2024屆婁底市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆婁底市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．下列說法正確的有（）①兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形.A.1個 B.2個C.3個 D.4個3．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.4．在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點(diǎn)的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.6．已知函數(shù)函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，，，，且，則（）A.1 B.2C.-1 D.7．若條件p：，q：，則p是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知集合，集合，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動.習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動稱為潮流.早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r刻，把發(fā)生在早晨的高潮叫潮，發(fā)生在晚上的高潮叫汐，這是潮汐名稱的由來.下表中給出了某市碼頭某一天水深與時間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計時）.時刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0用函數(shù)模型來近似地描述這些數(shù)據(jù)，則________.12．給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可以得到函數(shù)的圖象；③若是第一象限角且，則；④已知函數(shù)，其中是正整數(shù)．若對任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值是4其中所有正確結(jié)論的序號是________13．如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，則其解析式是________14．已知，，則的最大值為______；若，，且，則______.15．已知圓心角為的扇形的面積為，則該扇形的半徑為____.16．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)，且.（1）求a的值及的定義域；（2）求在區(qū)間上的值域.18．已知實(shí)數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)（，且）.（1）若，試比較與的大小，并說明理由；（2）若，且，，三點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，記的面積為，求的表達(dá)式，并求的值域.20．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若實(shí)數(shù)滿足，求的值.21．已知函數(shù)（其中），函數(shù)（其中）.（1）若且函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若是偶函數(shù)且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，即二次函數(shù)是開口向下的，利用二次函數(shù)的對稱軸與1比較，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性，可以構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍【題目詳解】函數(shù)是定義域上的遞減函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，故；當(dāng)時，為減函數(shù)，由，得，開口向下，對稱軸為，即，解得；當(dāng)時，由分段函數(shù)單調(diào)性知，，解得；綜上三個條件都滿足，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B.【題目點(diǎn)撥】易錯點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中解答時易忽略函數(shù)在整個定義域上為減函數(shù)，則在分界點(diǎn)處（）時，前一段的函數(shù)值不小于后一段的函數(shù)值，考查學(xué)生的分析能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.2、A【解題分析】對于①：利用棱臺的定義進(jìn)行判斷；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.即可判斷；對于③：舉反例：底面的菱形，各側(cè)面都是正方形的四棱柱不是正方體.即可判斷；對于④：利用圓錐的性質(zhì)直接判斷.【題目詳解】對于①：棱臺是棱錐過側(cè)棱上一點(diǎn)作底面的平行平面分割而得到的.而兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體中，把梯形的腰延長后，有可能不交于一點(diǎn)，就不是棱臺.故①錯誤；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.故②錯誤；對于③：各側(cè)面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方體.故③錯誤；對于④：圓錐的軸截面是等腰三角形.是正確的.故④正確.故選：A3、C【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，，的范圍即可比較的大小.【題目詳解】因為，即，，即，，即，所以，故選：C.4、C【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)表，在三角形中，當(dāng)時，即可求解【題目詳解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要條件故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題5、B【解題分析】由題意有，可得，從而可得【題目詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：6、D【解題分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，然后結(jié)合圖象即可解答.【題目詳解】有四個不同的零點(diǎn)，，，，即方程有四個不同的解的圖象如圖所示，由二次函數(shù)的對稱性，可得．因為，所以，故故選：D7、B【解題分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性【題目詳解】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分條件.故選：B.8、C【解題分析】由解出范圍即可.【題目詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.9、B【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知區(qū)間在對稱軸的右面，即，即可求得答案.【題目詳解】函數(shù)為對稱軸開口向上的二次函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間在對稱軸的右面，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，明確二次函數(shù)的對稱軸、開口方向與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵.10、A【解題分析】根據(jù)題意先解出集合B，進(jìn)而求出交集即可.詳解】由題意，，則.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】根據(jù)題意條件，結(jié)合表內(nèi)給的數(shù)據(jù)，通過一天內(nèi)水深的最大值和最小值，即可列出關(guān)于、之間的關(guān)系，通過解方程解出、，即可求解出答案.【題目詳解】由表中某市碼頭某一天水深與時間的關(guān)系近似為函數(shù)，從表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的最大值為5.0，最小值為4.2，所以,解得，，故.故答案為：或?qū)懗?12、①②④【解題分析】直接利用奇函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移變換，象限角，三角函數(shù)的恒等變換以及余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷.【題目詳解】對于①，其中，即為奇函數(shù)，則①正確；對于②將的圖象向右平移個單位長度，即，則②正確；對于③若令，，則，則③不正確；對于④，由題意可知，任意一個長為的開區(qū)間上至少包含函數(shù)的一個周期，的周期為，則，即，則的最小值是4,則④正確；故答案為：①②④.13、【解題分析】由圖可得；，則；由五點(diǎn)作圖法可得，解得，所以其解析式為考點(diǎn)：1．三角函數(shù)的圖像；2．五點(diǎn)作圖法；14、①.14②.10【解題分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，計算的平方即可求出最大值，兩邊平方，可得，計算的平方即可求解.【題目詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)同向時等號成立，所以，即的最大值為14，由兩邊平方可得：，所以，所以，即.故答案為：14；10【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積的定義，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、4【解題分析】由扇形的面積公式列方程即可求解.【題目詳解】扇形的面積，即，解得：.故答案為：.16、①.45②.35【解題分析】利用中位數(shù)的概念及百分位數(shù)的概念即得.【題目詳解】由題可知甲組數(shù)據(jù)共9個數(shù)，所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是45，由莖葉圖可知乙組數(shù)據(jù)共9個數(shù)，又，所以乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是35.故答案為：45；35.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】（1）由代入計算可得的值，根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，求出函數(shù)的定義域；（2）由（1）可知，設(shè)，則，由的取值范圍求出的范圍，即可求出的值域；【題目詳解】解：（1）∵，∴，∴，則由，解得，即，所以的定義域為（2），設(shè)，則，，當(dāng)時，，而，，∴，，所以在區(qū)間上的值域為【題目點(diǎn)撥】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）由是定義在上的奇函數(shù)，利用可得的值；（2）化簡利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域；（3）應(yīng)用參數(shù)分離可得利用換元法可得，，轉(zhuǎn)化為，，轉(zhuǎn)化為求最值即可求解.【題目詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以對于恒成立，所以，解得，當(dāng)時，，此時，所以時，是奇函數(shù).（2）由（1）可得，因為，可得，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域為；（3）由可得，即，可得對于恒成立，令，則，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時最大為，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.19、（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）；【解題分析】（1）根據(jù)題意分別代入求出，再比較的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）先表示出的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求的值域.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；，，又，，故；同理可得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；，，又，，故，綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）由題意可知：，，，故在上單調(diào)遞增；令，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；故在上單調(diào)遞減；故在上單調(diào)遞減；故，故的值域為：.20、（1）偶函數(shù)，理由見詳解；（2）或.【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域，以及的關(guān)系，即可判斷函數(shù)奇偶性；（2）根據(jù)的單調(diào)性以及對數(shù)運(yùn)算，即可求得參數(shù)的值.【小問1詳解】偶函數(shù)，理由如下：因為，其定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱；又，故是偶函數(shù).【小問2詳解】在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，故，因為，故，則，又，故，則，故，則故在單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，故在單調(diào)遞減；因為，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故或.21、（1）；（2）或.【解題分析】（1）根據(jù)題意，分離參數(shù)且利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，即可求得參數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)是偶函數(shù)求得參數(shù)，再根據(jù)題意，求解指數(shù)方程即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意知函數(shù)存零點(diǎn)，即有解.又，易知在上是減函數(shù)