中考數學復習滿分突破（全國通用）：專題02 雙角平分線模型（解析版）

專題02雙角平分線模型一、基礎知識回顧角平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。已知OC平分∠AOB，則∠AOC=∠COB=12∠A二、雙角平分線模型的概述：兩角共一邊，求角平分線之間夾角。模型一：兩角有公共部分（作和）已知OC是∠AOB內的一條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠BOC=∠AOB文字語言結論：角平分線的夾角=被平分兩角和的一半模型二：兩角有公共部分（作差）已知OC是∠AOB外的一條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC∴∠MON=∠MOC-∠CON=∠AOC-∠BOC=∠AOB文字語言結論：角平分線的夾角=被平分兩角差的一半總結：一條射線把一個角分成兩個角，這兩個角的平分線所形成的角等于原角的一半。圖解：【基礎過關練】1．如圖所示，是的平分線，是的平分線，若，那么（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據角平分線的定義和角的和差關系進行計算即可．【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故選B．【點睛】本題主要考查了角與角之間的運算和角平分線等知識，正確尋找角與角之間的關系以及掌握數形結合思想成為解答本題的關鍵．2．如圖所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意計算出∠AOC，∠MOC，∠NOC的度數，再根據計算即可．【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∴，故答案為：B．【點睛】本題考查了基本幾何圖形中的角度計算，掌握角度的運算法則是解題的關鍵．3．若，OB在內部，OM、ON分別平分和，若，則度數為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據的度數和OM平分求出的度數，然后可求出的度數，最后根據ON平分即可求出的度數．【詳解】如圖所示，∵，OM平分，∴，∴，∵ON平分，∴．故選：C．【點睛】此題考查了角平分線的概念和求角度問題，解題的關鍵是根據角平分線的概念求出的度數．4．如圖，是平角，，，分

別是的平分線，則的度數為(

)A．90o B．135o C．150o D．120o【答案】B【分析】根據條件可求出∠COD的度數，利用角平分線的性質可求出∠MOC與∠DON的度數，最后根據∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案．【詳解】∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°?∠AOC?∠COD=90°，∵OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠MOC=AOC=15°,∠DON=∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°∴選B【點睛】本題考查角的計算、角平分線的定義．熟練掌握角平分線的定義是解答關鍵.5．如圖，OM，ON分別是∠BOC和∠AOC的平分線，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；(2)當OC在∠AOB內繞點O轉動時，∠MON的值____改變．(填“會”或“不會”)

