第15講 構(gòu)建概率模型,判斷游戲公平性

第15講構(gòu)建概率模型，判斷游戲的公平性二、方法剖析與提煉例1．（2016威海）一個盒子里有標號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標號數(shù)字外都相同．（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標號數(shù)字為奇數(shù)的小球的概率；（2）甲、乙兩人用著六個小球玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從盒中隨機摸出一個小球，記下標號數(shù)字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個小球，并記下標號數(shù)字．若兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則判甲贏；若兩次摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶，則判乙贏．請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲?qū)?、乙兩人是否公平．【解析】?）共有1，2，3，4，5，6六個小球，其中奇數(shù)3個，根據(jù)概率公式即可得到。（2）畫出樹狀圖或者表格，就可以找到所有等可能的情況，找到兩次摸到小球的標號數(shù)字同為奇數(shù)或同為偶數(shù)的個數(shù)及摸到小球的標號數(shù)字為一奇一偶的結(jié)果的個數(shù)，再利用概率公式分別計算甲、乙兩人的概率，做比較即可知道是否公平?！窘獯稹浚?）(2)(2)解法】找到游戲公平性與概率模型的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。解釋】（1）第一題可以根據(jù)概率公式直接得出答案；2）第二題利用列表或者樹狀圖，得出所有可能的情況數(shù)，找出所有同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)的情況共有18種，再找出一奇一偶的情況，比較兩個概率大小，即可得出游戲是否公平。此處涉及到的情況有36種，雖為有限基于情況較多，基礎(chǔ)薄弱的容易出錯；在基礎(chǔ)較為扎實的學(xué)生中，其實應(yīng)該明顯能夠看到

從1,2,3,4,5,6中，非奇即偶，那么每個數(shù)都是一半同奇（或同偶），一半一奇一偶，答案其實顯而易見的。（3）此類題是在等可能性的基礎(chǔ)上產(chǎn)生，游戲公平與否只與概率是否相等有關(guān)，難度系數(shù)較小。例2．（2013杭州）某班有50位學(xué)生，每位學(xué)生都有一個序號，將50張編有學(xué)生序號（從1號到50號）的卡片（除序號不同外其它均相同打亂順序重新排列，從中任．意．抽．取．1．張．卡片（1）在序號中，是20的倍數(shù)的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（為了不重復(fù)計數(shù)，20只計一次），求取到的卡片上序號是20的倍數(shù)或能整除20的概率（2）若規(guī)定：取到的卡片上序號是k（k是滿足1WkW50的整數(shù)），則序號是k的倍數(shù)或能整除k（不重復(fù)計數(shù)）的學(xué)生能參加某項活動，這一規(guī)定是否公平？請說明理由；（3）請你設(shè)計一個規(guī)定，能公平地選出10位學(xué)生參加某項活動，并說明你的規(guī)定是符合要求的?！窘馕觥浚?）先找到在序號中，是20的倍數(shù)和能整除20，而總可能數(shù)是50，利用概率公式計算即可；（2）特殊值代入，找到任意兩個學(xué)號的可能性不相等，就可以說明不公平；（3）設(shè)計的游戲為保證每個數(shù)字每次被抽到的概率都相等.【解答】（1）2)2)3）不唯一，如先抽出一張，記下數(shù)字，然后放回．若下一次抽到的數(shù)字與之前抽到過的重復(fù)，則不記數(shù)，放回，重新抽取.不斷重復(fù)，直至抽滿10個”°與之前抽到過的重復(fù)，則不記數(shù)，放回，重新抽取.不斷重復(fù)，直至抽滿10個”°O不同的數(shù)字為止．為保證每個數(shù)字每次被抽到的概率相等哦【解法】無論是判斷游戲公平性還是設(shè)計游戲，等可能性是關(guān)鍵?！窘忉尅浚?）本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．2）第一題根據(jù)題目要求就可以作答。第二題中，因為涉及50個數(shù)據(jù)，如果是真命題，要么要對50個學(xué)號進行驗證，比較困難，對學(xué)生的思維要求比較高。但是顯然，它只是一個假命題，那么只要舉出反例即可，不只是學(xué)號為1的學(xué)生，可以舉的反例其實是很多的。但是往往學(xué)生對游戲的公平性理解不夠，導(dǎo)致認為它是真命題，就無法解決此題。3）第三題是考察設(shè)計一個公平的游戲，“等可能性”與游戲公平的原則是緊密相關(guān)的，如果能上學(xué)生認識到這一點，問題就能迎刃而解。例3．某市準備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識講座，小明和妹妹都是網(wǎng)球球迷，要求爸爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰去就成了問題，小明想到一個辦法：他拿出一個裝有質(zhì)地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸從中摸出一個球，如果摸出的是紅球．妹妹去聽講座，如果摸出的是白球，小明去聽講座．1）爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因．2）若爸爸從袋中取出3個白球，再用小明提出的辦法來確定誰去聽講座，問摸球的結(jié)果是對小明有利還是對妹妹有利．說明理由．解析】（1）此題含有代數(shù)式，需要用代數(shù)式的比較方法；（2）此時：妹妹去聽講座的概率為：一匚2x+3x—3小明去聽講座的概率為：2x—3,2x+3x—3對于這兩個分母相同，分子不同的分式比較，需要采用分類討論法，是本題的一個難點。解答】（1）QQ（2）此時：妹妹去聽講座的概率為：一匚2x+3x—3小明去聽講座的概率為：2x—3,2x+3x—3???當(dāng)2x=3x-3，即卩x=3時，他們的機會均等；當(dāng)2x>3x-3，即xV3時，對妹妹有利；當(dāng)2xV3x-3，即x>3時，對小明有利.【解法】分式比較大小的方法有很多，在分母相同的情況下可以比較分子大小，也可以進而引申作差法、作商法等方法?！窘忉尅浚?）此題涉及概率、游戲公平問題、不等式、分類討論等知識點，對學(xué)生的綜合運用能力要求較高；（2）讀懂題目，第一題找到構(gòu)建概率模型，直接利用概率公式比較兩者的概率大小；（3）第二題涉及分類討論，對學(xué)生靈活運用知識的要求較高，不少學(xué)生可能會想到不去分類討論比較分子而匆忙下結(jié)論，是本題的難點。三、能力訓(xùn)練與拓展（2011大慶）某商場為促銷開展抽獎活動，讓顧客轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，只有指針指向陰影區(qū)域時，顧客才能獲得獎品，下列有四個大小相同的轉(zhuǎn)盤可供選擇，使顧客獲得獎品可能性最大的是（）A.4BA.4B.iC.i936D.1p\\3/Ltv（第3題）（2015浙江湖州）一個布袋內(nèi)只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（）（2015蘇州）如圖，轉(zhuǎn)盤中8個扇形的面積都相等.任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向大于6的數(shù)的概率為.

