微分方程復習要點課件

1．一階微分方程2．可降階的二階微分方程3．二階線性微分方程的解的結構4．二階常系數(shù)線性微分方程一、第七章要點微分方程復習要點1．一階微分方程1)可分離變量的微分方程解法類型2)一階線性微分方程類型解法微分方程復習要點3)齊次方程此為變量可分離的微分方程．類型解法令，則．原方程變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c4)伯努利方程為一階線性微分方程．類型解法令，則原方程變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c2．可降階的二階微分方程方法作次積分．新方程是一個一階微分方程．1)類型2)類型方法令，則原方程轉變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c新方程是一個一階微分方程．3)類型方法令，則原方程轉變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c3．二階線性微分方程的解的結構設二階線性微分方程而稱方程為方程⑴所對應的齊次線性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的線性無關解，則方程⑵有通解微分方程復習要點的一個特解．2)若是方程⑴的特解，則方程⑴有通解3)若是方程的特解，則為方程微分方程復習要點4．二階常系數(shù)線性微分方程1)二階常系齊次數(shù)線性微分方程設方程相應的特征方程為則：①若方程有兩個不同的實根，則方程的通解為微分方程復習要點②若方程有兩個相同的實根，則方程的通解為③若方程有一對共軛復根，則方程的通解為微分方程復習要點2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程①設方程為則方程有特解其中是一個與同次的多項式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的單根，若是特征方程的二重根．微分方程復習要點②設方程則方程有特解其中是次的多項式，，而

按是否為特征方程的根而分別取1或0．微分方程復習要點二、例題選講解此方程為一個可分離變量的微分方程．分離變量，因得例1求解方程．微分方程復習要點兩邊積分，得即得原方程的通解微分方程復習要點解原方程變形后為齊次方程例2求解方程，．作變換，則有微分方程復習要點移項，得兩邊積分，得將代入，有微分方程復習要點即滿足初始條件的解為由初始條件，得，即原方程的解為微分方程復習要點解原方程變形為即例3求微分方程的通解．此是關于函數(shù)的一階線性非齊次線性微分方程，由求解公式得微分方程復習要點微分方程復習要點分離變量，得兩邊積分，得例4求解微分方程．解法1此方程為齊次方程，作代換，則有微分方程復習要點故方程的通解為即由于微分方程復習要點解法2方程變形為故方程的通解為代回原變量，得此方程為貝努利方程，此時令，則有微分方程復習要點例5求解下列方程即方程的解為1.；2.．解1.此方程不含變量，故令變換，則方程為微分方程復習要點即所以，方程的通解為微分方程復習要點方程變形為即有2.此方程中不含變量，作變換，則微分方程復習要點解得即分離變量后，再兩邊積分得從而得方程的通解由，得方程的解為．由微分方程復習要點例6求下列方程的通解解1.特征方程為解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．微分方程復習要點則2.特征方程為，因而齊次方程的通解為由于為單根，故可設方程的特解為微分方程復習要點代入方程后，比較系數(shù)得所以因而方程的通解為微分方程復習要點代入到原方程，得3.特征方程為，解得，所以齊次方程的通解為注意到不是特征方程的根，故方程的特解可設為微分方程復習要點1．一階微分方程2．可降階的二階微分方程3．二階線性微分方程的解的結構4．二階常系數(shù)線性微分方程一、第七章要點微分方程復習要點1．一階微分方程1)可分離變量的微分方程解法類型2)一階線性微分方程類型解法微分方程復習要點3)齊次方程此為變量可分離的微分方程．類型解法令，則．原方程變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c4)伯努利方程為一階線性微分方程．類型解法令，則原方程變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c2．可降階的二階微分方程方法作次積分．新方程是一個一階微分方程．1)類型2)類型方法令，則原方程轉變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c新方程是一個一階微分方程．3)類型方法令，則原方程轉變?yōu)槲⒎址匠虖土曇c3．二階線性微分方程的解的結構設二階線性微分方程而稱方程為方程⑴所對應的齊次線性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的線性無關解，則方程⑵有通解微分方程復習要點的一個特解．2)若是方程⑴的特解，則方程⑴有通解3)若是方程的特解，則為方程微分方程復習要點4．二階常系數(shù)線性微分方程1)二階常系齊次數(shù)線性微分方程設方程相應的特征方程為則：①若方程有兩個不同的實根，則方程的通解為微分方程復習要點②若方程有兩個相同的實根，則方程的通解為③若方程有一對共軛復根，則方程的通解為微分方程復習要點2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程①設方程為則方程有特解其中是一個與同次的多項式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的單根，若是特征方程的二重根．微分方程復習要點②設方程則方程有特解其中是次的多項式，，而

按是否為特征方程的根而分別取1或0．微分方程復習要點二、例題選講解此方程為一個可分離變量的微分方程．分離變量，因得例1求解方程．微分方程復習要點兩邊積分，得即得原方程的通解微分方程復習要點解原方程變形后為齊次方程例2求解方程，．作變換，則有微分方程復習要點移項，得兩邊積分，得將代入，有微分方程復習要點即滿足初始條件的解為由初始條件，得，即原方程的解為微分方程復習要點解原方程變形為即例3求微分方程的通解．此是關于函數(shù)的一階線性非齊次線性微分方程，由求解公式得微分方程復習要點微分方程復習要點分離變量，得兩邊積分，得例4求解微分方程．解法1此方程為齊次方程，作代換，則有微分方程復習要點故方程的通解為即由于微分方程復習要點解法2方程變形為故方程的通解為代回原變量，得此方程為貝努利方程，此時令，則有微分方程復習要點例5求解下列方程即方程的解為1.；2.．解1.此方程不含變量，故令變換，則方程為微分方程復習要點即所以，方程的通解為微分方程復習要點方程變形為即有2.此方程中不含變量，作變換，則微分方程復習要點解得即分離變量后，再兩邊積分得從而得方程的通解由，得方程的解為．由微分方程復習要點例6求下列方程的通解解1.特征方程為解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．微分方程復習要點則