空間向量及其坐標(biāo)的運算(精練)(解析版)

1.3空間向量及其坐標(biāo)的運算【題組一空間向量的坐標(biāo)運算】1.(2020?全國高二)已知點B(2,-3,1)，向量AB=(-3,5,2)，則點A坐標(biāo)是()A.(1,2,3)B.(-1,2,3)C.(-5,8,1)D.(5,-8,-1)【答案】D【解析】設(shè)點A(x,y,z)，則向量AB=(2-x，-3-y，1-z)=(—3,5,2)2—x=-3所以<-3-y=5、1-z=2y=-所以<-3-y=5、1-z=2y=-8z=-1所以點A(5,-&-1).故選：D2.(2019?浙江高二學(xué)業(yè)考試)設(shè)點M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0)?若OM=AB，則點B的坐標(biāo)為()A．(-1,3,-3)B．(1,-3,3)C．(9,1,1)D．(-9,-1,-1)【答案】C【解析】設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y,z)，則OM=(5,-1,2),AB=(x-4,y-2,z+1)OM=ABx-4=5x=9y-2=-1，解得iy=1故選：C．3.(2020?綿竹市南軒中學(xué)高二月考(理))若a=(2,3,-1)，b=(2,0,3),c=(0,2,2),的值為()A.(4,6,-5)B.5C.7D.36【答案】B【解析】b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5)，a+c)=2x2+2x3+(-1)x5=5.故選：B4.(2019?包頭市第四中學(xué)高二期中(理))若直線i的方向向量為m，平面a的法向量為n，則可能使l//q的是()A.m=(1,0,0)，n=(-2,0,0)b.m=(1,3,5)，n=(1,0,1)C.m=(0,2,1)，n=(-1,0,-1)d.m=(1,-1,3)，n=(0,3,1)【答案】D【解析】A中mn=-2豐0，所以排除A;B中mn=1+5=6豐0，所以排除B;C中mn=—1，所以排除C;D中mn=0，所以m丄n，能使///a.故選D5.（2020?南京市秦淮中學(xué)高二期末）對于任意非零向量方=（x,y,z）,b=（x,y,z），以下說法錯誤的111222有（）a.若a丄b，則x]x2+片y2+Z]z2=oB.B.若a//b，則X=于=三222C.D.AC.D.A.APLABB.AP丄BPC.BC=莎D.AP//BCxx+yy+Zzcos<a,b>=.—1^2—x2+y2+z2?Jx2+y若X1=y]=Z1=1，則a為單位向量【答案】BD【解析】對于a選項，因為a丄b，則a?b=+yy+zz對于C選項，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知cos<a+yy+zz對于C選項，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知cos<a，b>=?宀三，C選項正確;x2+y2+z2-x2+y2+z2111222對于d選項，若x1=y1=z1=1，則|a|=J12+12+12=73，此時，a不是單位向量，d選項錯誤.故選：BD.6（2020?江蘇連云港高二期末）已知點P是△ABC所在的平面外一點，若AB=（-2，1,4），AP=（1,-2，1），AC=（4，2，0），貝9（）121212TTx對于B選項，若呎=0，且y2豐0，z2豐0，若a//b，但分式亍無意義，B選項錯誤;2222答案】AC【解析】因為AP-AB=0，故A正確；BP=（3,—3,—3），AP?BP=3+6—3=6豐0，故B不正確;BCBC二(6,1,—4),|BC卜乜62+12+(—4)2=J53，故C正確；AP二(1,—2,1),BC二(6,1,—4)，各個對BCBC二(6,1,—4),|BC卜乜62+12+(—4)2=J53，故C正確；AP二(1,—2,1),BC二(6,1,—4)，各個對應(yīng)分量的比例不同，故D不正確。故選:AC。7(2020?全國高二課時練習(xí))已知向量a=(2,—1,—2),b=(1,1,—4).計算2a—3b和|2a—3.求［a,b).【答案】(1)(1,—5,8)；3“0；(2)4【解析】(1)因為向量a二(2,—1,—2),b二(1,1,—4)所以2a—3b=2(2,-1，—2)—3(1,1,—4)=(4,—2,—4)—(3,3,-12)=(】,一5,8)所以2a—3b=J12+(-5)2+82=3J102)a2)a,b=爺=三2卞因為〔a,可G［0,兀］8.(8.(2020?吳起高級中學(xué)高二月考(理))已知空間三點A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4)，設(shè)a=AB,b=AC.a,b的夾角6的余弦值；若向量ka+b,ka—2b互相垂直，求實數(shù)k的值;(3)若向量九a—b,a-九b共線，求實數(shù)九的值.答案】(1)10答案】(1)102)【解析】(1)已知空間三點A(—2,0,2),B(一1,1,2),C(一3,0,4)a=AB=(1,1,0),b=Ac=(—1,0,2)cos6=丄丄=—邁IaI-1bI忑』10(2)若向量ka+b,ka-2b互相垂直,又a=(1,1,0),b=(—1,0,2)，則(ka+b)-(ka-2b)=(k-1,k,2)-(k+2,k4)=(k-l)(k+2)+k2-8=02k2+k—10=0解得：k=-2或k=2(3)向量尢a-b,a-尢b共線，又a=(1,1,0),b=(-1,0,2)九a—b=(九+1,X,-2),a-九b=(1+九,1,-2九)TOC\o"1-5"\h\z九+1九-2當(dāng)九北一1,九北0時，.?=~T=.=11+九1—2九當(dāng)九=-1時，.?.九a—b=(0,-1,-2),a-九b=(0,1,2)，成立,當(dāng)九=0時，.九a-b=(1,0,—2),a—九b=(1,1,0)，不成立，故：九=1或九=-1【題組二坐標(biāo)運算在幾何中的運用】1.(2020?全國高二課時練習(xí))棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD，BD，BBy的中點.求證：EF丄CF；求EF與CG所成角的余弦值；求CE的長.【答案】(1)證明見解析；(2)"15；(3)?.152【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz'0,0,2',C(0,1,0),F:需,0【,G1,1,2'12丿122丿12丿則D(0,0,0),Er111ar11ar1ar1a=,CF=—,——,0,CG=1,0,—,CE=0,—1,—V222丿V22丿V2丿V2丿所以EF1111A1111Ar1A—X—+—X——+——222V2丿V2丿（1）證明：因為EF-CF=X0=0，所以EF丄CF，即肪丄cf.’11r1a11lr1a2r1a2r1a2(2)因為EF-CG=—x1+—x0+-X—二EF已++—22V24H2丿V2丿V2丿2殲{12+02+(1A2<5cosfEFcosfEF,CG=EF?CG€15IF⑶ce=J02+(—1)2+(*丿$2.（2019?全國高二）棱長為1的正方體ABCD—中，E,F,G分別是DD「BD,BB］的中點．（1）求證：EF丄CF；（2）求EF與CG所成角的余弦值；（3）求CE的長.【答案】（1）詳見解析；（2）15；（3）5.152【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz/B/B則D(0,0,0),E0,0,—,C(0，1，0),F—,—,0,G1丄2V2丿V22丿，2丿(11_1(11_1]?2,2,_2丿2(11\(1\(1)CF=:2廠2,0丿,CG=:1,0,2丿,CE=:o,_1,2丿所以EF=111i1(1)(i)證明：因為EF-CF=2x2+2x[—2p[_2j0=0所以EF丄CF即EF丄CF(2)因為EF?CG=2x1+2x0+22?由向量夾角的求法可得TOC\o"1-5"\h\z_,1EFcos-CG4^15EFcosEF_PG*_百EF22（3）根據(jù)空間中兩點的距離公式可得詞h+（_?+（丄丿2衛(wèi).Vk2丿23.（2020?全國高二課時練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為AyDvBB、的中點，則cosZEAF二，EF=【答案】，EF=【答案】2斗【解析】以A為原點，AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系所以向量所以向量AF的坐標(biāo)為i，2，ij—1設(shè)正方體棱長為1，AE—1設(shè)正方體棱長為1，AE二0,2,1]AF2丿1,0,2]，ef

