計量經濟學 第十章 聯(lián)立方程組模型

第十章聯(lián)立方程組模型第一節(jié)聯(lián)立方程組模型概述一、問題的提出1、單一方程模型存在的條件是單向因果關系。2、對于變量之間存在的雙向因果關系，則需要建立聯(lián)立方程組模型。3、經濟現象的表現多以系統(tǒng)或體系的形式進行，僅用單一方程來反映存在局限性。二、聯(lián)立方程組的概念1、聯(lián)立方程組模型的定義。由一個以上的相互聯(lián)系的單一方程組成的系統(tǒng)（模型），每一個單一方程中包含了一個過多個相互聯(lián)系（相互依存）的內生變量。聯(lián)立方程組表現的是多個變量間互為因果的聯(lián)立關系。聯(lián)立方程組與單一方程的區(qū)別是估計聯(lián)立方程組模型的參數必須考慮聯(lián)立方程組所能提供的信息（包括聯(lián)立方程組里方程之間的關聯(lián)信息），而單一方程模型的參數估計僅考慮被估計方程自身所能提供的信息。2、聯(lián)立方程組模型的例子。（1）一個均衡條件下市場供給與需求的關系。Qd二a+aP+ua<0(1)i01i1i1Qs+Bp+uB1>0(2)i01i2i1Qd二Qs(3)ii稱（1）式為需求方程，（2）式為供給方程，（3）式為供需均衡式；Qd表示需i求量，Qs表示供給量，P表示價格，u,u分別為（1）式和（2）式的隨機誤ii1i2i差項。按照經濟學基本原理，商品的供給與商品的需求共同作用于價格，反過來，價格也要分別決定商品的供給與需求。這就是方程（1）與方程（2）的作用機制，如果考慮了均衡條件，這又是方程（3）的作用。因此，通過這一聯(lián)

立方程組將上述商品的供需與價格的相互作用過程得到了反映。2）一個凱恩斯宏觀經濟模型。(4)(5)(6)C=卩+卩Y(4)(5)(6)t01t1tI=a+aY+ut01t2tT=C+I+Gtttt式中，C表示消費，Y表示國民總收入（又GDP，實際上它們是有區(qū)別的），I表示私人投資，G表示政府支出，ul、u2分別為消費函數和投資函數中的隨機誤差項。三、聯(lián)立方程組模型的基本問題（即聯(lián)立方程組模型的偏倚性）1、內生解釋變量與隨機誤差項的相關性。2、直接對聯(lián)立方程組模型運用2、直接對聯(lián)立方程組模型運用OLS法，所得的參數估計值是有偏的，并C=C=卩+卩Y+Ut01ttY=C+Ittt???Y=卩+卩Y+U+1t01ttt(1—卩)Y=卩+1+U1t0ttt1-p1-p1-p111E(Yt)=占+占+已巴11P,I+k1-p1-p11???Y-E(Y)=Uttt1-p10<卩<11且是不一致的。例如，設凱恩斯收入決定模型為cov(Y,U)=E1(Y-E(Y))(U-E(U))]=e\(Y-E(Y))U](E(U)=0)=E(-UU)=-E(U2)1-卩1-卩11=豐01-卩表明內生變量Y在作解釋變量時與隨機誤差U相關。對凱恩斯模型中的消費函數求參數的估計，有（用離差形式表示）

