2023年湖南省張家界市中考數(shù)學試卷含答案

第1頁（共1頁）2023年湖南省張家界市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．2023 D．﹣20232．（3分）如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，其主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運算正確的是（）A．（x+2）2＝x2+4 B．a(chǎn)2?a4＝a8 C．（2x3）2＝4x6 D．2x2+3x2＝5x44．（3分）下列說法正確的是（）A．扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢 B．對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命采用全面調(diào)查的方式 C．有一種游戲的中獎概率是，則做5次這樣的游戲一定會有一次中獎 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差分別是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，則乙比甲穩(wěn)定5．（3分）如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．50° C．40° D．140°6．（3分）《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x7．（3分）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．π B．3π C．2π D．2π﹣8．（3分）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）9．（3分）“仙境張家界，峰迷全世界”，據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”節(jié)假日期間，張家界市各大景區(qū)共接待游客約864000人次．將數(shù)據(jù)864000用科學記數(shù)法表示為．10．（3分）因式分解：x2y+2xy+y＝．11．（3分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．12．（3分）2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選拔8名選手參加總決賽，他們的決賽成績分別是95，92，93，89，94，90，96，88．則這8名選手決賽成績的中位數(shù)是．13．（3分）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC＝50°，將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓??；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓?。皇且渣cC為圓心，CA2為半徑的圓弧；是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標是．三、解答題（本大題共9個小題，共計58分．請考生用黑色碳素筆在答題卡相應的題號后的答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效）15．（5分）計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．16．（5分）先化簡（x﹣1﹣）÷，然后從﹣1，1，2這三個數(shù)中選一個合適的數(shù)代入求值．17．（6分）為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）4560租金（元/輛）200300（1）參加此次研學活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應該怎樣租用才合算？18．（6分）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時，求證：四邊形DECF是菱形．19．（8分）2022年4月21日新版《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》正式頒布，優(yōu)化了課程設置，其中將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來．某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生“參加家務勞動的時間”進行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，單位：分鐘）進行統(tǒng)計，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次抽取的學生人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生有多少人？（4）若D組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機抽取兩名同學交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖法，求抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率．20．（6分）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）21．（6分）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]＝（2a+）?＝b+2a例如：當a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+2根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）當a＝1，b＝3時，把邊長為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．22．（6分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的長．23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，6）．點D為線段BC上的一動點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，求△AOD周長的最小值；（3）如圖2，過動點D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．

2023年湖南省張家界市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．2023 D．﹣2023【分析】只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)．【解答】解：的相反數(shù)是﹣，故選：B．【點評】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，屬于基礎題型．解決這個問題只要明確相反數(shù)的定義即可．2．（3分）如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．【解答】解：從正面看，一共有兩列，從左到右小正方形的個數(shù)分別為3、1．故選：D．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題時注意從正面看得到的圖形是主視圖．3．（3分）下列運算正確的是（）A．（x+2）2＝x2+4 B．a(chǎn)2?a4＝a8 C．（2x3）2＝4x6 D．2x2+3x2＝5x4【分析】根據(jù)完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方以及合并同類項法則，逐項分析判斷即可求解．【解答】解：A．（x+2）2＝x2+4x+4，故該選項不符合題意；B．a(chǎn)2?a4＝a6，故該選項不符合題意；C．（2x3）2＝4x6，故該選項符合題意；D．2x2+3x2＝5x2，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方以及合并同類項法則，熟練掌握以上運算法則以及乘法公式是解題的關鍵．4．（3分）下列說法正確的是（）A．扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢 B．對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命采用全面調(diào)查的方式 C．有一種游戲的中獎概率是，則做5次這樣的游戲一定會有一次中獎 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差分別是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，則乙比甲穩(wěn)定【分析】分別根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點，全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，概率的意義和方差的意義判斷即可．【解答】解：A．折線統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢，故不符合題意；B．