2022-2023學年江蘇省連云港市高一年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省連云港市高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．計算的結果是（

）A． B．1 C． D．i【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算以及復數(shù)的乘法化簡，即可得出答案.【詳解】.故選：D.2．已知甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，每天一人，則甲排在乙前面值班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，寫出所有值班的排法及甲排在乙前面值班的排法，進而根據(jù)公式求出答案即可.【詳解】因為甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情況有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6種，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3種，故甲排在乙前面值班的概率為.故選：C.3．設，是單位向量，若，則的值為（

）．A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律，將展開，計算結果.【詳解】因為，是單位向量，且，所以，，所以故選：A.4．為激發(fā)中學生對天文學的興趣，某校舉辦了“2022～2023學年中學生天文知識競賽”，并隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．直方圖中的值為0.035B．估計全校學生的平均成績不低于80分C．估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分D．在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數(shù)為10【答案】B【分析】根據(jù)各頻率和為1可求，故可判斷A的正誤，根據(jù)公式可求均值，故可判斷B的正誤，根據(jù)前4組的頻率之和可求60百分位數(shù)，故可判斷C的正誤，根據(jù)區(qū)間對應的頻率可求對應的人數(shù)，故可判斷D的正誤.【詳解】由頻率分布直方圖可得，故，故A錯誤.由頻率分布直方圖可得全校學生的平均成績估計為：，故B正確.前4組的頻率為，故全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)大于，故C錯誤.區(qū)間對應的頻率為，故對應的人數(shù)為，故D錯誤.故選：B.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知切化弦化簡，結合二倍角公式可推得，然后變?yōu)檎嘞业凝R次式化簡運算，即可得出答案.【詳解】由可得，，整理可得，，所以有，所以，所以，.故選：D.6．在長方體中，已知，，則和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，在長方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，，所以和所成角等于與所成的角，在中，，，則，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值為.故選：B.7．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)5的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．中位數(shù)為3，方差為1.2 D．平均數(shù)為2，方差為1.6【答案】D【分析】舉特例，結合中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案.【詳解】對于A項，若試驗結果為1，2，2，5，5，則滿足題意，故A項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于B項，若試驗結果為2，2，3，4，5，則滿足題意，故B項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于C項，若試驗結果為2，2，3，3，5，則平均數(shù)為，方差為滿足題意，故C項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于D項，若試驗結果中有5，則方差大于等于，故D項不可以出現(xiàn)點數(shù)5.故選：D.8．已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，推得球心的位置，求出正方體的高與斜高.根據(jù)相似三角形，得出方程，即可求出球的半徑，得出答案.【詳解】

如圖，正四面體，設點是底面的中心，點是的中點，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設為.則易知，，設球的半徑分別為.因為，根據(jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)已知，判斷出球心的位置，構造直角三角形.9．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，求出，，的值，即可得出答案.【詳解】拋擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的等可能得結果為4個，其中包括“兩個正面”的結果為1個，所以；包括“兩個反面”的結果為1個，所以；包括“一正一反”的結果為2個，所以.所以，A項錯誤；B、C、D正確.故選：BCD.二、多選題10．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角為 D．向量在上的投影向量為【答案】BD【分析】根據(jù)向量模長的坐標計算即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可判斷B,由夾角公式可判斷C，由投影向量的求解公式可判斷D.【詳解】，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD11．在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．線段最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得出平面平面，則根據(jù)已知得出點在線段上（含端點），對于選項A：當為時，根據(jù)異面直線的平面角結合正方體的性質(zhì)得出與的夾角為，根據(jù)已知得出的三邊，即可得出為，即可判斷；對于選項B：三棱錐若以為頂點，為底面時，根據(jù)正方體性質(zhì)得出此時三棱錐的高為2，底面積為2，即可得出體積判斷；對于選項C：點在線段上（含端點），則時，線段最小，根據(jù)等面積法求出答案即可判斷；對于選項D：根據(jù)正方體性質(zhì)結合已知可得，則，即可根據(jù)的范圍得出的范圍判斷.【詳解】取、中點分別為、，連接、、、，，如下圖：為正方體，，，，，平面，平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于選項A：當為時，，則與的夾角為，此時，則，則與不垂直，故A錯誤；對于選項B：為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于選項C：點在線段上（含端點），當時，線段最小，，，在邊上的高為，則，則當時，即，故C正確；對于選項D：為正方體，平面，平面，，為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當最小時，即，此時，此時最大，為，則的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.12．設點是的外心，且（，），則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若是正三角形，則D．若，，，則四邊形的面積是17【答案】ACD【分析】分別根據(jù)平面向量三點共線定理及三角形外心的性質(zhì)判斷即可求解.【詳解】對選項A：因為，則，，三點共線，且點是的外心，所以，所以為中點，所以是以為直角頂點的直角三角形，故A正確；對選項B：因為，則，，三點共線，易知是以為直角頂點的直角三角形，且為的中點，則，，故B錯；對選項C：因為是正三角形，則也是的重心，故，則，故C對；對選項D：因為，故在外，又，所以，又，，則，故D對.故選：ACD.三、填空題13．設，，若為實數(shù)，則m的值為.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，然后根據(jù)復數(shù)的概念列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因為為實數(shù)，所以，解得.故答案為：.14．在中，，，則的值為.【答案】1【分析】根據(jù)誘導公式以及兩角和的正切公式，化簡即可得出答案.【詳解】.故答案為：1.15．如圖，用，，三種不同元件連接成系統(tǒng)S，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響.當元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.6，0.5，0.5，則系統(tǒng)S正常工作的概率為.

