七年級(jí)下第一講實(shí)數(shù)

第一講實(shí)數(shù)的概念上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校王海生【知識(shí)框圖】實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的概念和分類(lèi)平方根的概念、表示和性質(zhì)立方根的概念、表示和性質(zhì)典型例題實(shí)數(shù)的概念和分類(lèi)【知識(shí)梳理】有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，有理數(shù)可以寫(xiě)成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)形式的數(shù).無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù).實(shí)數(shù)的概念和分類(lèi)【知識(shí)梳理】實(shí)數(shù)的絕對(duì)值:一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).【知識(shí)梳理】平方根的概念、表示和性質(zhì)（1）平方根的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說(shuō)，如果x2=a，那么x叫a做的平方根.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).

正數(shù)a的平方根可以表示為表示a的正的平方根；表示a的負(fù)的平方根；0的平方根是0.負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.表示a的正的平方根；【知識(shí)梳理】平方根的概念、表示和性質(zhì)又稱(chēng)a的算術(shù)平方根.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.開(kāi)平方的概念:求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.立方根的概念、表示和性質(zhì)【知識(shí)梳理】立方根的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果x3=a，那么x叫a做的立方根.一個(gè)數(shù)a只有一個(gè)立方根，用符號(hào)表示①正數(shù)有一個(gè)正的立根,是正數(shù).②0的立方根是0.③負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，是負(fù)數(shù).開(kāi)立方的概念：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方.立方與開(kāi)立方互為逆運(yùn)算.【典型例題】——基礎(chǔ)題例1把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).（每相鄰的兩個(gè)1之間增加一個(gè)零）.有理數(shù){}；無(wú)理數(shù){}；整數(shù){}；分?jǐn)?shù){}；正數(shù){}；負(fù)數(shù){}.2-2【典型例題】——基礎(chǔ)題例1把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)（每相鄰的兩個(gè)1之間增加一個(gè)零）

有理數(shù)無(wú)理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)數(shù)2-2例2填空題.【典型例題】——基礎(chǔ)題(1)64的平方根

.解：因?yàn)?±8)2=64，所以64的平方根是±8.另解：64的平方根是所以64的平方根是±8.(2)64的立方根

.解：因?yàn)?3=64，所以64的立方根是4.例2求下列各數(shù).【典型例題】——基礎(chǔ)題解：求64的算術(shù)平方根(4)

的平方根

.第一步運(yùn)算：求64的正的平方根，8第二步運(yùn)算：求8的平方根，解：因?yàn)樗缘钠椒礁欠此?1)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，并且互為相反數(shù)；正數(shù)的立方根有一個(gè)，還是整數(shù).(2)在解題時(shí)應(yīng)該看起清楚題目的要求以及運(yùn)算的順序，然后再加以解題,并且分清楚題目求的是平方根還是算術(shù)平方根.例3求使下列各式有意義的x的取值范圍【典型例題】——基礎(chǔ)題有意義，則a≥0.解（1）由題意得：x-1≥0，解得：x≥1.解（2）由題意得：-2x≥0且x+1≠0，解得：x≤0且x≠-1.例3求使下列各式有意義的x的取值范圍【典型例題】——基礎(chǔ)題解（3）由題意得：x2+1≥0，又因?yàn)閤2≥0是恒成立的，所以x2+1≥0也是恒成立的.所以x的取值范圍是一切實(shí)數(shù).解（4）由題意得：-x2≥0，所以x的取值范圍是x=0.即x2≤0，反思要使得代數(shù)式有意義，我們一般從以下幾個(gè)方面考慮：（1）開(kāi)二次方（偶次方）時(shí)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（2）分母不等于零.【典型例題】——基礎(chǔ)題例4判斷題（1）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)（）（2）無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)（）（3）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)（）（4）無(wú)理數(shù)都是帶根號(hào)的數(shù)（）（5）有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的（）（6）最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)都不存在（）√×無(wú)理數(shù)的定義是無(wú)限的不循環(huán)小數(shù).包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù).帶根號(hào)，但是不是無(wú)理數(shù)不帶根號(hào)，但是它是無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)×××√如果,則例5比較與3的大小思路1是面積為5的正方形的邊長(zhǎng).是面積為9的正方形的邊長(zhǎng).所以比較平方后的冪的大小因?yàn)樗浴镜湫屠}】——提高題如果則比較被開(kāi)方數(shù)的大小解答因?yàn)樗运悸?例5比較與3的大小【典型例題】——提高題反思比較兩個(gè)正實(shí)數(shù)的大小，可以考慮下面兩種方法：（1）把這兩個(gè)正實(shí)數(shù)分別平方，然后比較冪的大小；（2）把這兩個(gè)正實(shí)數(shù)分別寫(xiě)成含有根號(hào)的實(shí)數(shù)，然后比較被開(kāi)方數(shù)的大小.例6寫(xiě)出所有符合下列條件的實(shí)數(shù)【典型例題】——提高題（1）大于的所有負(fù)整數(shù)；應(yīng)該先確定取值范圍，再找合適條件的數(shù).