對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命采用抽樣調(diào)查的方式，故不符合題意；C．有一種游戲的中獎概率是，則做5次這樣的游戲不一定會有一次中獎，故不符合題意；D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差分別是S甲2＝0.2，S乙2＝0.03，則乙比甲穩(wěn)定，故符合題意．故選：D．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖的特點，全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，概率的意義和方差的意義，熟練掌握這些定義是關鍵．5．（3分）如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．50° C．40° D．140°【分析】由平角的定義可得∠BEF＝140°，由角平分線的定義可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解．【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝70°．故選：A．【點評】本題主要考查平角的定義、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和平行線的性質(zhì)是解題關鍵．6．（3分）《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x【分析】設6210元購買椽的數(shù)量為x株，根據(jù)單價＝總價÷數(shù)量，求出一株椽的價錢為，再根據(jù)少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案．【解答】解：設6210元購買椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為，由題意得：3（x﹣1）＝，故選：C．【點評】本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關系是解題關鍵．7．（3分）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．π B．3π C．2π D．2π﹣【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到＝＝，由弧長公式求出的長＝π，即可求出“萊洛三角形”的周長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的長＝＝π，∴該“萊洛三角形”的周長是3π．故選：B．【點評】本題考查弧長的計算，等邊三角形的性質(zhì)，關鍵是由弧長公式求出的長．8．（3分）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設B點的坐標為（a，b），根據(jù)矩形對稱中心的性質(zhì)得出延長OM恰好經(jīng)過點B，M（，），確定D（，b），然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．【解答】解：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設B點的坐標為（a，b），∵矩形OABC的對稱中心M，∴延長OM恰好經(jīng)過點B，M（，），∵點D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD?h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）9．（3分）“仙境張家界，峰迷全世界”，據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”節(jié)假日期間，張家界市各大景區(qū)共接待游客約864000人次．將數(shù)據(jù)864000用科學記數(shù)法表示為8.64×105．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：864000＝8.64×105．故答案為：8.64×105．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．10．（3分）因式分解：x2y+2xy+y＝y(tǒng)（x+1）2．【分析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可采用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：x2y+2xy+y＝y(tǒng)（x2+2x+1）＝y(tǒng)（x+1）2．故答案為：y（x+1）2．【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．11．（3分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是a＞﹣1．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞﹣1．故答案為：a＞﹣1．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．12．（3分）2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選拔8名選手參加總決賽，他們的決賽成績分別是95，92，93，89，94，90，96，88．則這8名選手決賽成績的中位數(shù)是92.5．【分析】把題目中的數(shù)據(jù)按照從小到大排列，然后即可計算出相應的中位數(shù)．【解答】解：把數(shù)據(jù)95，92，93，89，94，90，96，88按照從小到大排列是：88，89，90，92，93，94，95，96，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（92+93）÷2＝92.5，故答案為：92.5．【點評】本題考查中位數(shù)，解答本題的關鍵是明確中位數(shù)的定義，會算一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．13．（3分）如圖，AO為∠BAC的平分線，且∠BAC＝50°，將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是75°．【分析】依據(jù)AO為∠BAC的平分線可知，∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋轉(zhuǎn)角為∠OAO′，∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：∵AO為∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠C′AO′＝∠CAO＝25°，旋轉(zhuǎn)角為∠OAO′，∴∠OAO′＝∠OAC′﹣∠C′AO′＝100°﹣25°＝75°．故答案為：75°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，菱形的判定，熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關鍵．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓??；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；是以點C為圓心，CA2為半徑的圓??；是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心，按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標是（﹣2023，1）．【分析】將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉(zhuǎn)90°，再根據(jù)A、A1、A2、A3、A4的坐標找到規(guī)律即可．【解答】解：∵A點坐標為（1，1），且A1為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴A1點坐標為（2，0），又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴A2點坐標為（0，﹣2），又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴A3點坐標為（﹣3，1），又∵A4為A3點繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴A4點坐標為（1，5），由此可得出規(guī)律：An為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、……、n，每次增加1．∵2023÷5＝505……3，故A2023為以點C為圓心，半徑為2022的A2022順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，故A2023點坐標為（﹣2023，1）．故答案為：（﹣2023，1）．【點評】本題考查了點坐標規(guī)律探索，通過點的變化探索出坐標變化的規(guī)律是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共計58分．