概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)其他第二章第三節(jié)

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

引言

1.定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使對于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。例如：在[0，1]取點(diǎn)的例，設(shè)X為取得點(diǎn)的坐標(biāo)，則隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

則X為連續(xù)型隨機(jī)變量。2.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)性質(zhì)（1）.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)。（2）.對于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，它取任一指定實(shí)數(shù)a的概率均為零，即P{X=a}=0。事實(shí)上，設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則P{X=a}=F(a)-F(a-0)

而F(x)為連續(xù)函數(shù)，所以有F(a-0)=F(a)，即得：

P{X=a}=0.

這里P{X=a}=0

，而事件{X=a}并非不可能事件。就是說，若A是不可能事件,則有P(A)=0；反之，若P(A)=0

，A并不一定是不可能事件。同樣的，對必然事件也有類似的結(jié)論。（3）在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時(shí)，不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開區(qū)間。例如有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}

=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}3.概率密度f(x)的性質(zhì):（1）.f(x)≥0（2）.

反之，滿足（1）（2）的一個(gè)可積函數(shù)f(x)必是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，因此，常用這兩條性質(zhì)檢驗(yàn)f(x)是否為概率密度。幾何意義：曲線y=f(x)與x軸之間的面積等于1．(3).X落在區(qū)間(x1，x2)的概率

幾何意義：X落在區(qū)間(x1，x2)的概率P{x1<X≤x2}等于區(qū)間(x1，x2)上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積．(4).若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F′(x)=f(x)。

這是因?yàn)椋?dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，

F(x)可導(dǎo)，所以在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，F(xiàn)′(x)=f(x).（5）概率密度f(x)的物理意義

由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處有

這里我們看到概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類似，若非均勻直線的線密度為f(x)，則在區(qū)間(x1，x2)上的直線的質(zhì)量為．這就是稱f(x)為概率密度的原因，它反映了概率在x點(diǎn)處的＂密集程度＂。4．概率密度f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：(1)若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為f(x)，那么它的分布函數(shù)為(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F′(x).注意：對于F(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)x處，f(x)在該點(diǎn)x處的函數(shù)值可任意給出。

例1:設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度(1)試確定常數(shù)k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于,，解得k=3.于是X的概率密度為(2)從而例2:確定常數(shù)A，B使得函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，并求出X的概率密度及概率P{-1<X<2}。

解:由分布函數(shù)的性質(zhì)知

所以B=1.

又由連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的連續(xù)性知F(x)在x=0處有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，

所以：A=1/2

于是X分布函數(shù)為：X的概率密度為1．設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度

則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為X

U(a，b).

若X

U(a，b)，則容易計(jì)算出X的分布函數(shù)為二、三種重要的連續(xù)型分布：f(x)及F(x)的圖形分別如:f(x)abxF(x)1abx例1:設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900歐—1100歐。求R的概率密度及R落在950歐—1050歐的概率。解:按題意，R的概率密度為注釋(1).均勻分布的特性：若X

U(a，b)，對于任意的區(qū)間(c，c+l)∈(a，b)，則

就是說在同樣長的子區(qū)間內(nèi)概率是相同的，這個(gè)概率

只依賴于區(qū)間的長度而不依賴于區(qū)間的位置。(2).我們現(xiàn)在能把一個(gè)區(qū)間[a，b]上隨機(jī)地選取一個(gè)點(diǎn)P

的直觀概念加以精確化。簡單地說就是所選取的點(diǎn)P的坐

標(biāo)X在[a，b]上是均勻分布的。2.指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為

其中λ>o為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。容易驗(yàn)證:指數(shù)分布的分布函數(shù)為f(x)及F(x)的圖形λf(x)x1F(x)x

指數(shù)分布的一個(gè)重要特性是”無記憶性”.

