)第二項(xiàng)再分部積分,所以:dx2dx2ih2m(19)⑴二匚訓(xùn)血ihr2〃」OX—

dtdxdx"執(zhí)T篇妙+就d/PcLrdxdxi消去邊界項(xiàng)（在±8處P趨于0）,得:dx（P）=//7（V）=d/(20)(21)(22)(23)(23)(23)(23)則有（6）式中的（兒”為算符）:x=X<tl0

p=idx（9）式：b彳⑷）>工（4/療（力=工C/-⑺井U）=E（/-2j（；hO）2）P（j）=工『p?-2⑴工jpe+uY工