第八章微專題七市賽一等獎(jiǎng)

微專題七圓錐曲線中性質(zhì)的推廣大一輪復(fù)習(xí)講義一道解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)定理的特殊情況如果掌握了定理的原理，也就把握了試題的本質(zhì)對(duì)一些典型的試題，不應(yīng)滿足于會(huì)解，可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識(shí)背景，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)這樣才能真正找到解決問(wèn)題的方法，學(xué)會(huì)用更高觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，把握問(wèn)題的本質(zhì)真題研究一、試題展示題12018·全國(guó)Ⅰ如圖1所示，設(shè)拋物線C：y2＝2，點(diǎn)A2,0，B－2，0，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)1當(dāng)l與軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；解當(dāng)l與軸垂直時(shí)，l的方程為＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,2或2，－2即－2y＋2＝0或＋2y＋2＝02證明：∠ABM＝∠ABN證明當(dāng)l與軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN當(dāng)l與軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝－2≠0，M1，y1，N2，y2，則1>0，2>0所以BM＋BN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM＝∠ABN綜上，∠ABM＝∠ABN題22018·全國(guó)Ⅰ設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,01當(dāng)l與軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；解由已知得F1,0，l的方程為＝12設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB證明當(dāng)l與軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°當(dāng)l與軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB當(dāng)l與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝－1≠0，A1，y1，B2，y2，由題意知Δ>0恒成立，從而MA＋MB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以∠OMA＝∠OMB綜上，∠OMA＝∠OMB點(diǎn)評(píng)以上兩題是2018年高考全國(guó)Ⅰ卷解析幾何題的倒數(shù)第二題，是選拔題第1問(wèn)根據(jù)直線方程的求法，多數(shù)學(xué)生都能完成，第2問(wèn)是個(gè)探索性問(wèn)題，重點(diǎn)考查用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”，是平面幾何中的角平分線問(wèn)題，但本題的解決過(guò)程卻充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，可以將等角的幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)代數(shù)關(guān)系式，然后再用坐標(biāo)法來(lái)處理本題看起來(lái)很平常，實(shí)際上卻背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的數(shù)學(xué)價(jià)值和研究空間，我們重點(diǎn)研究第二小問(wèn)的相關(guān)性質(zhì)二、性質(zhì)研究性質(zhì)1如圖3所示，已知拋物線y2＝2,0m>0，設(shè)不與軸垂直的直線l與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，則直線l過(guò)定點(diǎn)Am,0的充要條件是軸是∠MBN的角平分線圖3證明先證明必要性：設(shè)不與軸垂直的直線l的方程為y＝－m≠0，代入y2＝2＋22＝0所以∠ABM＝∠ABN，所以軸是∠MBN的角平分線再證明充分性：設(shè)不與軸垂直的直線l的方程為y＝＋b≠0，代入y2＝21，y1，N2，y2，因?yàn)椤螦BM＝∠ABN，即y12＋m＋y21＋m＝0再將y1＝1＋b，y2＝2＋b代入上式，得1＋b2＋m＋2＋b1＋m＝0，即212＋b＋m1＋2＋2mb＝0， ②將①式代入②式，得2b2＋2b＋mb2＝0，整理得b＝－m，此時(shí)Δ>0，直線l的方程為y＝－m，所以直線l過(guò)定點(diǎn)Am,0圖4證明先證明必要性：設(shè)不與軸垂直的直線l的方程為y＝－m≠0，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0設(shè)A1，y1，B2，y2，所以∠OMA＝∠OMB，所以軸是∠AMB的角平分線再證明充分性：設(shè)不與軸垂直的直線l的方程為y＝＋t≠0，設(shè)A1，y1，B2，y2，整理得t＝－m此時(shí)Δ>0，所以直線l的方程為y＝－m，所以直線l過(guò)定點(diǎn),0圖5圖6證明當(dāng)直線l垂直于軸時(shí)，易得，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0設(shè)P1，y1，Q2，y2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得性質(zhì)6已知拋物線y2＝2,0，B－m