第三章 立體的投影課件

第3章立體的投影3.2平面與立體表面的交線—截交線3.3兩回轉(zhuǎn)體表面的交線—相貫線3.1基本體的投影及其表面取點(diǎn)第三章立體的投影

表面由平面和曲面或曲面圍成的立體，稱為曲面立體。

幾何體可分為平面立體和曲面立體兩種。表面都是由平面圍成的立體，稱為平面立體。

立體——表面由若干面圍成的幾何體?；編缀误w——基本體第三章立體的投影3.1基本體的投影及其表面取點(diǎn)第三章立體的投影

平面立體：表面由若干多邊形所圍成的立體。平面立體投影的繪制：將組成立體的平面和棱線表示出來(lái)，然后判別其可見(jiàn)性，可見(jiàn)的棱線用粗實(shí)線表示，不可見(jiàn)的棱線畫(huà)成虛線。常用的平面立體：棱柱、棱錐。立體表面取點(diǎn)：

已知立體表面上點(diǎn)的一個(gè)投影，求其余兩個(gè)投影。常用的表面取點(diǎn)方法：積聚性法輔助直線法一、平面立體的投影及其表面取點(diǎn)第三章立體的投影1、棱柱（1）棱柱的投影

由頂面和底面及六個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。

六棱柱的頂面和底面為水平面，水平投影反映實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影都積聚成直線段。以正六棱柱為例第三章立體的投影

前、后兩棱面是正平面，正面投影反映實(shí)形，水平投影和側(cè)面投影積聚成直線段。

其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，并與正六邊形的邊線重合，在正面投影和側(cè)面投影面上的投影為類(lèi)似形（矩形）。

六棱柱的六條棱線均為鉛垂線，在水平投影面上的投影積聚成一點(diǎn)，正面投影和側(cè)面投影都互相平行且反映實(shí)長(zhǎng)。動(dòng)畫(huà)演示第三章立體的投影☆作圖步驟：①先用點(diǎn)畫(huà)線畫(huà)出水平投影的中心線，正面投影和側(cè)面投影的對(duì)稱線;③

根據(jù)投影規(guī)律，再連接頂面和底面的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影，即為棱線,棱面的投影。④最后檢查清理底稿，按規(guī)定線型加深。②畫(huà)正六棱柱的水平投影（正六邊形），根據(jù)正六棱柱的高度畫(huà)出頂面和底面的正面投影和側(cè)面投影。動(dòng)畫(huà)演示第三章立體的投影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷：

點(diǎn)所在表面的投影可見(jiàn),點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；若點(diǎn)所在表面的投影不可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也不可見(jiàn)；若點(diǎn)所在表面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影認(rèn)為可見(jiàn)。a、確定點(diǎn)所在的平面并分析該平面的投影特性；b、根據(jù)投影規(guī)律作出點(diǎn)的投影，并判別可見(jiàn)性（2）棱柱表面取點(diǎn)A

a

(b

)(B)

b

a

a

b

動(dòng)畫(huà)演示第三章立體的投影2.棱錐(1)棱錐的投影

由一個(gè)底面和三個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)—錐頂。

棱錐處于圖示位置時(shí)，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形，正面投影和側(cè)面投影積聚成水平直線段。ABCS

以正三棱錐為例第三章立體的投影ABCS

a′b′c′a〞(c〞)b〞s〞s′abcs

棱面SAC為側(cè)垂面，側(cè)面投影積聚成直線段,正面投影和水平投影為類(lèi)似形。

另兩個(gè)棱面（SAB,SBC)為一般位置平面，三投影均不反映實(shí)形。第三章立體的投影()

k

k

k

b

s

n

n

n

ABCS

s

s

N

abc☆作圖步驟：

①畫(huà)反映實(shí)形的底面的水平投影（等邊三角形），再畫(huà)ΔABC的正面投影和側(cè)面投影，它們分別積聚成水平直線段；②根據(jù)錐高再畫(huà)頂點(diǎn)S的三面投影；

a

c

a

(c

)b

③最后將錐頂S與點(diǎn)A、B、C的同面投影相連，即得到三棱錐的投影圖。④最后檢查清理底稿，按規(guī)定線型加深。（2）棱錐表面取點(diǎn)一般采用輔助線法。判別可見(jiàn)性

K動(dòng)畫(huà)演示第三章立體的投影二、曲面立體及其表面取點(diǎn)