(工y=工(Y-Y)=0)(=1)厶y2d工(C-(工y=工(Y-Y)=0)(=1)厶y2卩1二工(Y-Y)2二工y2二乞尸工Cy工(卩+卩Y+U)y卩工y+卩工與+工U==0丄=0乙y2乙y2B?Uy=P+v1乙y2求B的數學期望1在上式中，由于E(vUy)豐0，所以，p不是P的無偏估計11再看參數估計的一致性。對P的表達式兩端同時求概率極限，得1vUyvUyplim(p)=plim(P+v)=P+Plim(v)=P+plim(1-P=P+H=P+plim(1-P=P+Hp1c21Yc2表明P不是P的一致性估計。11下面根據此例用具體的數據(文件名kaiensimx)加以說明。假定投資I得數據已知，并且用蒙特卡羅方法生成隨機誤差U得數據，再假定E(U)二0,E(UU)二0(s豐0),var(U)二c2二0.04cov(U,I)二0ttt-sttt進一步假定消費函數中得參數真實值已知為P二2,P二0.8。01(1)由P二2,P二0.8和U的值，根據Y?+丄+-^計算Y01t1-P1-P1-P111的數值；(2)由P二2,P二0.8、Y的數值和U的數值，根據消費函數計算C01的數值。(3)由于用蒙特卡羅方法生成隨機誤差U的數據，則樣本誤差應正好是“真實”誤差，故求C對Y的回歸，所得的參數估計就應是P=2,p=0.8，01與真實值一致。(4)但當Y與U相關時，則參數估計的無偏性不再滿足。(Gujarati，計量經濟學，第641頁)四、聯(lián)立方程組模型中的幾個概念1、內生變量。其數值由模型體系所決定的變量稱之為內生變量。其特點是：（1）內生變量受模型體系的影響，反之亦然；（2）內生變量是隨機變量。2、前定變量。包括外生變量和滯后內生變量。外生變量是指，它取的數值不由模型體系所決定。其特點是：（1）外生變量影響模型體系，反之不成立；（2）外生變量是非隨機變量。外生變量與內生變量的關系是：外生變量能夠影響內生變量，但內生變量不能影響外生變量。舉例說明，（1）均衡條件下的供需模型；（2）凱恩斯的宏觀經濟模型。1、結構型模型。根據經濟學理論或現實經濟活動，對某種經濟結構或某種經濟主體的行為運用數學關系式進行“直接”描述。其過程可表述為經濟原型f數學模型為了簡單起見，下面直接給出聯(lián)立方程組模型結構型的矩陣形式BY+rx二U（7）其中，Y為內生變量向量，X為前定變量向量，U為隨機誤差向量，B為內生變量結構參數矩陣，r為前定變量結構參數矩陣（向量或矩陣的具體表示見教科書第211頁）。2、簡化型模型。所謂簡化型模型是指在聯(lián)立方程組模型中每一個內生變量只由前定變量和隨機誤差線性表示，或者說內生變量只是前定變量和隨機誤差的函數。用矩陣表示的過程如下，假設BH0，則Y+B-irx=B-1U（8）令n=-b-irv=b-iu有Y=nx+V（9）稱（9）式為模型的簡化型。簡化型模型與結構型模型的區(qū)別是：結構型模型中的方程左端為內生變量，但右端也可能出現內生變量；簡化型模型中的方程左端為內生變量，但右端只有前定變量。注意：在已知前定變量未來值的情況下，利用（9）式的樣本估計式可直接對模型中的內生變量進行預測。3、遞歸模型。在結構型模型中，如果方程的結構按如下形式，即y=Yx+Yx+???+丫x+u1111221kk1y=py+Yx+Yx+???+Yx+u2112112222kk2y=py+py+yx+yx++yx+u3113223113223kk3則稱為遞歸模型。遞歸模型的特點是方便估計，無模型的識別問題。第二節(jié)聯(lián)立方程組模型的識別問題一、識別的概念1、一個例子。設凱恩斯宏觀經濟模型為TOC\o"1-5"\h\zC=a+aY+u（1）t01t1tI=p+pY+u（2）t01t2tY=C+I（3）ttt將（3）式變換為，I=Y-C（4）ttt將（4）式代入（2）式，得-C=p+pY+u（5）tt01t2t將（5）式整理，得到如下模型：C=-p+（1-p）Y-u（6）t01t2t對比（1）式與（6）式，兩個C的表達式（均表示消費模型），對消費函數來講表達式不惟一，究竟哪一個才是表達消費的函數，這就是所謂的識別問題。再例如，同樣是上述模型，將（1）式代入（3）式，得=a+aY+u+1t01t1tt—aY=a+1+ut1t0t1t（1—a）Y=a+I+u1t0t1t=-^+—I+—u（7）t1—a1—at1—a1t111比較（3）式與（7）式，國民總收入也有兩個表達式，那么哪一個才是國民總收入的函數？不僅如此，（3）式為恒定式，而（7）式為一隨機函數。由凱恩斯宏觀經濟模型結構可知，該模型具有合理的經濟學解釋，即式（1）與（2）的參數，在所對應的經濟意義解釋上應該是惟一的，但經過一定的數(4)(4)學變換，我們發(fā)現事實并非如此。比較式（2）與式（6），可以看出對于樣本數據C,Y,I,均能得到參數0與0的估計（3與Q?，F在的問題是B與Q究ttt010101竟是投資函數（2）還是消費函數（6）的參數估計？這也是聯(lián)立方程組模型的識別問題。2、識別的定義?？偟脑瓌t是看方程組中一個方程與另一個方程有無差異,也就是看每一個方程出現的變量是否一致,如果出現在不同方程里的變量不一樣,則方程為可識別,否則就不可識別。關于識別的定義大致有以下幾種情況：（1）方程的統(tǒng)計形式是否具有惟一型；（2）零系數規(guī)則；（3）結構型與簡化型系數之間導出的關系。本教科書僅從（3）給出識別的含義。3、模型的識別問題。只有當聯(lián)立方程組中每一個（結構）方程是可識別的,則該方程組才是可識別的。反之,當方程組模型中有一個方程不可識別,則整個方程組都不可識別。相比較,以此判斷方程組不可識別更容易。4、聯(lián)立方程組可估計的條件：內生變量的個數=聯(lián)立方程組中方程的個數。二、識別的類型面通過幾個例子來看利用結構型與簡化型系數之間導出的關系所表現的識別類型。1、不可識別。設模型為QdQd=a+aP+u01i1iQs=0+0P+ui01i2id=Qsiia<0(1)10>0(2)1(3)Qd=Qs