【答案】

42°

不會【分析】根據角平分線的定義求解即可．【詳解】①∵OM、ON分別是∠BOC和∠AOC的平分線,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②當OC在∠AOB內繞點O轉動時，∠MON的值不會改變.故答案為42°、不會.【點睛】本題較為簡單，主要考查了角平分線的定義，牢牢掌握角平分線的定義是解答本題的關鍵.6．如圖，在的內部，已知是的平分線，平分，若，，則______．【答案】【分析】利用角平分線的定義分別求出和，則即可求得結論．【詳解】解：∵是的平分線，∵，∵平分，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義．熟練應用角平分線的定義是解題的關鍵．7．如圖，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度數．【答案】∠BOC和∠AOC的度數分別為，【分析】根據角平分線的定義得到，∠BOC=2∠BOF，再計算出，然后根據∠BOC=2∠BOF，∠AOC=∠BOC+∠AOB進行計算．【詳解】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴，∠BOC=2∠BOF，∵，∴，．即∠BOC和∠AOC的度數分別為，．【點睛】本題主要考查了角的計算以及角平分線的定義，正確應用角平分線的定義是解題關鍵．8．如圖，在外部，和分別是和的平分線．若，求的度數．【答案】【分析】利用角平分線平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角減小角，進行角度的轉化計算即可．【詳解】解：∵．∴．∵平分平分，∴，∴．【點睛】本題考查角度的計算．熟練掌握角平分線平分角，是解題的關鍵．9．如圖，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數．【答案】120°，30°【分析】先根據角平分線，求得的度數，再根據角的和差關系，求得的度數，最后根據角平分線，求得、的度數．【詳解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB=45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據角的和差關系進行計算是解題的關鍵，注意：也可以根據的度數是度數的2倍進行求解．10．如圖所示，∠AOB=100°，OC是∠AOB內部的一條射線，射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOC，求∠MON的度數．解：因為射線，分別平分∠和∠，所以∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，所以∠MON=∠+∠===°【答案】OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM；；；50【分析】根據射線OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC，可得∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，從而得到∠MON=，即可求解．【詳解】解：因為射線OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠NOB=∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠COM=∠AOC，所以∠MON=∠CON+∠COM===50°．故答案為：OM；ON；AOC；BOC；；；CON；COM；(∠BOC+∠AOC)；∠AOB；50【點睛】本題主要考查了有關角平分線的計算，解決本題的關鍵是根據題意得到∠MON=．【提高測試】1．如圖，分別平分平分，下列結論:①；②；③；④其中正確的個數有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據角平分線的性質得出∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC，再根據角度之間的等量關系式進行等量代換即可得出答案.【詳解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC∴∠MON=∠AOC，∠HOC=∠AOC∴∠MON=∠HOC，故①正確；2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正確；2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正確；2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正確；故答案選擇C.【點睛】本題考查的是角平分線的性質，難度適中，熟練進行不同角度之間的等量關系的轉換是解決本題的關鍵.2．如圖所示，平分，平分，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由∠MON?∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度數，根據OM，ON分別為角平分線，得到兩對角相等，進而確定出∠COD＋∠AOB度數，根據∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度數．【詳解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，∵∠CON＋∠BOM＝∠MON?∠BOC＝（m?n）°，∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m?n）°，則∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m?2n＋n）°＝（2m?n）°．故選C．【點睛】此題考查了角平分線定義，熟練掌握角平分線定義是解本題的關鍵．3．如圖，∠AOC和∠BOC互補，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠MON的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據已知得∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝α，相加可求出∠AOC，根據角平分線定義求出∠AOM和∠NOC的和，相減即可求出答案．【詳解】解：∵∠AOC和∠BOC互補，∴∠AOC+∠BOC＝180°①，∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠AOM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠AOM+∠CON＝90°，∵∠AOB＝α，∴∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝α②，①+②得：2∠AOC＝180°+α，∴∠AOC＝90°+α，∴∠MON＝∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON＝90°+﹣90°＝α．故選B．【點睛】本題考查角平分線的定義，角的有關計算的應用，解題的關鍵是求出∠AOC的大小．4．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數是______．【答案】或(25°或45°)【分析】分①在的外部，②在的內部兩種情況，利用角平分線的定義、角的和差進行求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當在的外部時，平分，且，，同理可得：，則；②如圖，當在的內部時，同理可得：，，則；綜上，的度數是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了與角平分線有關的計算，正確分兩種情況討論是解題關鍵．5．已知，過作射線，使，若射線是的平分線，則的度數是________．【答案】50°或10°【分析】可分兩種情況：當∠BOC與∠AOB在OB的同側時；當∠BOC與∠AOB在OB的異側時，根據角的和差可求解∠AOC的度數，再利用角平分線的定義可求解∠DOA的度數．【詳解】解：當∠BOC與∠AOB在OB的同側時，∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝60°﹣40°＝20°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOA＝∠AOC＝10°；當∠BOC與∠AOB在OB的異側時，∵∠BOC＝60°，∠AOB＝40°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+40°＝100°，∵OD平分∠AOC，∴∠DOA＝∠AOC＝50°，綜上，∠DOA的度數為50°或10°．故答案為：50°或10°．【點睛】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，理解題意，分類討論是解題的關鍵．6．如圖，已知射線在內部，平分，平分，平分，現給出以下4個結論：①；②；③；④其中正確的結論有（填寫所有正確結論的序號）______．【答案】①②④【分析】①根據平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結論；②根據角度之間的關系得出，得出，即可得出結論；③無法證明；④根據，得出，，即可得出結論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，∴，故①正確；②∵，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；④根據解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了角平分線的有關計算，根據角度之間的關系得出，是解題的關鍵．7．（1）如圖，已知，E是的中點，．①______；②求的長．（2）如圖，O為直線上的一點，平分．①______°；②是的平分線嗎？為什么？【答案】（1）①；②；（2）①；②是的平分線，理由見解析【分析】（1）①根據E是的中點，可得；②根據，可得，從而得到，再由，可得，即可求解；（2）①根據平分，可得，再由鄰補角的性質，即可求解；②根據，可得，再求出的度數，即可求解．【詳解】解：（1）①∵，E是的中點，∴；故答案為：②∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）①∵平分，∴，∴；故答案為：②是的平分線，理由如下：∵，，∴，∵，∴，即是的平分線．【點睛】本題主要考查了線段的和與差，有關角平分線的計算，鄰補角的性質，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．8．已知、分別是、的角平分線.(1)如圖1，是外部的一條射線，若，，求的度數；(2)如圖2，是內部的一條射線，若，，求的度數.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據角平分線的定義求出，再求出，最后求出即可；（2）先根據是的平分線，，求出，求出，再根據角平分線定義求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵、分別是、的平分線，∴，.∵，，∴，∴，∴．（2）解：∵是的平分線，，∴.∴.∵是的角平分線，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的定義，注意數形結合．9．如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如果，，則的度數為；(2)如果，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線的定義解答即可；（2）利用角平分線的定義易求．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，，是平分線，，故答案為：；（2）平分，平分，，，，，．【點睛】本題考查了角平分線的定義，解題時，實際上是根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．10．己知，(1)如圖1，平分，平分，若，則是__________°；(2)如圖2，、分別平分和，若，求的度數．(3)若、分別平分和，，則的度數是__________（直接填空）．【答案】(1)11(2)(3)【分析】（1）根據角平分線的性質求出的度數，進而求出的度數，最后根據角平分線的概念計算求解即可；（2）首先求出，進而求出，然后根據角平分線的概念求出，最后根據角的和差關系求解即可；（3）分析兩種情況討論，計算方法同（2）．【詳解】（1）∵平分，平分，∴，∴∵，∴，∵平分，∴；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）①若或至少有一個在內部時，如下圖，則；②若和都在外部時，如下圖，則，綜上的度數為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查角平分線