黑龍江省2021年普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021年黑龍江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、選擇題：每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的（每小題5分，共60分）.直線眾+斗在孟軸上的截距是（）A.-5B.-4C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求出直線與孟軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.【詳解】當(dāng)^=°時(shí)，代入5x+4^+20二°可得：忑二V.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線在坐標(biāo)軸上截距的概念，考查基本運(yùn)算求解能力.已知直線范+3二°與直線弓工+⑻-1）p+負(fù)二°平行，則實(shí)數(shù)鍥二（）A.-2B.3C.5D.-2或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)有斜率的兩條直線平行的條件列式可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)燉三i時(shí)，顯然不符合題意，所以唧註1,TOC\o"1-5"\h\z_P-J?￥_￡由他+2y+弓二0得，由3x+（^-l）7+rn=0得，二?22m-[m-1m_3所以|厘，解得勰二—2.3m——H—-2m—\故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為珥-&山、碼艮「，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是20,則橢圓的方程為

A.36100B.22卜戸-336A.36100B.22卜戸-336201210036C.400【答案】B【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=8，再根據(jù)橢圓的定義得到a=10，進(jìn)而求得b,即可得橢圓的方程.【詳解】已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F］（-8，0），F(xiàn)2（8，0），可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=8，由橢圓的定義可得：2a=20,即a=10，由a，b，c的關(guān)系解得b=J/—J=6???橢圓方程是，故選B10036【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的定義和性質(zhì)，涉及到兩焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，常采用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.平行于直線廠-卜且過點(diǎn)（Z1）的直線方程為（）A.2x_尹一3二0B.2x+y—5二0C.斗斗驢=UD.x+2y-4=0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線斜率的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】與直線廠-卜平行的直線』可設(shè)為：戸=—g忑b否直線』過點(diǎn)CN1）,故選：D所以有1所以有1二-|y+2=>z+2^-4=0,x軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)e習(xí)、（i,i）距離之和最小值是（）A.B.2+J^C.JlQD.+l【答案】C【解析】【分析】求出(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與(1,1)，即可求出距離之和的最小值.【詳解】x軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0,2)、(1,1)距離之和最小值，就是求解(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與(1,1)的距離即可，因?yàn)?0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為〔。廠2〕，所以『十〔1十二血.即X軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0,2)、(1,1)距離之和最小值是*5.故選：C已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)(一2,—3)，則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是()A.4B.尿C.姑D.V17【答案】D【解析】乳一25-3【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)我廠可關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以有，解得工二4』二1?所以點(diǎn)0(4,1)到原點(diǎn)的距離為=茨，故選D已知喘是實(shí)常數(shù)，若方程++=0表示的曲線是圓，則喘的取值范圍為()A，兩曲B.C.工妙D.20,-Ko.【答案】B【解析】【分析】由方程表示的曲線為圓，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)喘的不等式，解出即可.【詳解】由于方程/+於+加+4尹+哩二0表示的曲線為圓，則22-h42-4rn>0，解得腆c5.因此，實(shí)數(shù)將的取值范圍是故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圓的一般方程求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)3,-4!，則此雙曲線的離心率為abA.B.4C-3D.A.B.4C-3D.【答案】D【解析】?y3【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3,-4）,ab..逖二也…9（c3-a3）=l^3,e=-=-.a3故選D.考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口?與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線4-4=1共漸近線的可設(shè)為季-茸=九（只蓋0）；（2）茁社a護(hù)若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半◎ab32,M_2軸長(zhǎng)&；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線aba\a的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小.另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.兩圓G：乳+>"=1和十P_—5=0的位置關(guān)系是A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離【答案】B【解析】【分析】求出兩圓的圓心與半徑，利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可得到結(jié)果【詳解】由圓二刁的圓心為（Q0）,半徑為1，圓^3+/-4x-5=0圓心為行』）半徑為3，所以圓心距為2,此時(shí)2=3-1，即圓心距等于半徑的差，所以兩個(gè)圓相內(nèi)切，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)圓的的位置關(guān)系的判定，其中熟記兩圓的位置關(guān)系的判定方法，準(zhǔn)確作出運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.雙曲線的離心率大于龐的充分必要條件是（）mA.B.C.鳳AlD.酬n222【答案】C【解析】【分析】由方程確定厲』，求出亡后得離心率，列不等式可得喘范圍.Qf【詳解】由題意雙曲線的離心率為，忑，朋A1.m1故選：C.已知拋物線?=Sz，定點(diǎn)人（4,2），F(xiàn)為焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則M+H的最小值為（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義把F到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為卩到準(zhǔn)線的距離即可得.【詳解】如圖，作尸◎冊(cè)與準(zhǔn)線“J垂直，垂足分別為2”，則|^el=l^l，円'l+lPA\^\PQ\+\PA\>\AN\^6，當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,A三點(diǎn)共線即F到颯重合時(shí)等號(hào)成立.故選：B.0P//'Ox=-2在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A\,2'距離為1,且與點(diǎn)B3J'距離為2的直線共有A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】B

