2024屆黑龍江省大慶市第五十七中學(xué)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆黑龍江省大慶市第五十七中學(xué)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，矩形的對角線交于點(diǎn)，已知，，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．2．小敏打算在某外賣網(wǎng)站點(diǎn)如下表所示的菜品和米飯.已知每份訂單的配送費(fèi)為3元，商家為促銷，對每份訂單的總價（不含配送費(fèi)）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元.如果小敏在購買下表的所有菜品和米飯時，采取適當(dāng)?shù)南聠畏绞?，那么他的總費(fèi)用最低可為（）菜品單價（含包裝費(fèi)）數(shù)量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆絲（?。?2元1豉汁排骨（小）30元1手撕包菜（?。?2元1米飯3元2A．48元 B．51元 C．54元 D．59元3．已知、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）A．-1 B．0 C．1 D．24．不等式的解為（）A． B． C． D．5．拋物線，下列說法正確的是（）A．開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo) B．開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)C．開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo) D．開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)6．如圖，在中，，將△AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積為（）．A． B． C． D．7．?dāng)?shù)據(jù)0，-1，-2，2，1，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．-2 B．2 C．0.5 D．08．對于二次函數(shù)y=2（x﹣1）2﹣3，下列說法正確的是（）A．圖象開口向下B．圖象和y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3C．x＜1時，y隨x的增大而減小D．圖象的對稱軸是直線x=﹣19．若關(guān)于x的函數(shù)y=（3-a）x2-x是二次函數(shù)，則a的取值范圍()A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠3 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)＞310．一枚質(zhì)地勻均的骰子，其六個面上分別標(biāo)有數(shù)字：1，2，3，4，5，6，投擲一次，朝上面的數(shù)字大于4的概率是（）A． B． C． D．11．已知拋物線與軸沒有交點(diǎn)，那么該拋物線的頂點(diǎn)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如果函數(shù)的圖象與雙曲線相交，則當(dāng)時，該交點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上．設(shè)DE，矩形DEFG的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是______．（不需寫出x的取值范圍）．14．若圓錐的底面圓半徑為，圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積為______.15．如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC與點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE＝1cm，則BF＝__________cm.16．已知拋物線y＝x2+2kx﹣6與x軸有兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)分別在直線x＝2的兩側(cè)，則k的取值范圍是_____．17．雙十一期間，榮昌重百推出有獎銷售促銷活動，消費(fèi)達(dá)到800元以上得一次抽獎機(jī)會，李老師消費(fèi)1000元后來到抽獎臺，臺上放著一個不透明抽獎箱，里面放有規(guī)格完全相同的四個小球，球上分別標(biāo)有1，2，3，4四個數(shù)字，主持人讓李老師連續(xù)不放回抽兩次，每次抽取一個小球，如果兩個球上的數(shù)字均為奇數(shù)則可中獎，則李老師中獎的概率是__________.18．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DCB＝60°，CB＝CD，AC＝8，則四邊形ABCD的面積為__．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連AP、BP，過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積．20．（8分）綜合與實踐背景閱讀：旋轉(zhuǎn)就是將圖形上的每一點(diǎn)在平面內(nèi)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中“旋”是過程，“轉(zhuǎn)”是結(jié)果．旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形是全等圖形等性質(zhì)．所以充分運(yùn)用這些性質(zhì)是在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的關(guān)健．實踐操作：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．問題解決：（1）①當(dāng)α＝0°時，＝；②當(dāng)α＝180°時，＝．（2）試判斷：當(dāng)0°≤a＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．問題再探：（3）當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時，求得線段BD的長為．21．（8分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為直線下方拋物線上一點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線的解析式．（2）的面積是否有最大值？如果有，請求出最大值和此時點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由．（3）為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，為對稱軸上一點(diǎn)，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（10分）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)．當(dāng)x＝﹣4和x＝2時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，則t的值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（4）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．23．（10分）如圖，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對角線ＢＤ上一點(diǎn)，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.