上海市重點中學2024屆數學九年級第一學期期末達標測試試題含解析

上海市重點中學2024屆數學九年級第一學期期末達標測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．若關于的方程有兩個相等的根，則的值為（）A．10 B．10或14 C．-10或14 D．10或-142．如圖坐標系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE＝，則AC：AD的值是（）A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：83．如圖為4×4的正方形網格，A，B，C，D，O均在格點上，點O是()A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的內心 D．△ABC的內心4．如圖，AB是⊙O的直徑，BT是⊙O的切線，若∠ATB=45°，AB=2，則陰影部分的面積是(

)A．2 B．1 C．32-5．如圖，在△ABC中，E,G分別是AB，AC上的點，∠AEG=∠C，∠BAC的平分線AD交EG于點F，若，則()A． B． C． D．6．在中，，、的對邊分別是、，且滿足，則等于（）A． B．2 C． D．7．下列四個點中，在反比例函數的圖象上的是（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）8．如圖，小明要測量河內小島B到河邊公路l的距離，在A點測得，在C點測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．A．25 B． C． D．9．下列電視臺的臺標，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．將拋物線y＝﹣3x2先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+211．袋中裝有除顏色外其他完全相同的4個小球，其中3個紅色，一個白色，從袋中任意地摸出兩個球，這兩個球顏色相同的概率是()A． B． C． D．12．在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為()A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，平行四邊形中，，如果，則___________．14．如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．則BD＝_____．15．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在第一象限，與軸所夾的銳角為，且，則的值是______.16．已知：如圖，在平行四邊形中，對角線、相較于點，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件________________（只添加一個即可），使平行四邊形成為矩形．17．已知關于x的方程的一個根為2，則這個方程的另一個根是▲．18．二次函數y＝2x2﹣5kx﹣3的圖象經過點M（﹣2，10），則k＝_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，某反比例函數圖象的一支經過點A（2，3）和點B（點B在點A的右側），作BC⊥y軸，垂足為點C，連結AB，AC．（1）求該反比例函數的解析式；（2）若△ABC的面積為6，求直線AB的表達式．20．（8分）我們規(guī)定：方程的變形方程為．例如：方程的變形方程為．（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．21．（8分）如圖，AB是⊙O的弦，過點O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）已知∠BAO=25°，點Q是弧AmB上的一點.①求∠AQB的度數；②若OA=18，求弧AmB的長.22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，BC＝2，求AB的長．23．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，－3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P（4，m）在拋物線上，求△PAB的面積．24．（10分）用適當的方法解下列方程：（1）（2）25．（12分）如圖，在網格紙中，、都是格點，以為圓心，為半徑作圓，用無刻度的直尺完成以下畫圖：（不寫畫法）（1）在圓①中畫圓的一個內接正六邊形；（2）在圖②中畫圓的一個內接正八邊形.26．如圖，已知正方形的邊長為，點是對角線上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉至的位置，連接、．（1）求證：；（2）當點在什么位置時，的面積最大？并說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據題意利用根的判別式，進行分析計算即可得出答案.【題目詳解】解：∵關于的方程有兩個相等的根，∴，即有，解得10或-14.故選：D.【題目點撥】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程中，當時，方程有兩個相等的兩個實數根是解答此題的關鍵．2、B【分析】過A作AF⊥OB于F，如圖所示：根據已知條件得到AF=1，OF=1，OB=6，求得∠AOB=60°，推出△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=∠ABO=60°，根據折疊的性質得到∠CED=∠OAB=60°，求得∠OCE=∠DEB，根據相似三角形的性質得到BE=OB﹣OE=6﹣=，設CE=a，則CA=a，CO=6﹣a，ED=b，則AD=b，DB=6﹣b，于是得到結論．【題目詳解】過A作AF⊥OB于F，如圖所示：∵A(1，1)，B(6，0)，∴AF=1，OF=1，OB=6，∴BF=1，∴OF=BF，∴AO=AB，∵tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=∠ABO=60°，∵將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，∴∠CED=∠OAB=60°，∵∠OCE+∠COE=∠OCE+60°=∠CED+∠DEB=60°+∠DEB，∴∠OCE=∠DEB，∴△CEO∽△EDB，∴==，∵OE=，∴BE=OB﹣OE=6﹣=，設CE=a，則CA=a，CO=6﹣a，ED=b，則AD=b，DB=6﹣b，則，，∴6b=10a﹣5ab①，24a=10b﹣5ab②，②﹣①得：24a﹣6b=10b﹣10a，∴，即AC:AD=2:1．故選：B．【題目點撥】本題考查了翻折變換-折疊問題，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，證得△AOB是等邊三角形是解題的關鍵．3、B【解題分析】試題解析：由圖可得：OA=OB=OC=，所以點O在△ABC的外心上，故選B.4、B【分析】設AT交⊙O于點D，連結BD，根據圓周角定理可得∠ADB=90°，再由切線性質結合已知條件得△BDT和△ABD都為等腰直角三角形，由S陰=S△BDT計算即可得出答案.【題目詳解】設AT交⊙O于點D，連結BD，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠ATB=45°，BT是⊙O切線，∴△BDT和△ABD都為等腰直角三角形，∵AB=2，∴AD=BD=TD=22AB=2∴弓形AD的面積等于弓形BD的面積，∴S陰=S△BDT=12×2×2故答案為B.【題目點撥】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰直角三角形的判定，解決本題的關鍵是利用等腰直角三角形的性質把陰影部分的面積轉化為三角形的面積．5、C【分析】根據兩組對應角相等可判斷△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出線段間的比例關系進行計算即可得出結果.【題目詳解】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，

