高中數(shù)學人教A版選擇性課件3-1-1橢圓及其標準方程

1動量第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.(數(shù)學建模)2.掌握橢圓的定義和標準方程.(數(shù)學抽象)3.會求橢圓的標準方程.(數(shù)學運算)思維脈絡課前篇自主預習[激趣誘思]哈雷彗星(周期彗星表編號:1P/Halley)是每76.1年環(huán)繞太陽一周的周期彗星,肉眼可以看到.因英國物理學家愛德蒙·哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預言回歸時間而得名.哈雷彗星的軌道周期為76~79年,下次過近日點時間為2061年7月28日.天文學家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準確時間呢?原來,這顆彗星運行的軌道是一個橢圓,通過觀察它運行中的一些有關數(shù)據(jù),可以推算出它的運行軌道的方程,從而算出它運行的周期及軌道的周長,預測它接近地球或離去的時間.[知識點撥]一、橢圓的定義1.定義我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距.2.定義的集合語言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.名師點析

在橢圓定義中,要求常數(shù)必須大于兩定點F1,F2之間的距離,這是橢圓定義中非常重要的一個條件,可以驗證:如果這個常數(shù)等于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將是一條線段;如果這個常數(shù)小于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將不存在.因此在根據(jù)橢圓定義判斷動點的軌跡時,務必注意這一隱含的條件.微練習下列說法正確的是(

)A.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于4的點的軌跡是橢圓B.到點M(0,-3),N(0,3)的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓D.到點M(0,-3),N(0,3)的距離相等的點的軌跡是橢圓答案

C二、橢圓的標準方程

名師點析

1.兩種橢圓

(a>b>0)的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標也不同.2.給出橢圓方程

(m>0,n>0,m≠n),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.微思考在橢圓的標準方程中a>b>c一定成立嗎?提示

不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小關系不確定.微練習(1)若橢圓方程為,則其焦點在

軸上,焦點坐標為

.

(2)已知a=5,c=2,焦點在y軸上,則橢圓的標準方程為

.

解析

(1)因為10>6,所以焦點在x軸上,且a2=10,b2=6,所以c2=10-6=4,c=2,故焦點坐標為(2,0)和(-2,0).(2)由已知得b2=a2-c2=21,于是橢圓的標準方程為答案

(1)x

(2,0)和(-2,0)

(2)微拓展

課堂篇探究學習探究一求橢圓的標準方程1.待定系數(shù)法例1根據(jù)下列條件,求橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過點(5,0);(2)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);(3)經(jīng)過點A(,-2)和點B(-2,1).思路分析(1)設出焦點在x軸上的橢圓的標準方程,再根據(jù)條件求出a,b的值,即可求得方程;(2)設出焦點在y軸上的橢圓的標準方程,再根據(jù)條件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦點位置不確定,可以分兩種情況分別求解,也可直接設所求橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).反思感悟

橢圓方程的求法(1)利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟如下:①先確定焦點位置;②設出方程;③尋求a,b,c的等量關系;④求a,b的值,代入所設方程.(2)焦點位置不確定時,可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為焦點位置包括焦點在x軸上(m<n)或焦點在y軸上(m>n)兩種情況,所以可以避免分類討論,從而簡化運算.變式訓練1根據(jù)下列條件,求橢圓的標準方程.(2)經(jīng)過點(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點.2.定義法例2一個動圓與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,與圓Q2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求這個動圓圓心的軌跡方程.思路分析兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓的半徑有關,由此可以找到動圓圓心滿足的條件等式.解

兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.設動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由橢圓的定義可知點M在以Q1,Q2為焦點的橢圓上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.反思感悟

1.若動點軌跡滿足橢圓的定義,則根據(jù)橢圓的定義來確定a,b,c,從而確定橢圓的標準方程,這種求軌跡方程的方法稱為定義法.2.一般步驟:(1)將條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值(該定值大于兩定點之間的距離);(2)判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標軸;(3)確定橢圓的基本量a,b,c,從而確定橢圓的標準方程.延伸探究

本題兩個已知圓不變,若動圓與兩個圓都內(nèi)切,求動圓圓心的軌跡方程.解

設動圓圓心為P(x,y),半徑為r.由圓P與圓Q1內(nèi)切,得|PQ1|=r-1;由圓P與圓Q2內(nèi)切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.所以P點軌跡是以Q1,Q2為焦點的橢圓,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.故動圓圓心的軌跡方程是探究二對橢圓標準方程的理解例3(1)若方程

表示橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25) D.(8,+∞)(2)若方程x2-3my2=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是

.

反思感悟

根據(jù)橢圓方程求參數(shù)的取值范圍

答案

(-4,0)∪(0,3)探究三橢圓中的焦點三角形問題思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考慮用基本不等式;(2)求焦點三角形的面積,可考慮用定義|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考慮用三角形面積公式求面積.即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,∴122=202-3|PF1|·|PF2|,反思感悟

1.焦點三角形的概念如圖,設M是橢圓上一點,F1,F2為橢圓的焦點,當點M,F1,F2不在同一條直線上時,它們構成一個三角形——焦點三角形.2.關于橢圓的焦點三角形問題,可結合橢圓的定義列出|PF1|+|PF2|=2a,利用這個關系式轉(zhuǎn)化求解.因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.在求解過程中要靈活運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.3.焦點三角形的常用公式(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos

θ.(3)焦點三角形的面積(選擇題、填空題可直接應用此公式求解)變式訓練3如圖,已知經(jīng)過橢圓

的右焦點F2的直線AB垂直于x軸,交橢圓于A,B兩點,F1是橢圓的左焦點.(1)求△AF1B的周長.

(2)如果AB不垂直于x軸,△AF1B的周長有變化嗎?為什么?故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,∴△AF1B的周長=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,∴△AF1B的周長為20.(2)如果AB不垂直于x軸,△AF1B的周長仍為20不變.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB與x軸是否垂直無關.

素養(yǎng)形成求與橢圓有關的軌跡問題典例已知B,C是兩個定點,|BC|=8,且△ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程.【規(guī)范答題】解

以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,如圖所示.由|BC|=8可知點B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,因此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a=10,焦距2c=8,但點A不在x軸上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.所以點A的軌跡方程為

(y≠0).方法總結

求與橢圓有關的軌跡方程常用的方法(1)定義法:若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解.(2)直接法:將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化,列出等式后化簡,得出動點的軌跡方程.(3)相關點法:根據(jù)相關點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換求出動點軌跡的方程.

當堂檢測1.已知F1,F2為兩定點,|F1F2|=6,動點M滿足|MF1|+|MF2|=16,則動點M的軌跡是(

)A.橢圓 B.直線

C.圓 D.線段