表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見(jiàn)的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。曲面可看作由一條運(yùn)動(dòng)的線按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成，運(yùn)動(dòng)的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。第三章立體的投影1.圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

第三章立體的投影（1）圓柱的投影

a

a

a

A1A

直線AA1稱為母線,母線在廻轉(zhuǎn)面的任一位置稱為素線。圓柱面上的素線都是平行于軸線的直線。OO1利用投影的積聚性最左素線最右素線最后素線最前素線

圓柱面的俯視圖積聚成一個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以兩個(gè)方向的輪廓素線的投影表示。

輪廓素線的投影與曲面可見(jiàn)性的判斷OO1

A（2）圓柱面上取點(diǎn)第三章立體的投影

圓柱表面取點(diǎn)()()A(D)CBc”第三章立體的投影2.圓錐

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。第三章立體的投影

S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過(guò)錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。O1O（1）圓錐體的投影

輪廓素線的投影與曲面可見(jiàn)性的判斷（2）圓錐面上取點(diǎn)

k

★輔助素線法★輔助圓法

(n

)s●n

k(n

)●

k

●SA過(guò)錐頂S和點(diǎn)K作一輔助素線。圓的半徑？最左素線最后素線最前素線最右素線

s

●

s

●(N)●K

過(guò)N點(diǎn)作一平行于底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過(guò)n

且平行底面的直線段。

該圓錐俯視圖為一圓。另兩個(gè)視圖為等腰三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。第三章立體的投影3.球

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。第三章立體的投影

三個(gè)視圖分別為三個(gè)和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個(gè)方向轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。（1）球的投影

輪廓線的投影與曲面可見(jiàn)性的判斷（2）球表面取點(diǎn)

k

輔助圓法

k

k

圓的半徑？球面上平行于H面的最大圓球面上平行于W面的最大圓球面上平行于V面的最大圓上下分界圓前后分界圓左右分界圓

K動(dòng)畫(huà)演示第三章立體的投影

小結(jié)

重點(diǎn)掌握：

基本體三面投影的畫(huà)法及表面取點(diǎn)的方法。⒈平面體表面取點(diǎn)，利用平面上找點(diǎn)的方法。⒉圓柱體表面取點(diǎn)，利用投影的積聚性。⒊圓錐體表面取點(diǎn)，用輔助線法和輔助圓法。⒋球體表面取點(diǎn)，用輔助圓法。第三章立體的投影3.2截切體3.2.1截切平面立體的三視圖3.2.2截切曲面立體的三視圖第三章立體的投影截交線的概念

平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線第三章立體的投影截交線的性質(zhì)①截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面的共有點(diǎn)。②截交線一般是封閉的平面圖形。③截交線形狀取決于立體表面的形狀和截平面與立體的相對(duì)位置。

第三章立體的投影3.2.1截切平面立體的三視圖

由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為求平面與平面的交線問(wèn)題，進(jìn)而簡(jiǎn)化為求直線與平面交點(diǎn)的問(wèn)題。第三章立體的投影例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3第三章立體的投影例2求帶切口三棱錐的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy1"'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2求出截交線上的折點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；整理輪廓線。第三章立體的投影例3求立體截切后的投影2351

11

6

6

5

3

2

6Ⅴ

（5

）2

（3

）ⅣⅥⅢⅡⅠ第三章立體的投影3.2.2截切曲面立體的三視圖

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。第三章立體的投影作圖步驟：

（1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。

（2）求出截交線上的特殊點(diǎn)。

（3）根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。

（4）光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性。

（5）最后，補(bǔ)全可見(jiàn)與不可見(jiàn)部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。

特殊點(diǎn)：是指繪制曲線時(shí)有影響的各種點(diǎn)。極限位置點(diǎn)曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)。轉(zhuǎn)向輪廓點(diǎn)曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，它們是區(qū)分曲線可見(jiàn)與不可見(jiàn)部分的分界點(diǎn)。特征點(diǎn)曲線本身具有特征的點(diǎn)，如橢圓長(zhǎng)短軸上四個(gè)端點(diǎn)。結(jié)合點(diǎn)截交線由幾部分不同線段組成時(shí)結(jié)合處的點(diǎn)。第三章立體的投影1.截切圓柱圓垂直軸線矩形平行軸線橢圓傾斜軸線第三章立體的投影例求斜切圓柱的截交線8711'1"4"3"2'2"2653ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ7'8'7"8"3‘(4‘)5‘6'5"6"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；3求出若干個(gè)一般點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；5整理輪廓線。4第三章立體的投影例5求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；第三章立體的投影例6求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見(jiàn)性；整理輪廓線。第三章立體的投影2.截切圓錐θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α過(guò)錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線ααθαθαθ第三章立體的投影解題步驟例1已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)；3求出一般點(diǎn)；