【解析】【詳解】根據(jù)題意可知，所求直線斜率存在，可設(shè)直線方程為y=kx+b,即kx—y+b=O,所以八丙所以八丙解之得k=0或七二-首'所以所求直線方程為y=3或4x+3y—5=0,所以符合題意的直線有兩條，選B.二、填空題：（每小題5分，共20分）?若^+2^+2=0與直線3x-y-2=0垂直，那么耳=2【答案】【解析】【詳解】由兩條直線垂直知號(hào)x寸二-1，2得口二亍已知A【-N-A,B（5,1），則以線段AB為直徑的圓的方程的一般式為.【答案】川+b-2工+乜-20=0.【解析】【詳解】試題分析：以AB為直徑的圓的圓心為AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為（1，—2），半徑為所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：?兀—13+?，+"*二2b，轉(zhuǎn)化為普通方程為?2x447-20=0.考點(diǎn)：考查了圓的一般方程.點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑先求出標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為圓的一般方程.已知點(diǎn)皿（詢?cè)谥本€或+?二15上，則&護(hù)的最小值為.【答案】3【解析】【分析】將J"屮的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線衣+4》二15的距離來求解.=6=6【詳解】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)9丄)的距離，又???點(diǎn)就備)在直線3x^4y=^上,.|3xO+4xO-15|的最小值等于點(diǎn)(°，°)到直線3^+47-15=0的距離，且吐=故答案為：3【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.已知點(diǎn)理-3廠4),思33到直線廠般亠嚴(yán)1=0的距離相等，貝y實(shí)數(shù)&的值為17【答案】或【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)找-3廠4),月33到直線皿廿+1=0的距離相等，17解得或門二_§，17故答案為：一召或三、解答題(共70分)解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(—1,5)、B(―2,—1)、C(4，3)，M是BC邊上的中點(diǎn)。求AB邊所在的直線方程；求中線AM的長(zhǎng)【答案】(1)6疋一/+11=0⑵2^5【解析】【分析】(1)由兩點(diǎn)式寫出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率,，由點(diǎn)斜式得直線方程;(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)M坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得.【小問1詳解】由兩點(diǎn)式寫方程得7-5-1-5忑+1-2+r由兩點(diǎn)式寫方程得7-5-1-5忑+1-2+r即6疋一^+11=Q.或直線川月的斜率為疋二-1-5-2-(-1)直線/月的方程為^-5=6x+b，即6^-^+11=0【小問2詳解】設(shè)M的坐標(biāo)為心,時(shí),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得聞二2："二1必二〔J二］,故M川，AM=』1十1#十門一5『=2怎（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為爐廠習(xí)，且過點(diǎn)戶（￥，習(xí)的橢圓的方程.（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)Q（Q_g）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意橢圓的焦點(diǎn)在卩軸上，且，結(jié)合卻二^十芒即得解；（2）設(shè)橢圓的方程為唧/+勞'=1,待定系數(shù)即得解【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在卩軸上，設(shè)橢圓方程為a由橢圓定義，皿故農(nóng)=5,c=3rb=&=422故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2516（2）不妨設(shè)橢圓的方程為：噁嚴(yán)+勞'二111—期+—m=1:9，解得^=5^=4—刃=1ip5?+4^2=1丁+兀_]故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：45已知圓U:H—2乂+4護(hù)—4=0和直線/:+9=0，點(diǎn)p是圓c上的動(dòng)點(diǎn).(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑;(2)求點(diǎn)P到直線F的距離的最小值.【答案】(1)圓心坐標(biāo)1-2'，半徑為孑；(2)1【解析】【分析】(1)將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即可求解.(2)求出圓心到直線的距離，減去半徑即可.【詳解】(1)由圓C:?+/-2z+^-4=0,化為?疋一11+=9,所以圓C的圓心坐標(biāo)1.-2'，半徑為H.3xl-4xi：-21+9(2)由直線/3xl-4xi：-21+9所以圓心到直線的距離/,=4所以圓心到直線的距離/護(hù)+T，所以點(diǎn)p到直線』的距離的最小值為4-3=1.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、寫出圓的圓心與半徑、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)分別為(°廠6,Q6〕,且經(jīng)過點(diǎn)*邛)；(2)經(jīng)過點(diǎn)◎屁,I-?「?；【答案⑴【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合”=護(hù)十護(hù)，即得解;a護(hù)（2）設(shè)雙曲線的方程為用+新=1（血7，代入點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)即得解【小問1詳解】,2t_2由題易知焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程ab'=貳+/=3右3G琳q!h1-1j=1G解得::護(hù)=魁所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1620【小問2詳解】設(shè)雙曲線的方程為：^5—（血⑴代入點(diǎn)坐標(biāo)得到："16A+佃二1■=1解得：衛(wèi)一故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4S已知拋物線才=2px的準(zhǔn)線方程為X=-1.（1）求p的值；（2）直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)國(guó)行|,【答案（1）2（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程直接求出占即可；(2)設(shè)丿耳JV，行忌;V，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得忑+花，工遷，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€才二2px的準(zhǔn)線方程為X二-1，所以彳二1，所以P~^；【小問2詳解】解：設(shè)且耳外，0呵必’，J=^-1.由|2』，消去卩，得怎一心+1=0,?=4x則罰+心二「羽心二1,所以^已知在平面直角坐標(biāo)系兀內(nèi)中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-屈?，右頂點(diǎn)為鞏2?,設(shè)點(diǎn)丿卩遠(yuǎn)〕?求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過原點(diǎn)。的直線交