自貢市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

自貢市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，，下列不等式正確個(gè)數(shù)有（）①，②，③，④.A.1 B.2C.3 D.42．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺更自然、更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用表示黃金分割點(diǎn).若照片長、寬比例為，設(shè)，則（）A. B.C. D.4．設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.函數(shù)的值域?yàn)?B.函數(shù)是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.在定義域上是單調(diào)函數(shù)5．如果直線和同時(shí)平行于直線x-2y+3=0，則a,b的值為A.a= B.a=C.a= D.a=6．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)（）A.(－2，0) B.(－1，0)C.(0，－1) D.(－1，－2)7．已知函數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.8．若定義在上的函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t取值范圍是（）A. B.C. D.9．為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，遵義市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，下表是年遵義市每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系表．假設(shè)居住在遵義市的艾世宗一家年共繳納的水費(fèi)為元，則艾世宗一家年共用水（）分檔戶年用水量綜合用水單價(jià)/（元）第一階梯（含）第二階梯（含）第三階梯以上A. B.C. D.10．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在單位圓上按逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周.若的初始位置坐標(biāo)為，則運(yùn)動(dòng)到分鐘時(shí)，的位置坐標(biāo)是（）A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)則__________.12．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)______.（注：不是常數(shù)函數(shù)）①；②.13．我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)．請寫出一個(gè)在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)：________________14．寫出一個(gè)周期為且值域?yàn)榈暮瘮?shù)解析式：_________15．已知長方體的長、寬、高分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是________.16．函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知（其中a為常數(shù)，且）是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，若這個(gè)唯一的實(shí)數(shù)根為，試比較與的大小.18．已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍；（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間及最大值（2）設(shè)函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．已知函數(shù)⑴判斷并證明函數(shù)的奇偶性；⑵若，求實(shí)數(shù)的值.21．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】由于，得，根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可【題目詳解】因，，，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，②對(duì)；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，①對(duì)；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，③對(duì)；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，④對(duì)故選：D2、A【解題分析】根據(jù)的單調(diào)性求得正確答案.【題目詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增，，即.故選：A3、B【解題分析】依題意可得，即可得到，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得；【題目詳解】解：依題意，所以，所以故選：B4、D【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，值域，可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)是正確的；又，，所以在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在定義域內(nèi)恒成立，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的；因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)是正確的.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性性，奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】由兩直線平行時(shí)滿足的條件，列出關(guān)于方程，求出方程的解即可得到的值.【題目詳解】直線和同時(shí)平行于直線，，解得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩條直線平行的充要條件，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，即求得的圖象所過的定點(diǎn)，得到答案【題目詳解】由題意，函數(shù)且，令，解得，，的圖象過定點(diǎn)故選：A7、D【解題分析】由判斷取值范圍，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【題目詳解】，所以，則為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為，選擇D【題目點(diǎn)撥】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷遵循“同增異減”的原則，所以需先判斷構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再判斷原函數(shù)的單調(diào)性8、C【解題分析】作函數(shù)圖象，觀察圖象確定m的范圍.【題目詳解】函數(shù)的圖象是對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為的開口向上的拋物線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作其圖象，如圖所示：又函數(shù)在上值域?yàn)椋杂^察圖象可得∴取值范圍是，故選：C.9、B【解題分析】設(shè)戶年用水量為，年繳納稅費(fèi)為元，根據(jù)題意求出的解析式，再利用分段函數(shù)的解析式可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)戶年用水量為，年繳納的稅費(fèi)為元，則，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故選：B10、A【解題分析】根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形求出3分鐘轉(zhuǎn)過角度，由此計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周,則運(yùn)動(dòng)到分鐘時(shí)，其轉(zhuǎn)過的角為，如圖，設(shè)與x軸正方向所成的角為，則與x軸正方向所成的角為，的初始位置坐標(biāo)為，即，所以，即.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】先求，再求的值.【題目詳解】由分段函數(shù)可知，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題型.12、【解題分析】根據(jù)函數(shù)值以及函數(shù)的周期性進(jìn)行列舉即可【題目詳解】由知函數(shù)的周期是，則滿足條件，，滿足條件，故答案為：（答案不唯一）13、(答案不唯一)【解題分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即得.【題目詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴函數(shù)可為.故答案為：.14、【解題分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和值域，在三角函數(shù)中確定一個(gè)解析式即可【題目詳解】解：函數(shù)的周期為，值域?yàn)?，則的值域?yàn)?，故答案為：15、【解題分析】長方體的外接球的直徑就是長方體的對(duì)角線，求出長方體的對(duì)角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積【題目詳解】長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，所以長方體的對(duì)角線就是球的直徑，長方體的對(duì)角線為：，所以球的半徑為：，則這個(gè)球的表面積是：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)知識(shí)，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對(duì)角線的轉(zhuǎn)化是本題的解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，空間想象能力16、【解題分析】由可得圖像所過的定點(diǎn).【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，故的圖像過定點(diǎn).填.【題目點(diǎn)撥】所謂含參數(shù)的函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，是指若是與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，則函數(shù)的圖像必過.我們也可以根據(jù)圖像的平移把復(fù)雜函數(shù)的圖像所過的定點(diǎn)歸結(jié)為常見函數(shù)的圖像所過的定點(diǎn)（兩個(gè)定點(diǎn)之間有平移關(guān)系）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由偶函數(shù)的定義得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，進(jìn)而整理得恒成立，故；（2）設(shè)，進(jìn)而得唯一實(shí)數(shù)根，使得，即，故，再結(jié)合得得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，所以，即，【小問2詳解】解：設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，使得，又在上單調(diào)遞減，所以存在唯一實(shí)數(shù)根；因?yàn)?，所以，又，所以，所?所以18、（1）或；（2）存在，且的取值范圍是.【解題分析】（1）分、兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)可出關(guān)于的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分、、、四種情況討論，分析兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，或，即或，解得：或或.綜上：或.【小問2詳解】解：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的使得，此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的交點(diǎn)，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則，，所以，在上恒成立，此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】（1）首先確定的定義域，將其整理為，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法得到單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求得最值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可將恒成立不等式轉(zhuǎn)化為，采用分離變量法可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求得，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，的定義域?yàn)?；，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；由單調(diào)性可知：.【小問2詳解】在上恒成立，，即，在上恒成立，；令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和最值的求解、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)?duì)數(shù)函數(shù)值之間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立問題的求解，進(jìn)而可采用分離變量的方法或討論二次函數(shù)圖象的方式來進(jìn)行求解.20、（1）（2）【解題分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可；（2）是奇函數(shù),則結(jié)合，求解代入求解即可.【題目詳解】(1)解：是奇函數(shù).證明：要等價(jià)于即故的定義域?yàn)樵O(shè)任意則又因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù).(2)由(1)知，是奇函數(shù),則聯(lián)立得即解得21、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】(