光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；5整理輪廓線。第三章立體的投影例2求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點(diǎn)ⅣⅤ；光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；5整理輪廓線。11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453第三章立體的投影例3求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。11’1”2’(3’)2”3”235’(6’)5”6”65’”第三章立體的投影3.截切球平面與圓球相交,截交線為圓第三章立體的投影例1已知正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。第三章立體的投影例2求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。第三章立體的投影[例題6]想象出物體及其側(cè)面投影的形狀第三章立體的投影分析并想象出圓球穿孔后的投影第三章立體的投影3.3相貫體3.3.1利用積聚性法求相貫線3.3.2利用輔助平面法求相貫線3.3.3相貫線特殊情況第三章立體的投影相貫線的性質(zhì)

立體與立體相交在兩個(gè)立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。第三章立體的投影相貫線的性質(zhì)

3)形狀—相貫線的形狀決定于回轉(zhuǎn)體的形狀、大小以及兩回轉(zhuǎn)體之間的相對(duì)位置（一般情況下相貫線是空間曲線，特殊情況下為平面曲線或直線）。2)封閉性—由于立體的表面是封閉的，因此相貫線一般是封閉的線框。1)共有性—相貫線是兩相交回轉(zhuǎn)體表面的共有線和分界線，線上所有點(diǎn)都是兩相交回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)。是求相貫線投影的作圖依據(jù)。第三章立體的投影相貫線性質(zhì)圖例第三章立體的投影3.3.1利用積聚性法求相貫線

當(dāng)相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時(shí)，相貫線的一個(gè)投影必積聚在這個(gè)投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點(diǎn)的方法求出,這種求作相貫線的方法又稱為表面取點(diǎn)法。第三章立體的投影例1已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac分析求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)判別可見(jiàn)性完成相貫線第三章立體的投影

首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小和相對(duì)位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個(gè)投影有積聚性。根據(jù)兩立體的相對(duì)位置分析相貫線的對(duì)稱情況分析相貫線哪個(gè)投影是已知的，哪個(gè)投影是要求作的。分析第三章立體的投影求特殊點(diǎn)

確定相貫線投影范圍和變化趨勢(shì)的點(diǎn)稱為特殊點(diǎn)包括：

相貫線極限位置點(diǎn)最左、最右、最前、最后、最高、最低各點(diǎn)；

曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)兩曲面立體上下、左右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個(gè)點(diǎn)。第三章立體的投影求相貫線的一般步驟

（1）分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對(duì)大小和相對(duì)位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況分析兩曲面立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性。分析相貫線哪個(gè)投影已知的，哪個(gè)投影是要求作的。

（2）求特殊點(diǎn)相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。

（３）求一般點(diǎn)根據(jù)需要求出若干個(gè)一般點(diǎn)。

（4）判別可見(jiàn)性當(dāng)相貫線上的點(diǎn)同時(shí)處于兩立體表面的可見(jiàn)部分時(shí)這些點(diǎn)才可見(jiàn)，否則不可見(jiàn)。

（５）完成相貫線順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。補(bǔ)全可見(jiàn)與不可見(jiàn)部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。第三章立體的投影圓柱表面交線的三種情況

兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交第三章立體的投影兩正交圓柱相貫線的變化趨勢(shì)（一）第三章立體的投影兩正交圓柱相貫線的變化趨勢(shì)（二）第三章立體的投影例2求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。

a“(b“)a'b'c“c'abcdd"d'e“(f“)efe'f'ghyyg“(h“)g'h'第三章立體的投影3.3.2利用輔助平面法求相貫線

假想用一個(gè)平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點(diǎn)就是兩立體表面與輔助平面三者的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)。這個(gè)假想的平面是輔助平面。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點(diǎn)的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。

第三章立體的投影選擇輔助平面的原則：

(1)所選輔助平面與兩曲面立體表面的輔助截交線的投影應(yīng)是簡(jiǎn)單易畫(huà)的直線或圓。常選用特殊位置平面作為輔助面。

(2)輔助平面應(yīng)位于兩曲面立體的共有區(qū)域內(nèi)，否則得不到共有點(diǎn)。第三章立體的投影yyPW