第02講二次函數(shù)與一元二次方程不等式

第02講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目錄TOC\o"11"\h\u題型一：重點(diǎn)考查二次函數(shù)的值域（最值） 1題型二：重點(diǎn)考查不含參數(shù)的一元二次不等式的解法 4題型三：重點(diǎn)考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法 8題型四：重點(diǎn)考查由一元二次不等式的解求參數(shù) 13題型五：重點(diǎn)考查一元二次不等式與二次函數(shù)、方程的關(guān)系 16題型六：重點(diǎn)考查一元二次不等式在上恒成立（有解）問題 21題型七：重點(diǎn)考查一元二次不等式在區(qū)間上恒成立（有解）問題 23題型一：重點(diǎn)考查二次函數(shù)的值域（最值）典型例題例題1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，下列有關(guān)函數(shù)的說法，錯誤的是（

）A．最小值為 B．最小值為0C．最大值為 D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象對稱軸為直線【答案】B【詳解】當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)的最小值為，A正確，B錯誤；當(dāng)時，，即函數(shù)的最大值為，C正確；當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線，D正確.故選：B例題2．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在軸上,當(dāng)時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn).【答案】或【詳解】解：由題意可知二次函數(shù)的對稱軸為：，所以當(dāng)對稱軸為：，即時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；因?yàn)槎魏瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以當(dāng)，即，或時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn).故答案為：；或；例題3．（2023·高一課時練習(xí)）在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線上方，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則只要其最小值大于即可，因?yàn)榈膶ΨQ軸為直線，所以當(dāng)時，取得最小值，則，解得，即的取值范圍是.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·高一課時練習(xí)）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式有解即不等式有解，令，當(dāng)時，，因?yàn)楫?dāng)時不等式有解，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.2．（2023·高一單元測試）已知，當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍為．【答案】【詳解】由題意可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立.令，，，，則,所以,所以實(shí)數(shù)m的范圍為.故答案為:.3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），顯然可取0以外的一切實(shí)數(shù)，即所求函數(shù)的值域?yàn)椋?），因?yàn)椋鐖D所示：所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，，因?yàn)?，所?故函數(shù)的值域?yàn)?題型二：重點(diǎn)考查不含參數(shù)的一元二次不等式的解法典型例題例題1．（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┎坏仁降慕饧牵?/p>