①試說明BE·AD＝CD·AE；②根據(jù)圖形特點(diǎn)，猜想可能等于哪兩條線段的比?并證明你的猜想，（只須寫出有線段的一組即可）24．（10分）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已經(jīng)成為大眾創(chuàng)業(yè)的一種新途徑，某網(wǎng)店準(zhǔn)備銷售一種多功能旅行背包，計劃從廠家以每個50元的價格進(jìn)貨．銷售期間發(fā)現(xiàn)：銷售單價是100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5個，為了增加銷售量，盡量讓利顧客，當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達(dá)到4000元？25．（12分）如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連結(jié)OE，CD=，∠ACB=30°．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）分別求AB，OE的長．26．某商場購進(jìn)一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．（1）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得對角線相等且互相平分，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，逐個計算即可判斷.【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A、,故A選項正確；B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=,∴cosβ=,∴AO=，故B選項錯誤；C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=,∴tanβ=∴BC=atanβ，故C選項正確；D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=,∴cosβ=∴，故D選項正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.2、C【分析】根據(jù)滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元，即可得到結(jié)論．【題目詳解】小宇應(yīng)采取的訂單方式是60一份，30一份，所以點(diǎn)餐總費(fèi)用最低可為60?30＋3＋30?12＋3＝54元，答：他點(diǎn)餐總費(fèi)用最低可為54元．故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出的值．【題目詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個實數(shù)根∴故選C．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的兩根之和=是解決此題的關(guān)鍵．4、B【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法進(jìn)行求解即可．【題目詳解】解：移項得，，合并得，，系數(shù)化為1得，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型，明確解法是關(guān)鍵．5、C【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a的正負(fù)即可判斷開口方向．【題目詳解】∵，∴拋物線開口向下，由頂點(diǎn)式的表達(dá)式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頂點(diǎn)式的拋物線的表達(dá)式，掌握a對開口方向的影響和頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法是解題的關(guān)鍵．6、B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解．【題目詳解】解：∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積故選B．【題目點(diǎn)撥】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積是解題關(guān)鍵．7、D【分析】將數(shù)據(jù)從小到大重新排列，中間的數(shù)即是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【題目詳解】將數(shù)據(jù)重新排列得：-2，-1，0，1，2，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是0，故選：D.【題目點(diǎn)撥】此題考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，數(shù)據(jù)是奇數(shù)個時，中間的一個數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；數(shù)據(jù)是偶數(shù)個時，中間兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).8、C【解題分析】試題分析：A、y＝2(x－1)2－3，∵a＝2＞0，∴圖象的開口向上，故本選項錯誤；B、當(dāng)x＝0時，y＝2(0－1)2－3＝－1，即圖象和y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，故本選項錯誤；C、∵對稱軸是直線x＝1，開口向上，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減少，故本選項正確；C、圖象的對稱軸是直線x＝1，故本選項錯誤．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察能力和理解能力，用了數(shù)形結(jié)合思想．9、B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次項系數(shù)不等于0列式求解即可．【題目詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次項系數(shù)不等于0，3-a≠0，則a≠3，故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．10、B【分析】直接得出朝上面的數(shù)字大于4的個數(shù)，再利用概率公式求出答案．【題目詳解】∵一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，投擲一次，∴共有6種情況，其中朝上面的數(shù)字大于4的情況有2種，∴朝上一面的數(shù)字是朝上面的數(shù)字大于4的概率為：，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的概率求法，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)的比；熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．11、D【分析】根據(jù)題目信息可知當(dāng)y=0時，，此時，可以求出a的取值范圍，從而可以確定拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的符號，繼而可以確定頂點(diǎn)所在的象限.【題目詳解】解：∵拋物線與軸沒有交點(diǎn)，∴時無實數(shù)根；即，，解得，，又∵的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；縱坐標(biāo)為：；故拋物線的頂點(diǎn)在第四象限.