八年級數(shù)學幾何重難點知識及數(shù)學方法：專題12 全等三角形幾何模型（解析版）

專題12全等三角形幾何模型典例解析【知識點1：角平分線模型】例題1．（2021·四川省榮縣）在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖1中，若C是∠MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定(SAS)，容易構(gòu)造出全等三角形OBC和OAC，參考上面的方法，解答下列問題，如圖2，在非等邊ABC中，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，且AD、CE交于點F．（1）求∠AFC的度數(shù)；（2）求證：AC=AE+CD．【答案】（1）120°；（2）見解析.【解析】解：（1）如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG．∵AD是∠BAC的平分線，CE是∠BCA的平分線，∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠B=60°∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=60°，∴∠AFC=180°-60°=120°；（2）∵∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD，∴CG=CD，∴AC=AG+CG=AE+CD．例題2．（2021·安徽蚌埠期中）我國古代數(shù)學家劉微將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，四邊形CDEF為正方形，△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE．（1）求∠AEB的度數(shù)；（2）設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，求正方形CDEF的邊長．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）135°；（2）．【解析】解：（1）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，∴∠GBE=∠FBE，∠GAE=∠DAE，∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，即∠GBE+∠GAE=45°，∴∠AEB=180°-(∠GBE+∠GAE)=135°；（2）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，∴BF=BG，AD=AG，設(shè)正方形CDEF的邊長為x，∴AD=AG=b-x，BF=BG=a-x，∵AG+BG=c，∴b-x+a-x=c，∴x=，即正方形CDEF的邊長為．【知識點2：等腰手拉手模型】例題3．（2021·湖北仙桃市）如圖1，CA＝CB，CD＝CE，，AD、BE交于點H，連CH．（1）∠AHE＝______________．（用表示）（2）如圖2，連接CH，求證：CH平分∠AHE；（3）如圖3，若，P，Q分別是AD，BE的中點，連接CP，PQ，CQ．請判斷三角形PQC的形狀，并證明．【答案】（1）180°－α；（2）見解析；（3）等邊三角形．【解析】解：（1）設(shè)BC與AD相交于點F，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵AC=BC，CD=CE∴△ACD≌△BCE∴∠CAD=∠CBE∵∠AFC=∠BFD∴∠AHB=∠ACB=α∴∠AHE=180°－α故答案為：180°－α；（2）如圖所示：過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，S△ACD=S△BCE∴AD·CM=BE·CN∴CM=CN∴CH平分∠AHE；（3）△CPQ為等邊三角形，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠PAC=∠QBC，∵P、Q為AD、BE中點，∴AP=BQ，∵AC=BC∴△APC≌△BQC∴PC=QC，∠PCA=∠QCB，∴∠PCQ=∠ACB=60°，∴△CQP為等邊三角形．例題4．（2021·廣東南沙期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．寫出∠BAD，∠BAC和∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，點D、點E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分∠BME．（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由見解析；（2）見解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由見解析.【解析】（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由如下：∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；（2）證明：過點A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AG＝AH，∵AG⊥DM，AH⊥EM，∴AM平分∠BME．（3）∠B+∠C＝180°，理由如下：延長DC至點P，使DP＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△ADP為等邊三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAP，在△BAD和△CAP中，，∴△BAD≌△CAP（SAS），∴∠B＝∠ACP，∵∠ACD+∠ACP＝180°，∴∠B+∠ACD＝180°．【知識點3：等邊手拉手模型】例題5．（2021·河北灤州期中）已知：如圖①，點D是等邊中BC邊上一點，以AD為一邊作等邊，連接CE．圖1圖2（1）求證：．（2）直接寫出圖①中的度數(shù)______．（3）如圖②，，，．若，試著探究和之間的關(guān)系．（簡要說明理由）【答案】（1）見解析；（2）120°；（3）α+β=180°，見解析.【解析】解：（1）證明：∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．∵BC=BD+CD=CD+CE，∴AC=CD+CE．（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°，故答案為：120°；（3）同（1）可證：△ABD≌△ACE，∴∠ECA=∠B，∴∠BAC+∠B+∠ACB=∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°∴α+β=180°．例題6．（2021·湖北十堰期中）在△ABC中，圖1圖2（1）如圖1，BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB＝50，BC＝60.