∴△AEG∽△ACB.

∴.

∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，

∴△AEF∽△ACD．

∴又，∴.∴故選C.【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定，解答本題，要找到兩組對應角相等，再利用相似的性質求線段的比值.6、B【分析】求出a=2b，根據銳角三角函數的定義得出tanA=，代入求出即可．【題目詳解】解：a2-ab-2b2=0，

（a-2b）（a+b）=0，

則a=2b，a=-b（舍去），

則tanA==2，

故選：B．【題目點撥】本題考查了解二元二次方程和銳角三角函數的定義的應用，注意：tanA=.7、A【分析】根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，將各點坐標代入驗算，滿足的點即為所求【題目詳解】點（3，﹣2）滿足，符合題意，點（3，2）不滿足，不符合題意，點（2，3）不滿足，不符合題意，點（﹣2，﹣3）不滿足，不符合題意故選A．8、B【題目詳解】解：過點B作BE⊥AD于E．設BE=x．∵∠BCD=60°，tan∠BCE，，在直角△ABE中，AE=，AC=50米，則，解得即小島B到公路l的距離為，故選B.9、D【解題分析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合，因此，四個選項中只有D符合．故選D．10、C【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【題目詳解】解：將拋物線y＝﹣3x1向左平移1個單位所得直線解析式為：y＝﹣3（x+1）1；再向下平移1個單位為：y＝﹣3（x+1）1﹣1，即y＝﹣3（x+1）1﹣1．故選C．【題目點撥】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．11、A【分析】用樹形圖法確定所有情況和所需情況，然后用概率公式解答即可．【題目詳解】解：畫樹狀圖如下：則總共有12種情況，其中有6種情況是兩個球顏色相同的，故其概率為．故答案為A．【題目點撥】本題考查畫樹形圖和概率公式，其中根據題意畫出樹形圖是解答本題的關鍵．12、B【分析】直接關鍵二次函數的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解答即可.【題目詳解】將拋物線向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為：故選：B【題目點撥】本題考查的是二次函數的平移，掌握其平移規(guī)律是關鍵，需注意：二次函數平移時必須化成頂點式.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】由平行四邊形的性質可知△AEF∽△CDF，再利用條件可求得相似比，利用面積比等于相似比的平方可求得△CDF的面積．【題目詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF，∵AE：EB＝1：2∴，∴，∵，∴S△CDF＝．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．14、4【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的長，得出OA長，然后由勾股定理求得OB的長即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，∵AC⊥BC，∴AC＝＝8，∴OC＝4，∴OB＝＝2，∴BD＝2OB＝4故答案為：4．【題目點撥】此題考查了平行四邊形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．15、8【分析】過A作AB⊥x軸，根據正弦的定義和點A的坐標求出AB，OA的長，根據勾股定理計算即可.【題目詳解】如圖，過A作AB⊥x軸，∴，∵，∴，∵，∴AB=6，∴，根據勾股定理得：，即m=8，故答案為8.【題目點撥】本題考查的是銳角三角函數的定義、坐標與圖形的性質，掌握直角三角形中，銳角的正弦是其對邊與斜邊的比是解題的關鍵.16、或（等，答案不唯一）【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質是：矩形的對角線相等，矩形的四個內角是直角；可針對這些特點來添加條件．【題目詳解】解：若使?ABCD變?yōu)榫匦?，可添加的條件是：AC＝BD；（對角線相等的平行四邊形是矩形）∠ABC＝90°等．（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）故答案為：AC＝BD或（∠ABC＝90°等）【題目點撥】此題主要考查的是矩形的判定方法，熟練掌握矩形和平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此題的關鍵．