工程力學(xué)第八章

第8章扭轉(zhuǎn)1§8-1扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例變形特點(diǎn)：

Ⅰ.相鄰橫截面繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；

Ⅱ.桿表面的縱向線變成螺旋線；

Ⅲ.實(shí)際構(gòu)件在工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。受力特點(diǎn)：圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi)的外力偶Me作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。MeMe2剪切角：螺旋線的切線與原縱向線的夾角γ稱為剪切角。相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：截面B相對(duì)于截面A轉(zhuǎn)動(dòng)的角度φ，稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。MeADBCMejgl3本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。4§3-3扭矩的計(jì)算和扭矩圖Ⅰ.傳動(dòng)軸的外力偶矩當(dāng)傳動(dòng)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于某一輪上的外力偶在t秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶之矩Me乘以輪在t秒鐘內(nèi)的轉(zhuǎn)角a。5因此，外力偶Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為因此，在已知傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n(亦即傳動(dòng)軸上每個(gè)輪的轉(zhuǎn)速)和主動(dòng)輪或從動(dòng)輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計(jì)算作用于每一輪上的外力偶矩：6主動(dòng)輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，而從動(dòng)輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。7Ⅱ.扭矩及扭矩圖傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來(lái)計(jì)算。TMeMeTT=MeMeMe118扭矩的正負(fù)可按右手螺旋法則確定：扭矩矢量（大拇指）背離截面為正，指向截面為負(fù)。T(+)T(-)9

例題8-1一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。10解：1.計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩112.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))注意這個(gè)扭矩是假定為負(fù)的123.作扭矩圖由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。13思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？1415.94.786.374.7815用簡(jiǎn)便法求扭矩：任一橫截面上的扭矩等于該截面一側(cè)上所有外力對(duì)軸之矩的代數(shù)和。背離該截面的外力矩矢取+號(hào)，指向該截面的外力矩矢取-號(hào)。16§8-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒——通常指的圓筒當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)mmTMelMemmMedr0Od17Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化規(guī)律

推論：(1)橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣；(2)相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，橫截面之間的距離未變。MeADBCMejg18橫截面上的應(yīng)力：(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力(shearingstress)，且圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力相同；(2)對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無(wú)正應(yīng)力。Memmxr0tdA19Ⅱ.

薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：由根據(jù)應(yīng)力分布可知引進(jìn)，上式亦可寫作，于是有Memmxr0tdA20以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切向截面)從受扭的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點(diǎn)處截取一微小的正六面體——單元體。1.單元體·切應(yīng)力互等定理§8-4切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律21可得：由單元體的平衡條件∑Fx=0和∑Mz=0知單元體的上、下兩個(gè)平面(即桿的徑向截面上)必有大小相等、指向相反的一對(duì)力t'dxdz并組成其矩為(t'dxdz)dy力偶。由22即單元體的兩個(gè)相互垂直的面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力t和t

數(shù)值相等，且均指向(或背離)該兩個(gè)面的交線——切應(yīng)力互等定理。23薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t不超過材料的剪切比例極限tp時(shí)，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j成線性正比例關(guān)系，從而可知t與g亦成線性正比關(guān)系：這就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系數(shù)G稱為材料的切變模量。

鋼材的切變模量的約值為：G=80GPaMeADBCMejg2.剪切胡克定律24§8-5圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力Ⅰ.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問題的靜力學(xué)方面)251.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個(gè)角度g

。平面假設(shè)——等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。(1)幾何方面262.橫截面上一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律：即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr27式中——相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j沿桿長(zhǎng)的變化率，常用

來(lái)表示，對(duì)于給定的橫截面為常量?？梢?，在橫截面的同一半徑r的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變gr

均相同；gr與r成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr28(2)物理方面由剪切胡克定律t=Gg

知可見，在橫截面的同一半徑r的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力tr均相同，其值

與r成正比，其方向垂直于半徑。29(3)靜力學(xué)方面其中稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質(zhì)。從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力計(jì)算公式以代入上式得：30式中Wp稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單位為m3。橫截面周邊上各點(diǎn)處(r=r)的最大切應(yīng)力為31實(shí)心圓截面：圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp32空心圓截面：33現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面ef(如圖)上的應(yīng)力。§8-6斜截面上的應(yīng)力34分離體上作用力的平衡方程為利用t=t'，經(jīng)整理得35由此可知：(1)單元體的四個(gè)側(cè)面(a

=0°和a

=