ii「.a+aP+u=0+0P+u01i1i01i2i0—a.u—u..P=—04+^2i1i-ia—0a—01111將（4）式代入（1）式或（2）得Q=Q=Qd=Qs=iii令兀=二000j—B11

u—uv=-^i1-1ij—B11則簡化型模型為jB—jBju—BuTOC\o"1-5"\h\z—101+12i11ij—Bj—B1111jB—jB

兀=―1011J—p11Ju—puV—12i2iJ—p11TOC\o"1-5"\h\zP—兀+v(5)i01iQ—兀+v(6)i12i由結構型與簡化型系數之間的關系可以看出，簡化型模型的系數只有兩個，而結構型模型的系數有四個，顯然要由簡化型系數解出結構型系數是不可能的，即每一個結構方程都是不可識別，從而整個方程組不可識別。如果在此基礎上引入前定變量，則識別的狀況會發(fā)生變化。如在上述模型中的供給方程引入價格P的滯后一期變量P，即t—1Qd—J+JP+ut01t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t類似上述的推導，這時能得到需求函數為可識別，而供給函數仍然是不可識別。2、恰好識別。在上述基礎上往需求函數中引入一個前定變量I（收入），t得Qd—J+JP+JI+ut01t2t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t—Qs

t同樣道理，可得到結構型參數與簡化型參數之間的關系，可以看出，由簡化型參數能惟一地解出結構型的參數，這就是恰好識別。3、過度識別。繼續(xù)往需求函數里引入前定變量什（財富）,Qd—J+JP+JI+JR+ut01t2t3t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t—Qst我們仍然能夠得到結構型與簡化型參數之間的關系，可看出簡化型參數個數多于結構型參數個數，把這種情況稱為過度識別（詳細說明可見教科書第216頁——第219頁）。在以上例子的討論中，可以看出增加前定變量與改變識別狀況的關系，即在有條件的情況下，聯(lián)立方程組模型隨著前定變量的增加，模型總是能夠實現可識別。正因為如此，通常在實際建模過程中，往往淡化模型的識別問題。三、識別的規(guī)則由上述討論，我們看到通過結構型模型與簡化型模型參數之間的關系能夠分析模型的識別狀況，但從操作的角度講，不方便判斷模型的識別性，因此，需要用專門的方法對聯(lián)立方程組模型的識別性問題進行判斷。設用矩陣形式表示的聯(lián)立方程組模型為BY+rx二U對于該模型，記M=整個聯(lián)立方程組模型中內生變量的個數m=聯(lián)立方程組中第i個方程中內生變量的個數iK=整個聯(lián)立方程組模型中前定變量的個數k=聯(lián)立方程組中第i個方程i1、識別的階條件（必要非充分）。（1）設聯(lián)立方程組模型有M個結構方程，對其中某一個方程進行判斷。如果該方程是可識別的，則該方程中沒有包含在聯(lián)立方程組中的變量（包括內生變量和前定變量）個數至少為M-1。如果該方程沒有包含的變量個數恰好為M-1，則該方程為（有可能）恰好識別；如果該方程沒有包含的變量個數大于M-1，則該方程為（有可能）過度識別；如果該方程沒有包含的變量個數小于M-1，則該方程一定不可識別。對階條件的理解需注意以下幾點：（1）階條件運用的基本前提是：內生變量的個數=聯(lián)立方程組中方程的個數；（2）“至少沒有包含的變量個數為M-1（包括內生變量和前定變量）”，有兩種情況要注意，一是模型中不可能只有前定變量，否則建立聯(lián)立方程組模型便無任何意義；二是模型中完全有可能只有內生變量，如模型Qd二a+aP+ua<0(1)i01i1i1Qs邛+Bp+uB1>0(2)i01i2i1Qdi=Qsi(3)其中全部變量均為內生變量；最后基于上述兩點，模型中至少出現的變量個數應為M個(每一個方程至少含有一個內生變量)，扣除正在判斷的方程，考慮方程個數與內生變量個數一致，故為M-1，從而至少出現的變量個數應為M-1個。