請補全圖形，并直接寫出△ABP與△BPC面積的比值；（2）如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和ACE，CD與BE相交于點O，求證：BE＝CD；（3）在（2）的條件下判斷∠AOD與∠AOE的數(shù)量關(guān)系．（不需證明）【答案】（1）；（2）見解析；（3）∠AOD＝∠AOE.【解析】解：（1）如圖1，作PN⊥BC于N，又∵BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，∴PM＝PN，∴S△ABP：S△BPC＝（AB?PM）：（BC?PN）＝AB：BC，∵AB＝50，BC＝60，∴△ABP與△BPC面積的比值為；（2）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；（3）∠AOD＝∠AOE．理由：過點A作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，由（2）可得，△DAC≌△BAE，DC＝BE，∴S△DAC＝S△BAE，即×CD×AM＝×BE×AN，∴AM＝AN，即點A在∠DOE的角平分線上，∴∠AOD＝∠AOE．【知識點4：半角模型】例題7．（2021·廣東南沙期末）如圖，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，則下列結(jié)論正確的是：_____．（填序號）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④.【解析】解：作C關(guān)于BD的對稱點F，連接AF，BF，則BF＝BC，A、F、C共線.過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，∵∠DBC＝∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正確；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正確；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③錯誤；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正確；故答案為：①②④．例題8．（2021·湖北監(jiān)利市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于點F，連結(jié)CF．（1）如圖1所示，當EF＝BE+CF，求證∠EAF＝∠BAC；（2）如圖2所示，∠EAF＝∠BAC，求證：CF＝BF+2BE．【答案】見解析.【解析】解：（1）在EF上截取EH=BE，連接AH，∵EB=EH，AE⊥BF，∴AB=AH，∵AB=AH，AE⊥BH，∴∠BAE=∠EAH，∵AB=AC，∴AC=AH，∵EF=EH+HF=BE+CF，∴CF=HF，在△ACF和△AHF中，，∴△ACF≌△AHF（SSS），∴∠CAF=∠HAF，∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH=∠EAF，即∠EAF=∠BAC；（2）在BE的延長線上截取EN=BE，連接AN，∵AE⊥BF，BE=EN，AB=AC，∴AN=AB=AC，∵AN=AB，AE⊥BN，∴∠BAE=∠NAE，∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠NAE=（∠BAC+2∠NAE）∴∠FAN=∠CAN，∴∠FAN=∠CAF，在△ACF和△ANF中，，∴△ACF≌△ANF（SAS），∴CF=NF，∴CF=BF+2BE．【知識點5：一線三等角模型】例題9．（2021·湖北咸豐期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為A（0，6），點B的坐標為B（8，0），點P從點A出發(fā)，沿折線A→O→B以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，沿折線B→O→A以每秒3個單位長度的速度向終點A運動．P，Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時另一點也停止運動．直線l經(jīng)過原點O，分別過P，Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于點F，設(shè)點P的運動時間為t（秒）：（1）當P，Q兩點相遇時，求t的值；（2）在整個運動過程中，用含t的式子表示Q點的坐標；（3）在整個運動過程中，以O(shè)，P，E為頂點的三角形與以O(shè)，Q，F(xiàn)為頂點的三角形能否全等？若能全等，請求出Q點的坐標，若不能全等，請說明理由．【答案】（1）秒；（2）Q（8-3t，0）或Q（0，3t-8）；（3）（5，0）或（0，）【解析】解：（1）∵點A的坐標為A（0，6），點B的坐標為B（8，0），∴OA=6，OB=8，根據(jù)題意得：t+3t=8+6，解得：t=（2）∵點Q可能在線段OB上，也可能在線段OA上．∴①當點Q在線段OB上時：Q（8-3t，0）；②當點Q在線段OA上時：Q（0，3t-8）；綜上，Q點的坐標為（8-3t，0）或（0，3t-8）；（3）①當點Q在OB上，點P在OA上，∵∠PEO＝∠QFO＝90°，∴∠POE＋∠QOF＝90°，∠OQF＋∠QOF＝90°，∴∠POE＝∠OQF，∴△POE≌△OQF，∴PO＝QO，即：6-t=8-3t，解得：t=1；②當點Q在OA上，點P也在OA上，∵∠PEO＝∠QFO＝90°，∠POE＝∠QOF（公共角），即P，Q重合時，△POE≌△QOF，∴PO＝QO，即：6-t=3t-8，解得：t=；當t＝1時，點Q在x軸上，坐標為（5，0）；當t＝時，點Q在y軸上，坐標為（0，）.【知識點6：對角互補模型】例題10．（2021·山東德州期中）已知∠MAN，AC平分∠MAN，D為AM上一點，B為AN上一點．（1）如圖①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）如圖②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

【答案】見解析.【解析】解：（1）證明：∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，在Rt△ACD和Rt△ACB中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，∴AC＝2AB，∴AD+AB＝AC；（2）成立，過C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DCB＝60°，∵∠FCE＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠FCE＝∠BCD，∵∠FCD+∠DCE＝∠FCE，∠BCE+∠DCE＝∠BCD，∴∠FCD＝∠BCE，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE，（ASA）∴BE＝DF，∴AD+AB＝AD+AE+BE＝AD+DF+AE＝AE+AF，∵AC＝AE+AF，∴AD+AB＝AC．【知識點7：中點模型】例題11．（2021·安徽蚌埠期中）如圖1，AM為△ABC的BC邊的中線，點P為AM上一點，連接PB．（1）若P為線段AM的中點．①設(shè)△ABP的面積為S1，△ABC的面積為S，求的值；②已知AB＝5，AC＝3，設(shè)AP＝x，求