課件力學大會2015集ms5202

中國力學大會-*（電子科技大學，四川成都+（同濟大學，上海伯努利梁，而砂輪為一個質(zhì)量彈們之間的再生磨削力由時滯項針對結(jié)合數(shù)值延拓算法和特征值分析探討了其穩(wěn)定性，在參數(shù)空間中得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界。隨后，基于Hopf分岔理論預測了磨削顫振，并結(jié)合Bautin分岔理論在穩(wěn)定邊界上找到了超臨界與亞臨界Hopf間的切換點，并在線性穩(wěn)定區(qū)域中劃分出了存在顫振的條件穩(wěn)定區(qū)域。此外，我們還將描述再生效應(yīng)的時滯微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)槠⒎址匠?，并結(jié)合Galerkin方法，更加準確的預測了工件和砂輪失去接觸的顫對于往復式磨削，砂輪的橫向移動使系統(tǒng)中多了一個時變參數(shù)，但橫移速度相對較小，可以被視為準靜態(tài)。此時，采用多尺度方法得到了砂輪和工件分別穩(wěn)定的條件，從而區(qū)分了穩(wěn)定區(qū)域，砂輪顫振區(qū)域和工件顫振區(qū)域。在不同的顫振區(qū)域中，又對參數(shù)變化引發(fā)的顫振進行了預測，得到了分岔圖?；诳炻儌冇謴倪@一準靜態(tài)的分岔圖上構(gòu)造出了往復式磨削中可能產(chǎn)生的顫結(jié)果表明，砂輪失穩(wěn)引發(fā)連續(xù)性顫振，而工件失穩(wěn)誘發(fā)間歇性顫對于這些顫振，我們嘗試采用變轉(zhuǎn)速控制來抑制顫振。多尺度分析表明，增大轉(zhuǎn)速攝動幅度，并使砂輪和工件轉(zhuǎn)速的攝動具有相同的頻率且相差半個周期的相位時，能夠?qū)τ谀ハ骷庸ぶ袕V泛存在的亞臨界分岔，可將工件和砂輪的相對速度作為反饋，利用其三次非線性轉(zhuǎn)化亞臨界Hopf分岔，從而確保磨削過程平穩(wěn)。在此基礎(chǔ)上在砂輪頭架上附加一個周期性的外激勵，通過增加外激勵的幅值，可用一個小振幅的受迫振動替代了大振幅磨削顫進一步降低磨削顫，最終得到滿足要求的成型零件。當該過程穩(wěn)定時，切削深度保持恒定，零件的外形尺寸和表面質(zhì)量能夠達到預定要求。相反，如果切削過程失穩(wěn)，產(chǎn)生振動，則切削深度會不斷起伏，因而影響工件的成型。不僅如此，振動的產(chǎn)生還會大大地縮短刀具的使用壽命，乃至引發(fā)生產(chǎn)事故，威脅人員安全。針對這一問題，我們需要研究其產(chǎn)找到合適的方法將切削振動量彈簧振子，它具有質(zhì)量m（kg）、剛度k（Nm-1）、阻尼c（Nsm-1）、半徑r（m）和轉(zhuǎn) wE（Nm-2）、阻尼Cw（Nsm-2）、半徑rw（m）和轉(zhuǎn)w

中砂輪的進給f（m）。此外，考慮梁的連續(xù)體模型，其軸向的坐標記為S（m），砂輪處于位置P（m）而工件的總長為L（m）。圖1磨削加工過程示意md2Xg+cdXg+kX=Fgdt2 gdtA?2Xw C?Xw

g ?4 EA?2

L?Xw

=-δ(-

+w?t+

w-2L?S2w

?t

0 其中A=πr2 I=πr2/4?？紤]到砂輪和工件的接觸，公式（2.1）中的DiracDelta函 ?

前的磨削深度Dg（m）成正比，因而最簡單的關(guān)系為Fg=kc 其中kc（Nm-1）是磨削剛根據(jù)再生理論Dg除了和進給f有關(guān)，還和砂輪與工件的位置相關(guān)，它 其中Tw60NwTg60Ng。這里的Tw（s）和Tg（s）分別代表了工件和砂輪的旋轉(zhuǎn)周期。它們可以選

iπS

Li

0 00

1 A=-1-

L

-ξ 2 3 00

0

00

00 D ，D0-κsin 00

00 L

00 tI-A-gpg-ww=。 ）通過采用數(shù)值延拓的算法，在參數(shù)空間中連續(xù)的求解方程（8），可以得到磨削過程的穩(wěn)定性邊界，如圖2該圖為磨削加工過程的穩(wěn)定性邊界，曲面以下的參數(shù)空間代表對于圖2中描繪的穩(wěn)定性邊界，可以大體區(qū)分磨削過程的動力學狀態(tài)。更進一步對于臨還可以進行攝動分析，得到其準確的動力學行為。此時，我們對于圖3中的情況做多尺度分析，可以預測臨界情況附近磨削過程的動力學行為針對圖3中的各個箭頭，可以分別采用多尺度方法和數(shù)值積分，分析磨削動力學行為到了圖4。

