20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第一課時(shí)復(fù)數(shù)的加減與乘法運(yùn)算講義含解析蘇教版選修2220190416353

3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第一課時(shí)復(fù)數(shù)的加減與乘法運(yùn)算 復(fù)數(shù)的加減法已知復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．問題1：多項(xiàng)式的加減實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)，類比想一想復(fù)數(shù)如何加減？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)．問題2：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？提示：滿足．1．復(fù)數(shù)的加法、減法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)．2．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)問題1：如何規(guī)定兩復(fù)數(shù)相乘？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.問題2：試驗(yàn)復(fù)數(shù)乘法的交換律．提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．復(fù)數(shù)的乘法設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1、z2、z3∈C，有交換律 z1·z2＝z2·z1結(jié)合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法對(duì)加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 共軛復(fù)數(shù)問題：復(fù)數(shù)3＋4i與3－4i，a＋bi與a－bi(a，b∈R)有什么特點(diǎn)？提示：兩復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)．1．把實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi的共軛復(fù)數(shù)記作，即＝a－bi.3．當(dāng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時(shí)，z＝，也就是說，實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身．1．復(fù)數(shù)加、減法的規(guī)定：實(shí)部與實(shí)部相加(減)、虛部與虛部相加(減)．兩個(gè)復(fù)數(shù)的和或差仍是一個(gè)復(fù)數(shù)．2．復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部，虛部分別合并、兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，可推廣到任意多個(gè)復(fù)數(shù)，任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)． 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算[例1]計(jì)算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路點(diǎn)撥]解答本題可根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則進(jìn)行．[精解詳析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一點(diǎn)通]復(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則的記憶方法：(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減．(2)把i看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng)．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2，則x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．計(jì)算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 復(fù)數(shù)的乘法[例2]計(jì)算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路點(diǎn)撥]應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法法則及乘法運(yùn)算律來解．[精解詳析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一點(diǎn)通](1)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘，可按從左向右的順序運(yùn)算，或利用結(jié)合律運(yùn)算．混合運(yùn)算的順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣．(2)平方差公式，完全平方公式等在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．一些常見的結(jié)論要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改編)已知i是虛數(shù)單位，則(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．計(jì)算下列各題．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)(1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.(3)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i. 共軛復(fù)數(shù)的概念[例3]已知z∈C，為z的共軛復(fù)數(shù)，若z·－3i＝1＋3i，求z.[思路點(diǎn)撥]―→―→.[精解詳析]設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)，由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，則有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.[一點(diǎn)通](1)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R?z＝，利用此性質(zhì)可以證明一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．(2)若≠0且z＋＝0，則z為純虛數(shù)，利用此性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．7．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z·－z－1＝________.解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.答案：－i8．復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)＝4＋3i，則z＝________.解析：設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi.∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，∴解之得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.答案：2＋i9．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，求實(shí)數(shù)a，b使az＋2b＝(a＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是實(shí)數(shù)，∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得兩式相加，整理得a2＋6a＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，對(duì)應(yīng)得b1＝－1，b2＝2.∴所求實(shí)數(shù)為a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.1．復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi看作關(guān)于“i”的多項(xiàng)式，則復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算，類似于多項(xiàng)式的加法、減法，只需要“合并同類項(xiàng)”就行，不需要記加、減法法則．2．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法可以把虛數(shù)單位i看作字母，按多項(xiàng)式乘法的法則進(jìn)行，注意要把i2化為－1，進(jìn)行最后結(jié)果的化簡．一、填空題1．計(jì)算(－i＋3)－(－2＋5i)的結(jié)果為________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若復(fù)數(shù)z＝1－2i，(i為虛數(shù)單位)則z·＋z的實(shí)部是________．解析：∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，∴z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，則z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝________.解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由復(fù)數(shù)相等的定義知x＝2.答案：25．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t＝________.解析：∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2＝(3t＋4)＋(4t－3)i，又∵z1·2是實(shí)數(shù)，∴4t－3＝0，即t＝.答案：二、解答題6．計(jì)算：(1)＋；(2)(3＋2i)＋(－2)i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝－i＝－i；(3)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.7．計(jì)算：(1)(4i－6)＋2＋i；(2)(1＋i)．解：(4i－6)＋2＋i＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i＝－7－6i.