2022年天津田莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年天津田莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知

，猜想的表達(dá)式為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知為定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意總有，則下列大小關(guān)系一定正確的是(

)A．

B．

C.

D．參考答案：A3.在正方體中，面對(duì)角線與體對(duì)角線所成角等于A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A．i

B．－i

C．2+i

D．2－i參考答案：B由題意，復(fù)數(shù)滿足，故選B．

5.直線（為參數(shù)）被曲線截得的弦長(zhǎng)為（）A．

B．

C．D．參考答案：D6.直線與圓的位置關(guān)系是（

）

A．相離B．相切C．相交D．不能確定參考答案：C7.為了在運(yùn)行下面的程序之后得到輸出y＝16，鍵盤輸入x應(yīng)該是（

）A．或

B．

C．或

D．或參考答案：C8.函數(shù)，那么任取一點(diǎn)，使的概率為(

)

A．0.5

B．0.6

C．0.7

D．0.8

參考答案：C略9.若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是(

)．A.130 B.140 C.150 D.160參考答案：D設(shè)直四棱柱中，對(duì)角線，因?yàn)槠矫?平面，所以，在中，，可得,同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得互相垂直平分，所以，即菱形的邊長(zhǎng)為，因此，這個(gè)棱柱的側(cè)面積為，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了四棱錐的側(cè)面積的計(jì)算問題，解答中通過給出的直四棱柱滿足的條件，求得底面菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出底面菱形的底面周長(zhǎng)，即可代入側(cè)面積公式求得側(cè)面積，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，其中正確認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵.10.設(shè)，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)的最小值為，則

參考答案：12.若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長(zhǎng)為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積．參考答案：13.命題：若a>2,則a>4的逆否命題為

。參考答案：略14.某個(gè)電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下，第二次閉合閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為________.參考答案：.【分析】先記“第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件，根據(jù)條件概率計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】記“第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件，則，，所以，在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下，第二次閉合閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率，熟記條件概率的計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.15.若函數(shù)f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，則a的取值范圍為

．參考答案：[﹣2，1）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】由題意求導(dǎo)f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；從而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)，在（﹣1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案為：[﹣2，1）．16.如果復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

.參考答案：2∵復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，∴，∴=2故答案為：2

17.在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在直線ρcosθ+ρsinθ=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為．參考答案：（1，）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】求出動(dòng)點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB垂直于直線x+y=0，由此能求出點(diǎn)B的極坐標(biāo)．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直線ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，0），∴在直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，0），∵動(dòng)點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB垂直于直線x+y=0，∴kAB=，設(shè)直線AB為：y=（x﹣2），即x﹣﹣2=0，…②，聯(lián)立方程①②求得交點(diǎn)B（），∴ρ==1，tan==﹣，∴θ=．∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（1，）．故答案為：（1，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=﹣alnx（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；（2）通過討論a的范圍，若滿足f（x）在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣alnx，得f′（x）=x﹣=（x＞0），①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極大值，也無極小值；②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=或x=﹣（舍去）．于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）遞減遞增所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）．函數(shù)f（x）在x=處取得極小值f（）=，無極大值．綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），函數(shù)既無極大值也無極小值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），函數(shù)f（x）有極小值，無極大值．（2）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2]上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（）=．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，即整理得，所以e＜a≤．故所求a的取值范圍為（e，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）求在上的最大值和最小值．參考答案：見解析解：（I）∵，∴，，所以切線方程為：，即：．（），令，得；令，得．∴單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（）時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，，．∴，∴．20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，若，求的值.參考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，得到，即可求出最小正周期；（2）先由，得到，再由，即可確定結(jié)果.【詳解】（1）所以最小正周期（3）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以或，則或.【點(diǎn)睛】本題主要考查求三角函數(shù)的最小正周期，以及由三角函數(shù)值求角的問題，熟記三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.21.（本小題滿分14分）用總長(zhǎng)14.8m的鋼條做一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊長(zhǎng)比另一邊長(zhǎng)多0.5m，那么高是多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．參考答案：解：設(shè)該容器底面矩形的短邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為m，此容器的高為，

……………4分于是，此容器的容積為：，

……………6分其中，

…………8分即，得，（舍去），………10分因?yàn)?，在?nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且時(shí)，，函數(shù)遞增；時(shí)，，函數(shù)遞減；