解答（1）因?yàn)樗约此源笥诘乃胸?fù)整數(shù)有所以例6寫(xiě)出所有符合下列條件的實(shí)數(shù)【典型例題】——提高題應(yīng)該先確定取值范圍，再找合適條件的數(shù).（2）絕對(duì)值小于的所有整數(shù)；

解答因?yàn)樗运越^對(duì)值小于的所有整數(shù)有所以【典型例題】——提高題例7計(jì)算解：原式因?yàn)?/p>

所以

所以原式解：原式錯(cuò)誤的解法解：原式例8已知一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根是2a+1和a-4，求a、x的值.【典型例題】——提高題解根據(jù)題意可知：

2a+1與a-4互為相反數(shù).因?yàn)?a+1+a-4=0,所以a=1.當(dāng)a=1時(shí)，2a+1=3.所以x=9.正數(shù)有兩個(gè)平方根，并且這兩個(gè)平方根互為相反數(shù).變式已知2a+1和a-4都是正數(shù)x

的平方根，求a、x的值.這兩個(gè)平方有可能相等，也可以互為相反數(shù).當(dāng)2a+1與a-4相等時(shí).因?yàn)?a+1=a-4,所以a=-5.當(dāng)a=-5時(shí)，2a+1=-9.所以x=81.當(dāng)例9已知有意義，化簡(jiǎn)【典型例題】——提高題所以x-3≥0,所以x≥3.當(dāng)x≥3時(shí)，3-x≤0,x-1≥0.所以|3-x|-|x-1|=-(3-x)-(x-1)=x-3-x+1=-2.解：因?yàn)橛幸饬x，

要化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的式子，就是要考慮絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子的符號(hào).【典型例題】——提高題例10已知和互為相反數(shù)，求x:y的值.解：因?yàn)楹突橄喾磾?shù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)分別為零.所以因?yàn)樗运运运浴镜湫屠}】——提高題例10已知和互為相反數(shù)，求x:y的值.解：因?yàn)楹突橄喾磾?shù)所以所以所以所以所以所以【典型例題】——拓展題例11若.求的值.思路1？思路2解：因?yàn)橛幸饬x，所以

因?yàn)橛幸饬x，所以所以所以所以例12下列說(shuō)法是否正確？為什么？（1）如果a是無(wú)理數(shù),b是無(wú)理數(shù)，a+b一定是無(wú)理數(shù).【典型例題】——拓展題（2）如果a是無(wú)理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，那么a-b一定是無(wú)理數(shù).（3）如果a是無(wú)理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，a×b一定是無(wú)理數(shù).（4）如果a是無(wú)理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，那么a÷b一定是無(wú)理數(shù).這句話(huà)是錯(cuò)誤的.這句話(huà)是錯(cuò)誤的.這句話(huà)是錯(cuò)誤的.這句話(huà)是錯(cuò)誤的.例12下列說(shuō)法是否正確？為什么？（1）如果a是有理數(shù),b是無(wú)理數(shù)，a+b一定是無(wú)理數(shù).（2）如果a是有理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，那么a-b一定是無(wú)理數(shù).（3）如果a是有理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，a×b一定是無(wú)理數(shù).（4）如果a是有理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，那么a÷b一定是無(wú)理數(shù).這句話(huà)是正確的.這句話(huà)是正確的.這句話(huà)是錯(cuò)誤的.這句話(huà)是錯(cuò)誤的.【典型例題】——拓展題反思（1）無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差、積、商的結(jié)果不一定是無(wú)理數(shù)，有可能是有理數(shù)；（2）有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差的結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)，但是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的積、商的結(jié)果不一定是無(wú)理數(shù)，有可能是有理數(shù)【課后小結(jié)】

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的概念與分類(lèi)、平方根與算術(shù)平方根、立