故答案為：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線與x軸無交點(diǎn)得出時無實數(shù)根，再利用根的判別式求解a的取值范圍.12、C【分析】直線的圖象經(jīng)過一、三象限，而函數(shù)y=2x的圖象與雙曲線y(k≠0)相交，所以雙曲線也經(jīng)過一、三象限，則當(dāng)x＜0時，該交點(diǎn)位于第三象限．【題目詳解】因為函數(shù)y=2x的系數(shù)k=2＞0，所以函數(shù)的圖象過一、三象限；又由于函數(shù)y=2x的圖象與雙曲線y(k≠0)相交，則雙曲線也位于一、三象限；故當(dāng)x＜0時，該交點(diǎn)位于第三象限．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．二、填空題（每題4分，共24分）13、；【分析】根據(jù)題意和三角形相似，可以用含的代數(shù)式表示出，然后根據(jù)矩形面積公式，即可得到與的函數(shù)關(guān)系式．【題目詳解】解：四邊形是矩形，，上的高，，矩形的面積為，，，，得，，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14、【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)=代入數(shù)據(jù)計算即可.【題目詳解】解：圓錐的側(cè)面積=.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握計算公式是解題關(guān)鍵.15、2+【題目詳解】過點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M,如圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM為等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm.故答案為2+.16、【分析】由拋物線y＝x2+2kx﹣6可得拋物線開口方向向上,根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)且這兩個交點(diǎn)分別在直線x＝2的兩側(cè)可得:當(dāng)x=2時,拋物線在x軸下方,即y＜1.【題目詳解】解：∵y＝x2+2kx﹣6與x軸有兩個交點(diǎn),兩個交點(diǎn)分別在直線x＝2的兩側(cè),∴當(dāng)x＝2時,y＜1．∴4+4k﹣6＜1解得：k＜；∴k的取值范圍是k＜,故答案為：k＜．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì).17、【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩個球上的數(shù)字均為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【題目詳解】畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個球上的數(shù)字均為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為2，所以李老師中獎的概率=．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．18、16【分析】延長AB至點(diǎn)E，使BE＝DA，連接CE，作CF⊥AB于F，證明△CDA≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，得到△CAE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【題目詳解】延長AB至點(diǎn)E，使BE＝DA，連接CE，作CF⊥AB于F，∵∠DAB+∠DCB＝120°+60°＝180°，∴∠CDA+∠CBA＝180°，又∠CBE+∠CBA＝180°，∴∠CDA＝∠CBE，在△CDA和△CBE中，，∴△CDA≌△CBE（SAS）∴CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，∵∠DCB＝60°，∴∠ACE＝60°，∴△CAE為等邊三角形，∴AE＝AC＝8，CF＝AC＝4，則四邊形ABCD的面積＝△CAB的面積＝×8×4＝16，故答案為：16．【題目點(diǎn)撥】考核知識點(diǎn)：等邊三角形判定和性質(zhì)，三角函數(shù).作輔助線，構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.三、解答題（共78分）19、（1）60；60；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角；（2）利用（1）中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等即可；（3）利用（2）證得的兩三角形全等判定△PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可．【題目詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，故答案為60，60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四點(diǎn)共圓，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC，∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CPAM=BP，又∠M=60°，∴△PCM為等邊三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=，∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=×(2+3)×=.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計算方法，是一道比較復(fù)雜的幾何綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)與判定定理.20、（1）①，②；（2）無變化，證明見解析；（2）6或．【分析】問題解決：（1）①根據(jù)三角形中位線定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，即可求出的值；②先求出BD，AE的長，即可求出的值；（2）證明△ECA∽△DCB，可得；問題再探：（2）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可求BD的長．【題目詳解】問題解決：（1）①當(dāng)α=0°時．∵BC=2AB=3，∴AB=6，∴AC6，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，DEAB，∴．故答案為：；②如圖1．，當(dāng)α=180°時．∵將△EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴CD=6，CE=2，∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，∴．故答案為：．（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜260°時，的大小沒有變化．證明如下：∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．問題再探：（2）分兩種情況討論：①如圖2．．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．∵AD=BC，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=6②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．在Rt△CDE中，DE==2，∴AE=AD﹣DE=3﹣2=9，由（2）可得：，∴BD．綜上所述：BD=6或．故答案為：6或．【題目點(diǎn)撥】本題是幾何變換綜合題，考查了勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．