【答案】/【分析】根據(jù)獨立事件以及對立事件的概率公式求出元件，中至少有一個正常工作的概率為，然后即可根據(jù)獨立事件概率的乘法公式，得出答案.【詳解】由已知可得，，都不能正常工作的概率為，所以，元件，中至少有一個正常工作的概率為.所以，元件正常工作且，中至少有一個正常工作的概率為，即系統(tǒng)S正常工作的概率為.故答案為：.16．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點之間的距離為.【答案】【分析】過分別作由題意可求得由二面角的大小為，得到再利用可求得結果.【詳解】過分別作

則二面角的大小為,,,則,即兩點間的距離為.故答案為：.四、解答題17．在中，內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，.已知.(1)求A；(2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）由已知結合正弦定理角化邊，整理根據(jù)余弦定理即可得出，然后根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）方法一：根據(jù)余弦定理得出，根據(jù)基本不等式可得出，整理即可得出，得出答案；方法二：根據(jù)正弦定理得出，.設周長為，表示出周長.然后根據(jù)誘導公式以及輔助角公式化簡可得出.然后根據(jù)的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）在中，由已知結合正弦定理角化邊可得，整理可得，所以.又，所以.（2）方法一：由（1）知，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，，整理可得，所以，故的周長的最大值為12.方法二：由（1）知，所以，，記的周長為，則，由，，得，所以.又，所以當時，.18．甲、乙、丙三人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為，乙譯出密碼的概率為，丙譯出密碼的概率為，求：(1)其中恰有一人破譯出密碼的概率；(2)密碼被破譯的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）設出事件，根據(jù)互斥事件概率加法公式、對立事件概率公式，以及獨立事件概率的乘法公式即可得出答案；（2）根據(jù)已知結合獨立事件概率的乘法公式，求出密碼不能破譯的概率，進而根據(jù)對立事件概率公式，即可得出答案.【詳解】（1）記密碼被甲、乙、丙3人獨立地破譯分別為事件A、、，則，，，，，，記“恰有一人破譯出密碼”為事件，由已知可得，.（2）記“密碼被破譯出”為事件，因為，所以.19．如圖，為了測量河對岸，兩點之間的距離，在河岸這邊取點，，測得，，，，.設，，，在同一平面內(nèi)，試求，兩點之間的距離.（結果保留根號）

【答案】【分析】在中，根據(jù)正弦定理求出，在中，根據(jù)正切求出，在中，由余弦定理得出答案.【詳解】在中，，，則，又，由正弦定理，得.在中，，，則.在中，由余弦定理，得.所以.答：，兩點之間的距離為.20．如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為6的正方形，平面與平面的交線為.

(1)證明：；(2)若平面平面，中邊上的高，，求該幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)60【分析】（1）根據(jù)已知結合線面平行的判定定理推得平面.然后即可根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得出證明；（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證明平面，平面.即可得出，分別為四棱錐和三棱錐的高，求出四棱錐和三棱錐的體積，求和即可得出答案.【詳解】（1）因為是正方形，所以.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）

連接，，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.同理可得平面.又，所以平面.因此，，分別為四棱錐和三棱錐的高，從而.21．已知函數(shù)的最大值為1.(1)求常數(shù)m的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得出，，然后根據(jù)二倍角公式得出的值，根據(jù)兩角差的余弦公式，即可得出答案.【詳解】（1），當，即時，，所以.（2）由（1）知，.由得，，所以.又，所以，所以，所以，，所以.22．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面是邊長為2的正三角形，平面，是的中點.

(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求側面與側面所成二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出.然后根據(jù)線面垂直的判定定理可得出平面，進而得出證明；（2）取的中點，連接，，根據(jù)已知可推得是直線與平面所成的角，，進而得出，.設平面與側面交線為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得出，然后根據(jù)定義法得出是側面與側面所成二面角的平面角.在中，即可得出答案.【詳解】（1）因為平面