根據以上定義，沒有包含在第i個方程的變量個數有如下關系(M+K)-(m+k)>M-1iinK—k>m—1ii當K—k二m—1時，該方程有可能是恰好識別；當K—k>m—1時，該方程有iiii可能是過度識別；當K—k<m—1時，該方程一定不可識別。ii由于階條件是必要非充分，所以對可識別的判斷存在局限，但用階條件判斷不可識別(即該命題的逆否命題)則非常方便。例1，對如下模型運用階條件判斷其識別性Qd=a+aP+aI+u(1)t01t2t1tQs=p+pP+pP+u(2)t01t2t—12tQ=Qd=Qs⑶ttt該模型所有內生變量個數M=3，對于(1)式有，K=2,k=1m=211nK—k=2—1=m—1=111所以方程(1)可能是恰好識別；對于(2)時有，TOC\o"1-5"\h\zK=2,k=1,m=222所以與方程(1)有相同的結果，即也可能是恰好識別。例2，設聯(lián)立方程組為Qd=a+aP+aI+aR+u(1)t01t2t3t1tQs=p+pP+pP+u(2)t01t2t—12tQ=Qd=Qs(3)ttt該方程組模型內生變量個數M=3，對于方程(1)有K=3,k=2,m=211/.K—k=3—2=m—1=2—111所以方程(1)有可能恰好識別。對于方程(2)有K=3,k=1,m=122/.K—k=3—1>m—1=1—122所以方程（2）有可能為過度識別。例3，設聯(lián)立方程組模型為Qd=a+aP+ut01t1t(1)Qs=p+pP+pP+ut01t2t—12t(2)Q=Qd=Qs(3)ttt該方程組內生變量個數仍然是M=3，對于方程（2）有K=1,k=1,m=222/.K—k=1—1<m—1=2—122所以方程（2）是不可識別，從而方程組不可識別。事實上方程（1）是可識別的。例4，設結構型模型為=3Y—2X+X+u12121=Y+X+uTOC\o"1-5"\h\z332=Y—Y—2X+u1233其中Y,Y,Y為內生變量，即M=3；X,X,X為前定變量，即K=3。下面對第123123三個方程進行識別性的判斷。由第三個方程，可知m=3,k=1，根據識別的33階條件，有K-k=3-1=2=m-1=3-1=2，則第三個方程有可能為恰好識33別。但由下面的秩條件可知第三個方程為不可識別。這說明方程滿足識別的階條件，未必一定是可識別的。2、識別的秩條件（充分且必要）。聯(lián)立方程模型識別的秩條件可以表述為：在有M個內生變量M個方程的完整聯(lián)立方程模型中，當且僅當一個方程中不包含但在其他方程包含的變量（不論是內生變量還是外生變量）的結構參數，至少能夠構成一個非零的M—1階行列式時，該方程是可以識別的?；蛘弑硎鰹椋斍覂H當一個方程所排斥（不包含）的變量的參數矩陣的秩等于M—1時，該方程可以識別。設結構型模型為BY+rx二U在上式中B為內生變量的系數矩陣，r為前定變量的系數矩陣，記矩陣（B,r）00為該方程組中第i個方程中沒有包含的內生變量和前定變量系數所構成的矩陣，如果當（B,r）的秩為M-1時，即只有當至少有一個M-1階非零行列式00時，該方程才是可識別的。類似階條件有三種情況，秩條件也有三種情況：當只有一個M-1階非零行列式時，該方程是恰好識別；當不止一個M-1階非零行列式時，該方程是過度識別；當不存在M-1階非零行列式時，該方程是不可識別。運用秩條件判別模型的識別性，步驟如下：（1）將結構型模型轉變?yōu)榻Y構型模型的標準形式，并將全部參數列成完整的參數表（方程中不出現變量的參數以0表示）；（2）考察第i個方程的識別問題：劃去該方程的那一行，并劃去該方程出現的變量的系數（該行中非0系數）所在列，余下該方程不包含的變量在其他方程中的系數的矩陣（B,r）；00（3）計算Rank（B,r），檢驗所余系數矩陣（B,r）的秩，看是否等于0000M—1，或檢驗所余系數是否能構成非零M-1階行列式。（4）判斷：如果Rank（B,r）=M-1，則該方程為可識別；根據非零行列00式個數判別是恰好識別，還是過度識別。設聯(lián)立方程組模型BY+rx二U中第i個方程有m個內生變量和k個前定變量，那么該方程可識別的充分必要ii條件是該方程沒有包含的變量（包括內生變量和前定變量）的系數所組成的矩陣的秩為M-1。秩條件的運用關鍵是如何構建某個方程不包含變量的系數矩陣，然后計算矩陣的秩。記矩陣（B,r）為第i個方程中沒有包含的其它內生變量和前定變量00