請考生用黑色碳素筆在答題卡相應的題號后的答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效）15．（5分）計算：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡5個知識點．在計算時，需要針對每個知識點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．【解答】解：|﹣|﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1＝﹣1﹣2×+5＝﹣1﹣+5＝4．【點評】本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式等知識點的運算．16．（5分）先化簡（x﹣1﹣）÷，然后從﹣1，1，2這三個數(shù)中選一個合適的數(shù)代入求值．【分析】先根據(jù)整式的運算法則進行運算，再化簡結(jié)果，注意代入的值不可令分母為0，求解即可．【解答】解：（x﹣1﹣）÷＝[]?＝＝x+1，∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，∴x≠﹣1，將x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，注意分母不能為零．17．（6分）為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）4560租金（元/輛）200300（1）參加此次研學活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應該怎樣租用才合算？【分析】（1）本題中的等量關系為：45×45座客車輛數(shù)+15＝學生總數(shù)，60×（45座客車輛數(shù)﹣1）＝學生總數(shù)，據(jù)此可列方程組求出第一小題的解；（2）需要分別計算45座客車和60座客車各自的租金，比較后再取舍．【解答】解：（1）設參加此次研學活動的師生人數(shù)是x人，原計劃租用y輛45座客車．根據(jù)題意，得，解得．答：參加此次研學活動的師生人數(shù)是600人，原計劃租用13輛45座客車；（2）租45座客車：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），租60座客車：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14輛45座客車更合算．【點評】本題考查二元一次方程的應用，注意租車時最后一輛不管幾個人都要用一輛，所以在計算車的輛數(shù)時用“收尾法”，而不是“四舍五入”．18．（6分）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時，求證：四邊形DECF是菱形．【分析】（1）由SSS證明△AEC≌△BFD（SSS），得到∠A＝∠B，即可證明AE∥BF；（2）由△AEC≌△BFD，得到∠ECA＝∠FDB，推出EC∥DF，又EC＝DF，得到四邊形DECF是平行四邊形，而DF＝FC，推出四邊形DECF是菱形．【解答】證明：（1）∵AD＝BC，∴AD+CD＝BC+CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形．【點評】本題考查菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是證明△AEC≌△BFD（SSS）．19．（8分）2022年4月21日新版《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》正式頒布，優(yōu)化了課程設置，其中將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來．某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生“參加家務勞動的時間”進行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，單位：分鐘）進行統(tǒng)計，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次抽取的學生人數(shù)為50人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為30；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生有多少人？（4）若D組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機抽取兩名同學交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖法，求抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率．【分析】（1）由D組的人數(shù)除以所占百分比得出本次抽取的學生人數(shù)，即可解決問題；（2）求出C組的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）由該校九年級學生人數(shù)乘以參加家務勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽取的學生人數(shù)為5÷10%＝50（人），∴m%＝15÷50×100%＝30%，∴m＝30，故答案為：50，30；（2）C組的人數(shù)為：50﹣10﹣15﹣5＝20（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）600×＝300（人），答：估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生約有300人；（4）若D組中有3名女生，則有2名男生，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結(jié)果有12種，∴抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率是＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（6分）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，根據(jù)題意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴CQ＝BC＝225m，∴PC＝PQ+CQ＝425（m），在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，∴AC＝114.75m，∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），答：奇樓AB的高度約為110m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．21．（6分）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]＝（2a+）?＝b+2a例如：當a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+2根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+2，S4﹣S3＝15+2；（2）當a＝1，b＝3時，把邊長為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，計算即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡Sn+1﹣Sn即可；（3）化簡T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入數(shù)值計算即可．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a+）2＝a2+4a+4b﹣a2﹣2a﹣b＝2a+3b，當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+2；S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a+9b﹣a2﹣4a﹣4b＝2a+5b，當a＝1，b＝3時，S4﹣S3＝15+2；故答案為：9+2；15+2；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2；證明：Sn+1﹣Sn＝（1+n）2﹣[1+（n﹣1）]2＝[2+（2n﹣1）]×＝3（2n﹣1）+2＝6n﹣3+2；（3）當a＝1，b＝3時，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50＝S51﹣S1＝（1+50）2﹣1＝7500+100．【點評】本題考查了二次根式的化簡，正確地計算出結(jié)果是解題的關鍵．22．（6分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的長．【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB＝，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×＝6，∴AC＝＝8，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，設FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+1