17、－1．【解題分析】∵方程的一個根為2，設另一個為a，∴2a=－6，解得：a=－1．18、．【分析】點M（﹣2，10），代入二次函數y＝2x2﹣5kx﹣3即可求出k的值．【題目詳解】把點M（﹣2，10），代入二次函數y＝2x2﹣5kx﹣3得，8+10k﹣3＝10，解得，k＝，故答案為：．【題目點撥】本題考查求二次函數解析式的系數，解題的關鍵是將圖象上的點坐標代入函數解析式．三、解答題（共78分）19、（1）y；（2）yx+1．【解題分析】(1)把A的坐標代入反比例函數的解析式即可求得；(2)作AD⊥BC于D，則D(2，b)，即可利用a表示出AD的長，然后利用三角形的面積公式即可得到一個關于b的方程，求得b的值，進而求得a的值，根據待定系數法，可得答案．【題目詳解】(1)由題意得：k＝xy＝2×3＝6，∴反比例函數的解析式為y；(2)設B點坐標為(a，b)，如圖，作AD⊥BC于D，則D(2，b)，∵反比例函數y的圖象經過點B(a，b)，∴b，∴AD＝3，∴S△ABCBC?ADa(3)＝6，解得a＝6，∴b1，∴B(6，1)，設AB的解析式為y＝kx+b，將A(2，3)，B(6，1)代入函數解析式，得，解得：，所以直線AB的解析式為yx+1．【題目點撥】本題考查了利用待定系數法求反比例函數以及一次函數解析式，熟練掌握待定系數法以及正確表示出BC，AD的長是解題的關鍵．20、（1）；（2）；（3）1【分析】(1)根據題目的規(guī)定直接寫出方程化簡即可.(2)先將方程變形,再根據判別式解出范圍即可.(3)先將變形前的方程列出來化簡求出a、b、c,相加即可求解.【題目詳解】（1）由題意得,化簡后得:.（2）若方程的變形方程為，即.由方程的變形方程有兩個不相等的實數根，可得方程的根的判別式，即.解得（3）變形前的方程為:,化簡后得:x2=0,∴a=1,b=0,c=0,∴a+b+c=1.【題目點撥】本題考查一元二次方程的運用,關鍵在于讀題根據規(guī)定變形即可.21、（1）見解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.【解題分析】(1)連接OB，根據等腰三角形的性質得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根據∠PAO+∠APO=90°，繼而得出∠OBC=90°，問題得證；(2)①根據等腰三角形的性質可得∠ABO=25°，再根據三角形內角和定理可求得∠AOB的度數，繼而根據圓周角定理即可求得答案；②根據弧長公式進行計算即可得.【題目詳解】(1)連接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°，∴∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切線；(2)①∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，∴∠AQB=∠AOB=65°；②∵∠AOB=130°，OB=18，∴l(xiāng)弧AmB==23π.【題目點撥】本題考查了圓周角定理，切線的判定等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.22、AB＝【分析】通過解直角三角形先求出AC的值，之后通過勾股定理進一步求解即可.【題目詳解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴＝＝.，∵BC＝2，∴＝，即AC＝6.，又∵＝，∴＝40，∴AB＝.【題目點撥】本題主要考查了解直角三角形與勾股定理的運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.23、（1）y=；（2）3【分析】（1）利用交點式得出y=a（x-1）（x-3），進而得出a的值即可．（2）把代入，求出P點的縱坐標，再利用三角形的面積公式求解即可.【題目詳解】解：（1）∵拋物線與軸交于點，∴設拋物線解析式為∵過點∴∴拋物線解析式為．（2）∵點在拋物線上∴∴．【題目點撥】本題考查了待定系數法求二次函數解析式及利用三角形的面積公式求解，解題的關鍵是：巧設交點式，利用待定系數法求出二次函數表達式．24、（1），；（2），【分析】（1）移項，兩邊同時加1，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【題目詳解】（1），.(2)，，.【題目點撥】本題考查了解一元二次方程，有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，仔細觀察運用合適的方法能簡便計算.25、（1）見解析；（2）見解析【分析】