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】由，可得，所以或，所以不等式的解集為或.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【詳解】原不等式可化為，即，即，即，解得，∴原不等式的解集為，故答案為：例題3．（2023春·四川瀘州·高一四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【詳解】∵，則，等價于，解得，即不等式的解集為.故答案為：.例題4．（2023·全國·高一課堂例題）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)R【詳解】（1）因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€不等實(shí)根，.又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.（2）因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€不等實(shí)根，.又二次函數(shù)的圖象開口向下，所以原不等式的解集為.（3）原不等式可化為，所以原不等式的解集為.（4）原不等式可化為，所以原不等式的解集為.（5）原不等式可化為，因?yàn)?，所以方程無實(shí)根，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.（6）原不等式可化為，因?yàn)?，所以方程無實(shí)根，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·云南怒江·高一校考期中）一元二次不等式的解集是．【答案】【詳解】一元二次不等式化為，解得或，∴不等式的解集是．故答案為：．2．（2023春·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集是．【答案】或.【詳解】等價于，即，等價于，解得：或.即不等式的解集是或.故答案為：或.3．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合，，則．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，得，所以，又因?yàn)?，所以，得或，所以，所?故答案為：4．（2023·全國·高一課堂例題）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）原不等式變形為，解方程，得，.∴原不等式的解集為或.（2）原不等式變形為，顯然，以上不等式恒成立，∴原不等式的解集為R.（3）原不等式變形為.∵，∴原不等式的解集為.（4）原不等式變形為，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴原不等式的解集為.5．（2023春·云南·高一校考期中）求解下列不等式的解集：(1)；(2)；【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由可得，解方程得，又函數(shù)的圖象開口向上，故原不等式的解集為或.（2）解方程得，又函數(shù)的圖象開口向上，故不等式的解集為.題型三：重點(diǎn)考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法典型例題例題1．（多選）（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集可能為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】不等式即，當(dāng)，即時，不等式解集為；當(dāng)，即時，不等式解集為R；當(dāng)，即時，不等式解集為，故選：ACD例題2．（2023春·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知，則關(guān)于的不等式的解集是．【答案】【詳解】關(guān)于的不等式等價于，由，得，所以不等式的解集為.故答案為：..例題3．（2023春·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù).(1)若不等式的解集為，求，的值；(2)若，求不等式的解集.【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1）函數(shù)，由不等式的解集為，得，且1和2是方程的兩根；則，解得，（2）時，不等式為，可化為，則當(dāng)時，不等式為，解得當(dāng)時，不等式化為，令，得，當(dāng)時，，解不等式得或；當(dāng)時，不等式為，解得；當(dāng)時，，解不等式得或；當(dāng)時，不等式化為，且，解不等式得綜上知：當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.例題4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【詳解】不等式對應(yīng)方程的判別式，（1）當(dāng)，即或時，由于方程的根是，所以不等式的解集是或}；（2）當(dāng)，即時，不等式的解集為且；（3）當(dāng)，即時，不等式的解集為R，故或時，不等式的解集是或}；時，不等式的解集為且；時，不等式的解集為R.例題5．（2023春·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，解不等式.【答案】答案見解析【詳解】①當(dāng)時，；∴.②當(dāng)時，由得或，（i）當(dāng)即時，，（ⅱ）當(dāng)即時，，（ⅲ）當(dāng)即時，，綜上，當(dāng)時，所求不等式的解集為.當(dāng)時，所求不等式的解集為，當(dāng)時，所求不等式的解集為，當(dāng)時，所求不等式的解集為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【詳解】依題意，對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知.(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時，不等式化為，解得或.∴不等式的解集為.（2）關(guān)于的不等式，即，當(dāng)時，得，解集為；當(dāng)時，無解，解集為空集；當(dāng)時，得，解集為.綜上所述，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為空集；當(dāng)時，解集為.3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式【答案】答案見解析【詳解】原不等式可化為.當(dāng)，即時，或；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，或.綜上，當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，解不等式．【答案】【詳解】解：∵，∴，原不等式可化為，解得．故原不等式的解集為．5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【詳解】原不等式變?yōu)椋佼?dāng)時，原不等式可化為，所以當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解得②當(dāng)時，原不等式等價于，即.③當(dāng)時，，原不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為或.題型四：重點(diǎn)考查由一元二次不等式的解求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·高一單元測試）關(guān)于x的不等式解集為，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】解：的解集為，為方程的解，，，又，，，，根據(jù)不等式的解集為，又，可得且故二次函數(shù)的對稱軸在軸左側(cè)，即，.故選：B．例題2．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】依題意可得，分別是關(guān)于的一元二次方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得：.故選：A.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【答案】A【詳解】原不等式可化為.當(dāng)a＜1時，不等式的解集為[a，1]，此時只要即可，即；當(dāng)a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當(dāng)a＞1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要即可，即.綜上可得：.故選：A.例題4．（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為且，所以，即，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）若不等式的解集為則（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】C【詳解】解:因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?而開口向上,所以有,且最小值大于2,即,解得:,且的兩個根為,所以,解得:,,當(dāng)時,不符合,故舍,所以,所以.故選:C2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式的解集為，則的值為（

）A．2 B．0 C．2 D．5【答案】C【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解得，所以，故選：C3．（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)a的值等于（