τwτ3y1max10 18.68τ 65

21y1τ42y1max3

°°

1 1°°0°0°°

τwτ

τ的變化規(guī)律，（c）對應(yīng)于參數(shù)點Iy1的時程圖，（d）對應(yīng)于參數(shù)點IIy1的時程圖，（e）對應(yīng)于參數(shù)點IIIy1的時BautinBautinHT 圖5Bautin分岔至2τ,3τ,4τ乃至更多。此時，如果繼續(xù)采用定常時滯的動力學方程，會帶來一定的誤差量減R(t0)。因而，此處的切削深度為 圖6工件表面再生效量 -τwτ,2π+τ,0, 0 0 τ ,μ w

1

c τ-+, cwdg

dg0

dg

dg0

0 圖7穩(wěn)定磨削和磨削顫 min(dg)0κ不穩(wěn)定解（時滯微分方程

不穩(wěn)定解（偏微分方程穩(wěn)定解（時滯微分方程 穩(wěn)定解（偏微分方程圖8分岔而砂輪和工件之間的相對位置會發(fā)生改變。從數(shù)學上來說，公式（1）中的P會變成一個置p幾乎沒有任何關(guān)系，但工件的穩(wěn)定性卻與p的取值密不可分。當砂輪靠近工件中心時（pl/2），圖4.3中的穩(wěn)定性區(qū)域的最小，也就對應(yīng)了該磨削過程的穩(wěn)定性最差。lp0τ圖9往復式磨削過程中砂輪的位置隨時間改變0τ τw 穩(wěn)定區(qū)域延拓算 削深度隨砂輪位置P的變化規(guī)律，可以得到圖12。 43210

321 0.6l

0.6l 4433221104321

0.6l

4321

0.6l 0.6l p

0.6l 在得到了分岔圖12以后，我們就可以利用該圖去追蹤砂輪移動對磨削動力學行為帶來的影響。具體來說，我們通過圖9尋找砂輪位置關(guān)于時間的變化規(guī)律，然后通過圖建立顫振振幅隨時間的變化規(guī)律，從而得到磨削顫振的動力學行為為了驗證該結(jié)果，我們還對原方程直接進行數(shù)值積分，并將分岔圖嵌入到直接數(shù)值積分得到的時間這些結(jié)果全部都繪制在了圖13在圖13中，可以清楚地看到，磨削深度d2程圖被靜態(tài)分析得到的顫振振幅dax的分岔圖所包絡(luò)圖13（）顯示了穩(wěn)定的往復式磨削過程，而圖13（b）中則全程都是砂輪顫振運動。在圖13（）和（d）們看到相同的參數(shù)取值情況下可能出現(xiàn)截然不同的磨削動力學行為，分別是穩(wěn)定磨削和砂輪顫圖13（e）反應(yīng)了工件顫振的情況，可以看出這種形式的顫振運動是間顫振出現(xiàn)在砂輪靠近工件中心時，消失于砂輪向工件兩端移動的時候。在圖13（f）們再次觀察到了類似于圖13（b）和（d）中的砂輪顫振運動，盡管它們所對應(yīng)的分岔圖圖13（g）描述了最為復雜種情況，即磨削過程的動力學行為會在穩(wěn)定磨削、砂輪顫振和工件顫振之間來回切換。但我們顫振依舊產(chǎn)生于砂輪移動到工件中點附近的時pp(a)l0l0(b)l0l0d2

4·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τp (d) d2

4·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τp(e)d1d2

0(f)1

2·1064·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τ(g) 2

2·1064·1066·106τ圖13d2的時間歷程圖，圖中還嵌入了顫dmax關(guān)于砂輪位置的分岔圖p。（a）情況I（τw84），磨削過程始終穩(wěn)定；（b）情況II（τw80），砂輪顫振；（c）情況III（τw80.8），穩(wěn)定磨削過程；（d）情況III（τw80.8），砂輪顫振；（e）情況I（τw82.6），工件顫振和穩(wěn)定磨削過程之間的不斷切換；（f）情況V（τw68），雖然工件顫振的分岔圖存在，但僅有砂輪顫振出現(xiàn)；（g）情況VI（τw68.34），穩(wěn)定磨削、砂輪顫振和工件顫振之間的不斷切換。1，， 顫振的臨界情況，如圖14臨界曲面以下的區(qū)域中顫振可以被抑制下來，而曲線以上參數(shù)區(qū)域中的顫振不能夠為能夠進一步說明，我們?nèi)×藞D14的一個截面（ε=0.4），繪制在了圖15該圖中的灰色區(qū)域代表能夠?qū)㈩澱褚种葡聛淼膮?shù)取值，而白色區(qū)域代表仍然保持顫工件轉(zhuǎn)速之前，該信號被同時放大εDg倍和-εDw倍。再考慮到

