2022年江西省萍鄉(xiāng)市南坑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年江西省萍鄉(xiāng)市南坑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合,則

（）A． B． C． D．參考答案：A2.若，則

Ks5uA．

B．

C．

D．參考答案：A略3.若集合，則集合A. B. C. D.R參考答案：C略4.公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（

）

參考答案：選5.已知一條拋物線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，其中，，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】不妨設(shè)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，代入解出，即得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)，則，即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離是，選B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)方程及其性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基本題.6.(07年全國(guó)卷Ⅱ文)已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的底面邊長(zhǎng)的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A解析：已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的底面邊長(zhǎng)的2倍，設(shè)底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，連接頂點(diǎn)與底面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長(zhǎng)為，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于，選A。7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）.A．

B．

C．

D．4參考答案：B

【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2解析：根據(jù)該幾何體的三視圖可得該幾何是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×4×2=4，棱錐的高h(yuǎn)=1，故棱錐的體積V=Sh=，故選：B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)該幾何體的三視圖可得該幾何是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，求出棱錐的底面積和高，代入棱錐體積公式可得答案．8.已知0<a<b<l．則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}，則A∩B=（）A．{x|﹣8＜x＜2} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}={x|﹣8＜x＜2}，A∩B={0，1}．故選：C．10.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則＝A．1

B．－1

C．2

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若隨機(jī)地從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)恰好為一奇一偶的概率為．參考答案：．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩個(gè)數(shù)恰好為一奇一偶包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)數(shù)恰好為一奇一偶的概率．【解答】解：隨機(jī)地從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)n=，這兩個(gè)數(shù)恰好為一奇一偶包含的基本事件個(gè)數(shù)m==6，∴這兩個(gè)數(shù)恰好為一奇一偶的概率p==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．12.設(shè)全集U=R，A=則AB=________．參考答案：13.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是．參考答案：16考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專(zhuān)題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算b值，并輸出，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得到答案．解答：解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示：a

b

是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前

1

1/第一圈

2

2

是第二圈

3

4

是第三圈

4

16

否則輸出的結(jié)果為16故答案為：16．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫(xiě)程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程是解答此類(lèi)問(wèn)題最常用的辦法．14.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an﹣an﹣1=n（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

．參考答案：n（n+1）【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由已知得an﹣an﹣1=n（n≥2），由此利用累加法能求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an﹣an﹣1=n（n≥2），（n≥2），∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1=1+2+3+4+…+n=n（n+1），故答案為：．15.在區(qū)間和分別取一個(gè)數(shù),記為,則方程表示離心率大于的雙曲線(xiàn)的概率為

．參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)H6解析：∵方程表示離心率大于的雙曲線(xiàn)，∴＞，∴b＞2a，它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：則方程表示離心率大于的雙曲線(xiàn)的概率為：P===，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】當(dāng)方程表示離心率大于的雙曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率大于的雙曲線(xiàn)時(shí)，計(jì)算出（a，b）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積大小和區(qū)間和分別各取一個(gè)數(shù)（a，b）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．16.已知函數(shù)，則函數(shù)的值為_(kāi)___________.參考答案：17.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：本題主要考查平面向量的運(yùn)算.因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)楣仕栽谏系耐队盀?三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知F1、F2是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（﹣1，）在橢圓上，線(xiàn)段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿(mǎn)足+=；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）⊙O是以F1F2為直徑的圓，一直線(xiàn)l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)=λ且滿(mǎn)足≤λ≤時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）由圓O與直線(xiàn)l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此能求出△AOB面積S的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵+=，∴點(diǎn)M是線(xiàn)段PF2的中點(diǎn)，∴OM是△PF1F2的中位線(xiàn)，又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（Ⅱ）∵圓O與直線(xiàn)l相切，∴，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線(xiàn)l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△＞0，∴k2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2==λ，∴，∴，解得：，S=S△AOB===，設(shè)μ=k4+k2，則，S=，，∵S關(guān)于μ在[]上單調(diào)遞增，S（）=，S（2）=．∴．19.（本小題12分）已知橢圓的離心率，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）M為過(guò)P且垂直于軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)？參考答案：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓的方程為，

…………1分∵直線(xiàn)與圓相切，∴，即，

…………2分又，即，，解得，，…………3分∴

橢圓方程為．

…………4分

（Ⅱ）設(shè)，其中．由已知及點(diǎn)在橢圓上可得，整理得，其中．

………………6分①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，

…7分∴點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線(xiàn)段；……8分②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，

……9分當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足的部分；

……………10分當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足的部分；

……………11分當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上的橢圓。

……………12分20.已知函數(shù)，，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)(2)試題分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值等基礎(chǔ)知識(shí)及分類(lèi)討論思想，也考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力及計(jì)算能力.第一問(wèn)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)求得實(shí)數(shù)a的值；第二問(wèn)對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價(jià)于對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷函數(shù)f(x)、g(x)的單調(diào)性并求其在定義域范圍內(nèi)的最值，判斷單調(diào)性時(shí)可對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，則可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．試題解析：(1)∵h(yuǎn)(x)＝2x＋＋lnx，其定義域?yàn)?0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝時(shí)，x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴a＝.(2)對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價(jià)于對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g′(x)＝1＋＞0.∴函數(shù)g(x)＝x＋lnx在[1，e]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時(shí)，f′(x)＝＞0，∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，e]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合題意．②當(dāng)1≤a≤e時(shí)，若1≤x≤a，則f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，則f′(x)＝＞0.∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，a)上是減函數(shù)，在(a，e]上是增函數(shù)．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥.又1≤a≤e，∴≤a≤e.③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時(shí)f′(x)＝＜0，函數(shù)f(x)＝x＋在[1，e]上是減函數(shù)．∴f(x)min＝f(e)＝e＋.由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.綜上所述，a的取值范圍為[，＋∞)．考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值；2.分類(lèi)討論思想.21.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定義h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若g（x）=lnx，試討論函數(shù)h（x）（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在x∈[1，2]上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…設(shè)，∵對(duì)x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，的最大值為4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值為，①當(dāng)，即a＞2時(shí)，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)…②當(dāng)，即a=2時(shí)，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)…③當(dāng)，即0＜a＜2時(shí)，設(shè)φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．當(dāng)0＜x≤x0時(shí)，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）為減函數(shù)，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（