兩角和與差的正弦余弦和正切公式

第五章三角函數(shù)§551兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)從兩角差的余弦公式cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？探究點(diǎn)一由公式Cα－β推導(dǎo)公式Cα＋β思考由于公式Cα－β對(duì)于任意α，β都成立，那么把其中的＋β?lián)Q成－β后，也一定成立請(qǐng)你根據(jù)這種聯(lián)系，從兩角差的余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cosα＋β的公式？答∵α＋β＝α－－β，cos－β＝cosβ，sin－β＝－sinβ，∴cosα＋β＝cos＝cosαcos－β＋sinαsin－β＝cosαcosβ－sinαsinβ即cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ思考利用誘導(dǎo)公式五或六可以實(shí)現(xiàn)正弦和余弦的互化，根據(jù)這種聯(lián)系，請(qǐng)你試著從差角的余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sinα＋β及sinα－β的公式？探究點(diǎn)二由公式Cα－β推導(dǎo)公式Sα＋β及Sα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ即sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ從而，sinα－β＝sin＝sinαcos－β＋cosαsin－β＝sinαcosβ－cosαsinβ思考運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)、求值要注意靈活進(jìn)行三角函數(shù)名稱以及角的變換，善于構(gòu)造符合某一公式的特征結(jié)構(gòu)后，再運(yùn)用公式化簡(jiǎn)、求值如果題目中存在互余角，要善于發(fā)現(xiàn)和利用探究點(diǎn)三兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用解原式＝sin＋27°cos18°－－cos＋27°·sin－18°＝sin＋27°cos18°－＋cos＋27°sin18°－例1化簡(jiǎn)求值：1sin＋27°cos18°－－sin63°－sin－18°；反思與感悟解答此類題一般先要用誘導(dǎo)公式把角化正化小，化切為弦統(tǒng)一函數(shù)名稱，然后根據(jù)角的關(guān)系和式子的結(jié)構(gòu)選擇公式跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)求值：1sin14°cos16°＋sin76°·cos74°；2sin54°－cos36°＋＋cos54°－sin36°＋；解原式＝sin＝sin90°＝1∴sinα＝sin＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ反思與感悟此類題是給值求角題，步驟如下：1求所求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；2確定所求角的范圍，此類題常犯的錯(cuò)誤是對(duì)角的范圍不加討論，范圍討論的程度過大或過小，會(huì)使求出的角不合題意或者漏解，同時(shí)要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值∴sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ例3已知sin2α＋β＝3sinβ，求證：tanα＋β＝2tanα證明sin2α＋β＝3sinβ?sin?sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα＝3sinα＋βcosα－3cosα＋βsinα?2sinα＋βcosα＝4cosα＋βsinα?tanα＋β＝2tanα反思與感悟證明三角恒等式一般采用“由繁到簡(jiǎn)”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”、“往中間湊”等辦法，注意等式兩邊角的差異、函數(shù)名稱的差異、結(jié)構(gòu)形式的差異當(dāng)堂測(cè)·查疑缺1237°cos37°－sin83°cos53°的值是A解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°4解析sinC＝sin＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB1234答案A1234∴f∈12341234cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ1234呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律α±β與Sα±β的聯(lián)系、結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律四個(gè)公式Cα±β、Sα±β雖然形式不同、結(jié)構(gòu)不同，但它們的本質(zhì)是相同的，其內(nèi)在聯(lián)系為cosα－β cosα＋β sinα＋β sinα－β，這樣我們只要牢固掌握“中心”公式cosα－β的由來及表達(dá)方式，也就掌握了其他三個(gè)公式對(duì)于公式Cα－β與Cα＋β，可記為“同名相乘，符號(hào)反”對(duì)于公式Sα－β與Sα＋β，可記為“異名相乘，符號(hào)同”2使用和差公式時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡(jiǎn)sinβco