2丿_,1cosfAE,AF；=進?竺=JAEIAF5x竺22.?.cosZEAF=I,EF=|EFh12.?.cosZEAF=I,EF=|EFh12+<6

丁故答案為：2?'厚4.（2020?全國高二課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為0心，Bf1的中點，若以則向量AE的坐標(biāo)為向量AF的坐標(biāo)為.向量AC［的坐標(biāo)為(1,1,1)(1)(1,1,1)【答案】2,1,1V2丿TOC\o"1-5"\h\z（ia【解析】因為AE=AD+DD+DE=廳AB+AD+AA，所以向量AE的坐標(biāo)為廳丄1?V2丿?????1??因為AF=AB+BB1+%F-AB+2AD+*

>>>>因為AC=AB+AD+AA，所以向量AC的坐標(biāo)為(1,1,1)iii故答案為：〔，故答案為：〔，2,i](1,1,1)V2丿【題組三最值問題】1.(2019?全國高一課時練習(xí))在xoy平面內(nèi)的直線x+y=1上求一點M，使點M到點N(6,5，1)的距離最小，并求出此最小值．【答案】點M的坐標(biāo)為(1,0,0)時，|MN|min【解析】設(shè)M(x，1-x,0)則|MN|=\(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2=、Q(x-1)2+51所以當(dāng)x=1，即點M的坐標(biāo)為(1,0,0)時，|MN|=J5Tmin2.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ZBAC=90。，AB=AC=AA、=2,點G與E分別是A"和CC1的中點,點D與F分別是AC和AB上的動