第7章 數(shù)學(xué)物理方程定解問題

本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解；重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法；特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程。第二篇數(shù)學(xué)物理方程數(shù)理方程簡介物理/工程問題數(shù)學(xué)問題翻譯物理/工程規(guī)律數(shù)學(xué)結(jié)果求解數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)性質(zhì)討論物理/工程意義補(bǔ)充：二階線性偏微分方程及其分類一、偏微分方程階數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)定義：未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程。線性偏微分方程：所有含未知函數(shù)或其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)均為一次項(xiàng)。齊次方程：各非零項(xiàng)都含有未知函數(shù)，或未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【例】未知函數(shù)

u＝u(x,y)

二階非線性非齊次

三階線性非齊次

二階線性齊次

一階非線性非齊次二、二階線性偏微分方程的分類

復(fù)雜多樣的物理問題被抽象成數(shù)學(xué)模型時(shí)，多樣的物理背景可能是同一個(gè)數(shù)學(xué)模型。下面把從物理問題中抽象出來的二階線性偏微分方程分為幾大類1.波動(dòng)方程：描述機(jī)械的、電磁的振動(dòng)和波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程一般形式：設(shè)

u=u(x,y,z,t)簡記為：（a為常數(shù)）拉氏算符也稱：雙曲型方程（HyperbolicEquation）2.輸運(yùn)方程：描述熱傳導(dǎo)和物質(zhì)擴(kuò)散規(guī)律的方程一般形式：也稱：拋物型方程（ParabolicEquation）：雙曲型方程和拋物型方程都是隨時(shí)間變化（或發(fā)展）的,有時(shí)也稱為發(fā)展方程.3.泊松方程和拉氏方程：描述各類穩(wěn)定問題規(guī)律的方程一般形式：泊松方程拉氏方程它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過程規(guī)律偏微分方程.在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律。借助算子的語言，以上各類方程可統(tǒng)一寫成對(duì)于波動(dòng)方程：對(duì)于輸運(yùn)方程：對(duì)于穩(wěn)定場方程：L為線性算子:滿足L(c1u1+c2u2)=c1Lu1+c2Lu2其中c1,c2是常量方程還可直接由實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來（麥克斯韋方程組）或由某些假設(shè)推出來（薛定諤方程）要求：學(xué)會(huì)從物理、工程規(guī)律推導(dǎo)方程的基本方法由已知的物理/工程規(guī)律可推導(dǎo)出來這三類方程。數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問題從一些典型的物理、工程問題中導(dǎo)出二階線性偏微分方程．為了說明物理模型，加強(qiáng)對(duì)模型物理、工程意義的描述.對(duì)主要類型的物理、工程現(xiàn)象均詳細(xì)地給出了數(shù)學(xué)物理方程的建立方法,切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力的訓(xùn)練和提高.數(shù)學(xué)建模的基本物理思想在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中常常要求研究空間連續(xù)分布的各種物理場的狀態(tài)和物理過程。【例】靜電場（或電磁波）的電場強(qiáng)度或電勢在空間中的分布，

聲場中的聲壓在空間和時(shí)間中的變化情況，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中雜質(zhì)濃度在硅片中怎樣分布并怎樣隨時(shí)間而變化等等。定解條件：

邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性(個(gè)性)。數(shù)學(xué)物理方程的建立及其求解的一般步驟將物理、工程問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：對(duì)物理、工程問題根據(jù)相關(guān)的物理、工程定律建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，也就是將物理或工程問題歸結(jié)成數(shù)學(xué)上的定解問題.解定解問題,也就是用數(shù)學(xué)方法求出滿足方程和定解條件的解;驗(yàn)證模型的正確性并理解模型的物理、工程意義：對(duì)所得解通過數(shù)學(xué)的論證和客觀實(shí)踐的檢驗(yàn)鑒定其正確性，并將所得的解作適當(dāng)?shù)奈锢硪饬x解釋，從而理解遵循同一類方程的普遍物理模型.（1）牛頓（Newton）第二定律:F=ma；（2）胡克（Hooke）定律在彈性限度內(nèi)，彈性體的張應(yīng)力和彈性體的形變量成正比．

即張應(yīng)力＝楊氏模量(E)×相對(duì)伸長.（3）熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：在dt時(shí)間內(nèi)，通過面積元dS流入小體積元的熱量dQ與沿面積元外法線方向的溫度梯度成正比，也與dS和dt成正比，即：式中k是導(dǎo)熱系數(shù)，由物體的材料決定．常用物理定理概述返回返回（4）牛頓(Newton)冷卻定律:單位時(shí)間內(nèi)從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即：

這里u1是外界媒質(zhì)的溫度.h為比例系數(shù)．(5)擴(kuò)散定律即斐克定律:單位時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散流過某橫截面的雜質(zhì)量m與該橫截面積S和濃度梯度成正比，即：式中D為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散是向著雜質(zhì)濃度減少的方向進(jìn)行的。返回返回（6）靜電場中的高斯(Gauss)定理:通過任意閉合曲面的電場強(qiáng)度通量，等于這個(gè)閉合曲面所包圍的自由電荷量的1/ε倍。即其中，ε為電荷所處媒質(zhì)的介電常數(shù)，ρ為電荷體密度。