4．“石頭、剪刀、布”是廣為流傳的游戲，游戲時，甲、乙雙方每次出“石頭”“剪刀”布”三種手勢中的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢不分勝負．假定甲、乙兩人每次都是等可能地出這三種手勢，用畫樹形圖和列表的方法分別求一次游戲中兩人出同種手勢的概率和甲獲勝的概率，并判斷游戲是否公平.（提示：為書寫方便，解答時可以用S表示“石頭”，用J表示“剪刀”，用月表示“布”）5.在“六?一”兒童節(jié)來臨之際，某婦女兒童用品商場為吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖25-68所示，轉(zhuǎn)盤被平均分成20份），并規(guī)定：顧客每購物滿100元，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得80元、50元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場?如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得15元的購物券.轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算？請說明理由.6.（2。16懷化）甲、乙兩人都握有分別標記為A、B、C的三：張牌，兩人做游戲，游戲規(guī)則是：若兩人出的牌不同，則A勝B,B勝C,C勝A；若兩人出的牌相同，則為平局.1）用樹狀圖或列表等方法，列出甲、乙兩人一次游戲的所有可能的結(jié)果；2）求出現(xiàn)平局的概率．7．某廠為新型號電視機上市舉辦促銷活動，顧客每購買一臺該型號電視機，可獲得一次抽獎機會，該廠擬按10％設(shè)大獎，其余90％為小獎.廠家設(shè)計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入10個黃球和90個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸到黃球的顧客獲得大獎，摸到白球的顧客獲得小獎.

（1）廠家請教了一位數(shù)學(xué)教師，他設(shè)計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入2個黃球和3個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個球，摸到的2個球都是黃球的顧客獲得大獎，其余的顧客獲得小獎．該抽獎方案符合廠家的設(shè)獎要求嗎？請說明理由．（2）如圖25-69所示的是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，請你將轉(zhuǎn)盤分為2個扇形區(qū)域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設(shè)計抽獎方案，使其符合廠家的設(shè)獎要求.（友情提醒：（1）在轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù).（2）結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡述獲獎方式，不需說明理由）8.（2011杭州）四條線段a，b，c，d如圖