圖14臨g0，該g0，其下g0 制（εDw=εDg0.015）以后，該顫振運動并沒有被抑制下來，而是呈現(xiàn)出圖16（b）的運動形式。此后繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速變化幅度（εDw=εDg0.02），該顫振最終被成功抑制下來，其時間dg02dg0 2dg0 中的非線性項f轉(zhuǎn)變?yōu)閇4]

f=

-

3

2 3 利用IL并結(jié)合數(shù)值仿真，我們可以得到不同取值時所對應(yīng)的動力學分岔行為，從而判斷此反饋控制對于抑制磨削顫振的效應(yīng)結(jié)果如圖17所示。當我們增加控制的增益，超臨界f分岔局部的轉(zhuǎn)化為亞臨界，如圖17（b）。然而，從全局來看進一步增加反饋增益κ直到0.05，則折分岔逐漸消失，最終形成圖17（c）中的簡單超臨界

κ=

κ=

κ=

1480014

圖17反饋增益κ對全局分岔的影響。（a）κ=0，沒有施加控制，顫振以亞臨界Hopf分岔的形式產(chǎn)生；（b）κ=0.01，控 f=

-

+f

2

3

2 3 2< ，我們可以通過增加振動f從而使得a1轉(zhuǎn)變?yōu)樨撝?。此時，系統(tǒng)中原本存在dg τ圖18dg的時間歷程圖。在顫振發(fā)生以后，工件和砂輪在τ1時刻開始產(chǎn)生分離。在τ2時刻，我們給系統(tǒng)附加了分岔控制，因而其顫振振幅開始減小，并且砂輪與工件分離的現(xiàn)象消失。在τ3時刻，振動控制被引入系統(tǒng)，其效果為了驗證上面的分析，我們在圖18中給出了一個仿真算例（磨削寬度wg16000，分岔控制增益κ0.2，振動控制幅f1）。圖中可以看到，在磨削顫振產(chǎn)生以后，系統(tǒng)在τ1時刻發(fā)生砂輪與工件分離的現(xiàn)象。在τ2時刻，我們給系統(tǒng)引入了分岔控制，從而減小了顫振的幅值并使得分離現(xiàn)象消失。在此基礎(chǔ)上，我們又在τ3時刻給系統(tǒng)引入振動控制dg τ 得兩個轉(zhuǎn)速的變化具有相同的頻轉(zhuǎn)變亞臨界f分岔并減小磨削過程中顫幅。在此基礎(chǔ)進一步引入振動控制，通過增大振動控制的幅值進一步的減小振動的幅值。與分岔控制有所不同的是，振動控制用小振幅的受迫振動削顫振，因此最終的振動和顫振相比具有不同的頻1YanY,XuJ,WangW.Nonlinearchatterwithlargeamplitudeinacylindricalplungegrindingprocess.NonlinearDynamics，2012，69（4）：1781～1793.2YanY,XuJ,WiercigrochM.Chatterinatransversegrindingprocess.JournalofSoundandVibration,2014,333(3):937-953.3YanY,XuJ.Suppressionofregenerativechatterinaplungegrindingprocessbyspindlespeed.JournalofManufacturingScienceandEngineering-TransactionsoftheASME,2013,4YanY,XuJ,WiercigrochM.Non-linearanalysisandquenchcontrolofchatterinplungegrinding.InternationalJournalofNon-LinearMechanics,2015,70:134-144.Modelling,ChatterandControlofDelayedDynamicsinGrindingYAN XU(1SchoolofAstronauticsandAeronautics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,No.2006XiyuanRoad,Chengdu611731,China)(2SchoolofAerospaceEngineeringandAppliedMechanics,TongjiUniversity,No.1239SipingRoad,Shanghai200092,AbstractIngrindingprocess,grindingwheelwearswhileworkpieceisregenerated.Thus,grindingdepthdependsnotonlyoncurrentrelativedisplacementofthewheelandtheworkpiecebutalsoontheirpreviousrelativedisplacement.Tostudygrindingdynamics,amodelisproposed,wheretheworkpieceistakenasasimplysupportedEuler-Bernoullibeamandthewheelaspringmasssystem.Torepresenttheregenerativegrindingforce,delayedtermsareused.Fortheplungegrinding,itsstabilityisanalyzedbyusingeigenvalueanalysisandcontinuationscheme.Thereafter,HopfbifurcationandBautinbifurcationtheoriesareusedtolocateconditionallyandunconditionallystableregions.Next,tostudythedynamicswitheffectoflosingcontact,partialdifferentialequationsareemployedtorepresenttheregenerativeeffect.Forthetransversegrinding,thewheelmotionintroducesatime-varyingparameter,whichcanbetakenasquasi-staticsinceitvariesslowly.Themethodofmultiplescalesisusedtostudythegrindingstability,andthenthebifurcationdiagramsareadoptedtoshowtherelationshipbetweenthechatterandthewheelposition.Basedonthebifurcationdiagrams,thegrindingd