補(bǔ)充：拉普拉斯算符令（拉普拉斯算符）有時(shí)記記下標(biāo)2是為了強(qiáng)調(diào)二維下標(biāo)3是為了強(qiáng)調(diào)三維第七章數(shù)學(xué)物理方程定解問題7.2定解條件7.3數(shù)學(xué)物理方程的分類(自學(xué)）§7.1三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出7.4達(dá)朗貝爾公式、定解問題（不講）（弦的一維自由橫振動(dòng)）一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)將其繃緊，考察它沿垂直于弦方向的微小振動(dòng)。1、均勻弦的微小橫振動(dòng)§7.1三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)過程：（1）建立坐標(biāo)系：選擇弦平衡時(shí)繃緊的直線為ox軸。（2）確定描述狀態(tài)的物理量：u(x,t)

u(x,t)—弦上位于x點(diǎn)在任意t時(shí)刻偏離平衡位置的橫向位移。（3）弦運(yùn)動(dòng)所遵循的物理規(guī)律：弦上任意一小段可視為質(zhì)點(diǎn)，服從牛頓第二定律①弦是均勻的——密度為一常量

mg<<T（弦中的張力）——

重力可忽略不計(jì)，同時(shí)忽略空氣阻力③弦是完全柔軟體——（無抗彎力）張力沿切線方向④弦做微小振動(dòng)——弦的伸縮量ΔS≈0(ds～dx）（4）簡化假設(shè)：xx+xxu弦的橫向位移為u(x,t)(5)導(dǎo)出方程（小塊分析法）：考慮微小橫振動(dòng)xx+xxu記xx+xxu《高數(shù)》下冊(cè)P63偏導(dǎo)數(shù)的定義均勻弦的受迫橫振動(dòng)如果各點(diǎn)受到一個(gè)垂直方向的外力F(x,t)

x的作用，其中：F(x,t)為單位長度上受到的外力。推導(dǎo)過程相同，結(jié)果得：一維波動(dòng)方程單位質(zhì)量所受的力(力密度)桿長方向的縱向振動(dòng)位移所遵從的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

對(duì)于一根桿，只要其中任意一小段有縱向移動(dòng)，必然使它的臨近段壓縮或伸長，這鄰近段的壓縮或伸長又使得它自己的相鄰段壓縮或伸長······。這樣一來，任一小段的縱向振動(dòng)必然傳播到整根桿．實(shí)際上，這種振動(dòng)的傳播就是波．2、均勻桿的縱振動(dòng)細(xì)桿分成許多段（研究B段）t時(shí)刻，某點(diǎn)的縱向位移為t時(shí)刻，B段伸長相對(duì)伸長為事實(shí)上，相對(duì)伸長是位置的函數(shù)，如B段兩端：相對(duì)伸長由胡克定律，B兩端的張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為B段運(yùn)動(dòng)方程為記對(duì)于均勻桿，E和ρ都是常數(shù)。不同的物理過程，可能有相同的泛定方程。如：傳輸線方程（電報(bào)方程）均勻薄膜的微小橫振動(dòng)方程流體力學(xué)與聲學(xué)方程電磁波方程盡管它們的物理本質(zhì)根本不同，但是這些方程數(shù)學(xué)形式與弦振動(dòng)方程和桿縱振動(dòng)方程完全一樣。3、擴(kuò)散方程由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散流強(qiáng)度q

，即單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量，與濃度

u(單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）

的梯度成正比D為擴(kuò)散系數(shù)。負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向與濃度梯度相反。(擴(kuò)散定律/斐克定律)大小x方向左表面，dt時(shí)間流入六面體的流量為流出六面體的流量為凈流入量為x方向凈流入量為同理可以求得y方向凈流入量為以及z方向凈流入量為則六面體凈流入量如六面體內(nèi)無源和匯，則dt時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為該增加數(shù)等于六面體凈流入量，即于是得到三維擴(kuò)散方程：如果擴(kuò)散系數(shù)D在空間中是均勻的，則上式可以簡化為這里a2=D。如果僅在x方向有擴(kuò)散，則有即如六面體內(nèi)有源或匯，則需進(jìn)一步考慮以下兩種情況：第二種情況，若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為b2u，則即第一種情況，若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為F(x,y,z,t)與u無關(guān)4、熱傳導(dǎo)方程第一種情況：系統(tǒng)內(nèi)無熱源（熱傳導(dǎo)僅由物體內(nèi)部溫度不均勻所引發(fā)）如果物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度不一樣，則物體內(nèi)部就會(huì)有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象發(fā)生，即熱量會(huì)從溫度高的地方流向溫度低的地方。熱傳導(dǎo)的結(jié)果使物體各點(diǎn)溫度發(fā)生變化，我們的任務(wù)就是要推導(dǎo)溫度變化所滿足的偏微分方程。設(shè)有一根橫截面為A的均勻細(xì)桿，沿桿長有溫度差，其側(cè)面絕熱。u(x,t)為x處t

時(shí)刻的溫度，

為桿密度。xxx+x熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的熱量q(熱流強(qiáng)度量）與溫度的梯度成正比，即

（k為熱傳導(dǎo)系數(shù)）一維情況下有大小

x方向左表面，dt時(shí)間流入圓柱體的熱量為dt時(shí)間流出圓柱體的熱量為xxx+xdt時(shí)間凈流入的熱量為

這里認(rèn)為熱傳導(dǎo)系數(shù)k為常數(shù)。u(x,t)為x處t

時(shí)刻的溫度，

為桿密度xxx+xdt時(shí)間內(nèi)引起小段dx溫度升高所需熱量為由能量守恒定律：dt流入dx內(nèi)的凈熱量＝

體元dx溫度改變du所吸收（放出）的熱量

即：各向同性均勻物體，當(dāng)