21、（1）；（2）最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【分析】（1）先設(shè)頂點(diǎn)式，再代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得出，最后代入計算出二次項系數(shù)即得；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，先求出B、C兩點(diǎn)，再用含m的式子表示出的面積，進(jìn)而得出面積與m的二次函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即得最值；（3）分成Q點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，再分別根據(jù)和列出方程求解即得．【題目詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為．∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴．∵將點(diǎn)代入，解得∴拋物線的解析式為．（2）如圖1，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．∵將代入，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵將代入，解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，解得∴直線的解析式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為∴過點(diǎn)作于點(diǎn)∵∴故當(dāng)時，的面積有最大值，最大值為此時點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．分兩種情況進(jìn)行分析：①如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線，分別交軸、對稱軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為∵∴∴在和中∴∴∵，∴解得（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②如圖3，過點(diǎn)，作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的平行線，分別交，于點(diǎn)，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)∵由①知∴∵，∴解得，（舍去)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【題目點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)在實數(shù)范圍的最值在頂點(diǎn)取到，一線三垂直的全等模型，二次函數(shù)頂點(diǎn)式：．22、（1）；（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3），；（4）存在，F(xiàn)1，F(xiàn)1．【分析】（1）由對稱性先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，將C坐標(biāo)代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；（1）先判斷△ABC為直角三角形，分別求出AB，AC，BC的長，由勾股定理的逆定理可證明結(jié)論；（3）因為點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動，所以BM=BN=t，證四邊形PMBN是菱形，設(shè)PM與y軸交于H，證△CPN∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)可求出t的值，CH的長，可得出點(diǎn)P縱坐標(biāo)，求出直線AC的解析式，將點(diǎn)P縱坐標(biāo)代入即可；（4）求出直線BC的解析式，如圖1，當(dāng)∠ACF=90°時，點(diǎn)B，C，F(xiàn)在一條直線上，求出直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即可；當(dāng)∠CAF=90°時，求出直線AF的解析式，再求其與對稱軸的交點(diǎn)即可．【題目詳解】（1）∵在拋物線y=ax1+bx+c中，當(dāng)x=﹣4和x=1時，二次函數(shù)y=ax1+bx+c的函數(shù)值y相等，∴拋物線的對稱軸為x1，又∵拋物線y=ax1+bx+c與x軸交于A(﹣3，0)、B兩點(diǎn)，由對稱性可知B(1，0)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，將C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，得：﹣3a，解得：a，∴此拋物線的解析式為y(x+3)(x﹣1)x1x；（1）△ABC為直角三角形．理由如下：∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，∴OA=3，OB=1，OC，∴AB=OA+OB=4，AC1，BC1．∵AC1+BC1=16，AB1=16，∴AC1+BC1=AB1，∴△ABC是直角三角形；（3）∵點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動，∴BM=BN=t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM=PM=BN=PN=t，∴四邊形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，設(shè)PM與y軸交于H，∴，即，解得：t，CH，∴OH=OC﹣CH，∴yP，設(shè)直線AC的解析式為y=kx，將點(diǎn)A(﹣3，0)代入y=kx，得：k，∴直線AC的解析式為yx，將yP代入yx，∴x=﹣1，∴P(﹣1，)．故答案為：，(﹣1，)；（4）設(shè)直線BC的解析式為y=kx，將點(diǎn)B(1，0)代入y=kx，得：k，∴直線BC的解析式為yx，由（1）知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°．①如圖1，當(dāng)∠ACF=90°時，點(diǎn)B，C，F(xiàn)在一條直線上，在yx中，當(dāng)x=﹣1時，y=1，∴F1(﹣1，1)；②當(dāng)∠CAF=90°時，AF∥BC，∴可設(shè)直線AF的解析式為yx+n，將點(diǎn)A(﹣3，0)代入yx+n，得：n=﹣3，∴直線AF的解析式為yx﹣3，在yx﹣3中，當(dāng)x=﹣1時，y=﹣1，∴F1(﹣1，﹣1)．綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(﹣1，1)，F(xiàn)1(﹣1，﹣1)．【題目點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運(yùn)用．23、（1）證明見解析；（2）猜想=或（理由見解析【解題分析】試題分析：（1）由已知條件易證∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，從而可得△AEB∽△ADC，由此可得，這樣就可得到BE·AD=DC·AE；（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得=，結(jié)合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，從而可得：=或（）.試題解析：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，又∵∠DAE=∠BDC，∴∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA，∴=，