設(shè)隨機(jī)變量X滿足：對于任意的s>o，t>0,有則稱隨機(jī)變量X具有無記憶性。設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則

因此P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}，即指數(shù)分布具有”無記憶性”.例設(shè)設(shè)備在任何長為t時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~π(λt)

的possion分布,求相繼兩次故障間的時(shí)間間隔T的分布函數(shù)。解：分析：關(guān)鍵：t>0時(shí),{T>t}={N(t)=0}.

時(shí)間間隔大于t，在[0，t]時(shí)間內(nèi)未發(fā)生故障。因?yàn)閧T>t}={N(t)=0},服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

驗(yàn)證f(x)是一個(gè)合理的概率密度函數(shù):①顯然，f(x)≧0；②下面驗(yàn)證（1）定義1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

其中μ，σ（σ>0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,記為X

N(μ,σ2)。3．正態(tài)分布對于積分，作代換，

則定義2：當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為

X

N(0，1)，其概率密度為(2)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的幾何特征

因?yàn)榈茫厚v點(diǎn)：x=μ,為函數(shù)的極大值點(diǎn)；

拐點(diǎn)：x=μ±σ.作圖如下所以①曲線關(guān)于x=μ對稱，這表明對于任意h>o，有

P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；②當(dāng)x=μ時(shí)取到最大值

X離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值越小，表明對于同樣長度的

區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離μ越遠(yuǎn)，X落這個(gè)區(qū)間上的概率越

小。③在x=μ±σ處曲線有拐點(diǎn)，又由于，

所以曲線以x軸為水平漸近線。④如果固定σ，改變μ的值，則圖形沿著Ox軸平移，而不改變其形狀，可見正態(tài)分布的概率密度曲線y=f(x)的位置完全由參數(shù)μ所確定，μ稱為位置參數(shù)。

如果固定μ，改變σ，由于最大值，可知當(dāng)σ越小時(shí)圖形變得越尖，因而X落在μ附近的概率越大。(3)正態(tài)分布的概率計(jì)算①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

若X

N(0，1)，則概率密度，如圖。X的分布函數(shù)為：一般的，通過查表求得。常用性質(zhì):

A.對于任意實(shí)數(shù)x，有Φ(x)+Φ(-x)=1.②一般正態(tài)分布的概率計(jì)算若X

N(μ，σ2)，則X的分布函數(shù)為：對此積分作代換s=(t-μ)/σ，則因此計(jì)算F(x)時(shí)化為求,可查表求得.一般的，例1:設(shè)X

N(1.5，22)，求P{-1≤x≤2}。解:查表得：(3-c)/2=0.43,即c=2.14

例2:設(shè)X具有分布N(3，4)，求數(shù)c，使得

P{x>c}=2P{x≤c}。解:例3假設(shè)測量的隨機(jī)誤差X~N(0,102),試求在100次獨(dú)立重復(fù)測量中至少有三次測量的絕對值大于19.6(A)的概率α,并利用possion分布求α的近似值。

解：設(shè)p為每次測量誤差絕對值大于19.6的概率,p=P{|X|>19.6}=P{|X|/10>19.6/10}=P{|X|/10>1.96}=1-P{|X|/10≤1.96}=1-Φ(1.96)+Φ(-1.96)

=1-Φ(1.96)+1-Φ(1.96)=2-2Φ(1.96)=0.05設(shè)Y表示100次獨(dú)立測量中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則：

Y~b(100,0.05)例4已知X~N(μ,σ2).求：2）P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.95443）P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9944說明：X~N(μ,σ2)落在(-3σ,3σ)內(nèi)的概率為0.9944,這一事實(shí)稱為“3σ規(guī)則”這也是N(0,1)表只作(-3,3)內(nèi)的概率的原因。4.其它常用的連續(xù)型分布有以下幾個(gè)：（1）Г分布：設(shè)X具有概率密度其中ɑ>0，β>0為參數(shù)，則稱X服從Г分布，記為

X

Г(ɑ,β)。其中σ>0為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為的瑞利分布