之系數所構成的矩陣，Rank(B,「)=M-1，則該方程可識別；如果有多個非零00矩陣的秩為M-1，則該方程為過度識別；如果Rank(B,r)VM-1，則該方程00為不可識別。3、聯(lián)立方程組模型識別的一般做法，即將階條件與秩條件結合運用(教科書第221頁)。運用階條件。如果不可識別，則到此為止；如果有可能識別，則運用秩條件。運用秩條件。如果不可識別，則到此為止；如果可識別，還需進一步判斷是恰好識別還是過度識別。運用階條件判斷可識別的類型，是恰好識別還是過度識別。例如，設定的聯(lián)立方程模型為TOC\o"1-5"\h\zY=C+1+G(1)ttttC=a+aY—exT+u(2)t12t3t1tI=卩+卩Y—卩Y+u(3)t12t3t—12tT=Y+YY+u(4)t12t3t模型中，M=4個內生變量Y、C、I、T分別是收入、消費、投資、稅收；tttt前定變量G和Y分別是政府支出和上年收入。tt—1由給定方程組模型寫出其結構性模型的標準形式(5)(6)(7)(8)—a+C+01—aY+aT+0G+0(5)(6)(7)(8)TOC\o"1-5"\h\z1tt2t3ttt—11t—卩+0C+1—卩Y+0T+0G+卩Y=u1tt2ttt3t—12t—Y+0C+01—丫Y+T+0G+0Y=u1tt2tttt—13t0—C—I+Y+0T—G—0Y=0tttttt—1由結構型的標準形式寫出其系數矩陣(B,r)，即(—a101—(—a101—P011—Y001W—1—1或者將以上一般形式的結構參數列于表1(b,r)=—x2—P2—Y210x3

00

10—10'

P300丿表1CIYTGYt-1方程1—a110-a2a300方程2-0101-020003方程3-Y100-Y2100方程40-1-110-10面利用秩條件判斷該模型的識別性。（1）分析消費函數方程1的識別問題，劃去方程1的那一行，并劃去該行中非0系數所在列（即C、Y、T對應的列），余下方程1不包含的變量在其他方程中的系數，構成（b,r），并列于如下矩陣00(100)3(B,r)=00000I-1-10丿所余系數矩陣(B,r)能構成M-l=3階行列式：001003000=0—1-10（B,r）只能構成一個等于零的M—1階行列式，或者說Rank（B,r）＜M-1,這0000說明消費函數是不可識別的。值得注意的是，在階條件的判斷中該方程是有可能為恰好識別（見式（11.51）的階條件判斷），這一例子正好說明階條件只是必要條件，而非充分條件，亦即滿足階條件的未必一定滿足秩條件。（2）分析投資函數方程2的識別問題，同樣道理可以劃去方程2的那一行，并劃去該行中非0系數所在列（即I、Y和Y對應的列），余下方程2不t-1（1a0）3包含的變量在其他方程中的系數，構成（b,r），得到（B,r）=010，0000I-10-1丿其行列式為

1a03010豐0-10-1只能構成一個不等于零的M—1階行列式，則說明Rank（B,廠）=M-1=3,即表00明投資函數為恰好識別。（3）分析稅收函數方程3的識別問題，可以劃去方程3的那一行，并劃去該行中非0系數所在列（即Y和T對應的列），余下方程3不包含的變量在其他方程中的系數，構成（其他方程中的系數，構成（b,r），00得到（B,r）為00(B0(B0,r0)二10-10010-1-1這是一個三行四列的矩陣，故可構成四個三階行列式，100100這是一個三行四列的矩陣，故可構成四個三階行列式，10010000010001000卩10卩01卩333-1-1-1-1-10-1-10-1-10即00P30很明顯在這四個三階行列式里只有00-1其余三個均為非零行列式，則表明稅收函數是過度識別。最后一個方程為恒定式，可以不需判斷其識別性。綜上所述，由于消費函數是不可識別，所以，整個方程組為不可識別。第三節(jié)聯(lián)立方程組模型的估計一、估計方法的概述1、單一方程估計法（有限信息估計法）。該類方法的特點是在估計參數的過程中，只用到該方程自身所帶來的信息。2、系統(tǒng)估計法（完全信息估計法）。這類方法的特點是在估計參數的過程中，不僅用到該方程所提供的信息，而且還要用到其它方程所提供的信息。二、