2024屆一輪復(fù)習人教A版 第六章立體幾何第七講立體幾何中的向量方法 課件（77張）

第七講立體幾何中的向量方法課標要求考情分析1.能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用從近五年的考查情況來看，利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點，考查頻率較高，線、面的平行和垂直問題一般不用向量法求解，但向量法的使用有時可以加快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等1.異面直線所成的角

2.直線與平面所成的角

如圖6-7-1，直線AB與平面α相交于點B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，圖6-7-13.平面與平面的夾角

如圖6-7-2，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.圖6-7-2

【常用結(jié)論】

(1)線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.(2)二面角的范圍是[0，π]，兩個平面夾角的范圍是4.利用空間向量求距離(1)點到直線的距離圖6-7-3

(2)點到平面的距離圖6-7-4(3)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距進行求解.注意體積法在求點到平面距離時的應(yīng)用.【名師點睛】

(3)若二面角A-BC-D的大小為α，平面ABC內(nèi)的直線l與平面BCD所成角為β，則α≥β，當l⊥BC時，取等號.

考點一利用向量求空間的角考向1向量法求異面直線所成的角圖6-7-5答案：C

(2)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________.

解析：設(shè)等邊三角形的邊長為2.取BC的中點O，連接OA，OD.因為等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以點O為坐標原點，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖6-7-6所示的空間直角坐標系.圖6-7-6【題后反思】(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標系；②求出兩直線的方向向量v1，v2；(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點：兩異面直線所成角的范圍θ∈

，兩向量的夾角的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.

考向2向量法求線面角

[例2](2022年浙江)如圖6-7-7，已知

ABCD和

CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點. (1)證明：FN⊥AD； (2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.圖6-7-7

(1)證明：由于

CD⊥CB，CD⊥CF，

平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF?平面CDEF，CB?平面ABCD，

所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角，

則∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF，

因為FN?平面FCB，

所以CD⊥FN.則△BCF是等邊三角形，則CB⊥FN，因為DC⊥FC，DC⊥BC，F(xiàn)C∩BC＝C，F(xiàn)C?平面FCB，BC?平面FCB，所以DC⊥平面FCB.因為FN?平面FCB，所以DC⊥FN.又因為DC∩CB＝C，DC?平面ABCD，CB?平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因為AD?平面ABCD，故FN⊥AD.(2)解：由于

FN⊥平面ABCD，如圖6-7-8建立空間直角坐標系：圖6-7-8

【題后反思】

線面角涉及斜線的射影，故找出平面的垂線是解題的基本思路，而這往往正是解題難點所在，故常用向量法求解斜線與平面所成角的問題.解題的關(guān)鍵是確定斜線的一個方向向量a和平面的一個法向量b，再通過計算線面角的向量公式sinθ＝|cos〈a，b〉|＝

|a·b||a|·|b|(θ是斜線與平面所成的角)求解，要特別注意a和b的夾角與線面角的關(guān)系.

考向3向量法求二面角

[例3](2022年全國Ⅱ)如圖6-7-9，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點. (1)證明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.圖6-7-9(1)證明：如圖6-7-10，連接OA，OB，依題意，OP⊥平面ABC，圖6-7-10又∵OA?平面ABC，OB?平面ABC，則OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又∵PA＝PB，OP＝OP，則△POA≌△POB，∴OA＝OB.延長BO交AC于點F，又AB⊥AC，則在Rt△ABF中，O為BF中點，連接PF，在△PBF中，O，E分別為BF，BP的中點，則OE∥PF.∵OE

平面PAC，PF?平面PAC，∴OE∥平面PAC.

(2)解：過點

A作AM∥OP，以AB，AC，AM分別為x軸、y軸、z軸建立如圖6-7-10所示的空間直角坐標系，

由于PO＝3，PA＝5，由(1)知OA＝OB＝4，又∵AC＝ABtan60°＝12，即C(0，12，0)，設(shè)平面AEB的一個法向量為n＝(x，y，z)，【題后反思】利用向量法確定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

(3)將二面角轉(zhuǎn)化為線面角求解.如圖6-7-11所示，要求二面角P-AB-C，可作PH⊥AB，則二面角P-AB-C的大小即為PH與平面ABC所成角θ的大小，PH易求，可用體積法求P到平面ABC的距圖6-7-11【考法全練】

1.(考向1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點，則異面直線BP與AC1

所成角的余弦值為________.解析：如圖D42，在正三棱柱ABC-A1B1C1

中，圖D42

2.(考向2，3)(2022年天津)如圖6-7-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1

＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1

中點，E為AA1

中點，F(xiàn)為CD中點. (1)求證：EF∥平面ABC；(2)求直線BE與平面CC1D的正弦值；(3)求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值.圖6-7-12解：(1)證明：如圖D43，取BB1的中點G，連接FG，EG，圖D43∵D為A1B1

中點，E為AA1

中點，F(xiàn)為CD中點.∴FG∥BC，EG∥AB.又∵FG

平面ABC，CB?平面ABC，∴FG∥平面ABC.同理可得，EG∥平面ABC，又∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AC⊥AB，則可建立如圖D43所示的空間直角坐標系，又∵AA1＝AB＝AC＝2，D為A1B1

中點，E為AA1中點，F(xiàn)為CD中點.故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，

3.(考向3)如圖6-7-13所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求證：AB⊥PD； (2)若∠BPC＝90°，PB＝

，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC的夾角的余弦值.圖6-7-13(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)解：如圖

D44，過點P作AD的垂線，垂足為點O，過點O作BC的垂線，垂足為點G，連接PG，圖D44則PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.考點二求空間距離[例4]如圖6-7-14，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.圖6-7-14(1)求點N到直線AB的距離；(2)求點C1

到平面ABN的距離.解：建立如圖6-7-15所示的空間直角坐標系，

圖6-7-15則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，∵N是CC1

的中點，∴N(0，4，2).【題后反思】求點面距的一般方法(1)作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)等體積法.(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便.【變式訓練】

1.如圖6-7-16，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點P到直線BD的距離為________.圖6-7-16

解析：如圖D45，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，圖D452.(2022年全國Ⅰ)如圖6-7-17，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積 (1)求A到平面A1BC的距離；(2)設(shè)D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.圖6-7-17(2)如圖D46，連接AB1，交A1B于點E，圖D46∵AA1＝AB，∴四邊形為正方形，∴AB1⊥A1B.又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC.由直三棱柱ABC-A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又∵AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB.以B為坐標原點，BC，BA，BB1所在直線為坐標軸建立如圖D46所示的空間直角坐標系，

⊙立體幾何中的動態(tài)問題圖6-7-18A.圓的一部分C.拋物線的一部分

B.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分答案：B圖6-7-19【題后反思】

(1)直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). (2)立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等.

(3)一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡(還可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程).

【高分訓練】

1.如圖6-7-20所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個動點(