）A．－2 B．2 C． D．－1或2【答案】C【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時，不等式的解集為，所以，解得，當(dāng)時，不等式的解集為，所以，解得，所以，實(shí)數(shù)a的值等于故選：C4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則的取值范圍是.【答案】【詳解】∵不等式的解集為，∴恒成立.①當(dāng)，即時，不等式化為，解得：，不是對任意恒成立，舍去；②當(dāng)，即時，對任意，要使，只需且，解得：.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：題型五：重點(diǎn)考查一元二次不等式與二次函數(shù)、方程的關(guān)系典型例題例題1．（2023·全國·高一課堂例題）不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以方程的兩根分別為和1，且，則變形可得故函數(shù)的圖象開口向下，且與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故A選項(xiàng)的圖象符合.故選：A例題2．（多選）（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】AD【詳解】關(guān)于的不等式解集為或,結(jié)合二次函數(shù)和一元二次方程以及不等式的關(guān)系，可得，且是的兩根，A正確；則，故，所以即，即的解集為，B錯誤；由于的不等式解集為或,故時，，即，C錯誤；由以上分析可知不等式即，因?yàn)椋驶?，故不等式的解集為或，D正確，故選：AD例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則不等式的解集為．【答案】【詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁?，則，且對應(yīng)方程的根為2和4，所以，，且，不等式可化為,則，即，解得或．故答案為．例題4．（2023·高一課時練習(xí)）利用函數(shù)與不等式的關(guān)系．(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若不等式的解集為，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由題意知，方程的兩個根分別為和，且由韋達(dá)定理知，解得，則不等式即，解得：或所以不等式的解集為：（2）由題意知，方程的兩個根分別為和，且由韋達(dá)定理知，即，則不等式，又，則，解得：，所以不等式的解集為：精練核心考點(diǎn)1．（多選）（2023秋·高一單元測試）已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（

）A．B．C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則【答案】AD【詳解】由于集合有且僅有兩個子集，所以，即，由于，所以.，當(dāng)時等號成立，故A正確，B錯誤.C，不等式的解集為，所以，故C錯誤.D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，則，所以，故D正確.故選：AD2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】由關(guān)于x的不等式的解集是，所以是一元二次方程的兩根；所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；所以，選項(xiàng)D正確．由，可得：是錯誤的，即選項(xiàng)C錯誤．故選：ABD．3．（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集是，，則不等式的解集是.【答案】【詳解】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，且；由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，所以不等式化為，即：；化為；又，；不等式的解集為：|}，故答案為：4．（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為．【答案】【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，可得，所以可化為，因?yàn)?，所以可化為，即，解得：或，所以不等式的解集?故答案為：.題型六：重點(diǎn)考查一元二次不等式在上恒成立（有解）問題典型例題例題1．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)，即時，不等式為，對一切恒成立．當(dāng)時，則，即，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C例題2．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）已知，，使得成立，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由，得.由題意可得，使得成立，即，使得成立.記，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，故.故答案為：例題3．（2023秋·新疆喀什·高一校聯(lián)考期末）（1）已知不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)時，不等式恒成立，所以符合題意；當(dāng)時，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）因?yàn)?，?dāng)時，取到最大值4，可得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式對任意恒成立,則k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】當(dāng)時,不等式可化為,恒成立,當(dāng)時,要滿足關(guān)于x的不等式對任意恒成立,只需，解得，綜上所述,k的取值范圍是.故選：A2．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）若不等式對任意實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄θ我鈱?shí)數(shù)均成立，即不等式對任意實(shí)數(shù)均成立，當(dāng)，即時，有恒成立，滿足題意；當(dāng)，即時，則有，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．（2023春·云南紅河·高一開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時，可得，此時對一切實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)時，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型七：重點(diǎn)考查一元二次不等式在區(qū)間上恒成立（有解）問題典型例題例題1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，函數(shù)有最小值為2.因?yàn)楹愠闪?，所?故選：C.例題2．（2023春·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)校考期中）若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋沟貌坏仁匠闪?，所以，使得不等式成立，令，，因?yàn)閷ΨQ軸為，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由不等式對恒成立，可轉(zhuǎn)化為對恒成立，即，而，當(dāng)時，有最大值，所以，故答案為：．例題4．（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)