第15章 市場風險：模型構建法

RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012

第15章市場風險：模型構建法1RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012模型構建法除了歷史模擬法之外，另外還有一種計算市場風險的方法，這種方法被稱為模型構建法或方差協(xié)方差法。在這一方法中，我們需要對市場變量的聯(lián)合分布做出一定的假設，并采用歷史數(shù)據(jù)來估計模型中的參數(shù)。2RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子假定交易組合只包含價值為1000萬美元的微軟公司股票假定微軟公司股票的波動率為每天2%(對應于年波動率32%)我們尋求交易組合在10天展望期內99%的置信水平下的VaR3RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子（續(xù)）交易組合每天價值變化的標準差為1000萬美元的2%，即200000美元10天所對應的回報標準差為4RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子（續(xù)）我們往往需要假定在展望期上，市場價格變化的期望值為0（這一假設雖然不是絕對正確，但無論如何是一個合理假設，市場變量在一個較小區(qū)間內價格變化的期望值相對較?。┘俣▋r格的變化服從正態(tài)分布由于

N(–2.33)=0.01,可得VaR為

5RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012AT&T例子接下來我們考慮價值為500萬美元的AT&T的股票投資。假定AT&T股票的波動率為每天1%(對應于年波動率16%)10天價格變化的標準差為VaR為6RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合考慮由價值1000萬美元微軟股票及價值為500萬美元的AT&T股票的交易組合分布中的相關系數(shù)為0.37RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合的標準差由兩種股票所組成的交易組合的標準差為這種情況下

sX=200,000，sY

=50,000以及r=0.3.所以，由兩種股票所組成的交易組合的標準差為220,2278RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合的VaR交易組合的展望期為10，置信度為99%VaR為

風險分散的收益為(1,473,621+368,405)–1,622,657=$219,3699RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型我們假定投資組合每天的價值變化是由市場變量每天收益的線性組合市場變量的價格變化服從正態(tài)分布10Markowitz結論在投資組合價格變化的方差上的應用RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201211RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012投資組合價值的方差

12si

是第

i項資產的每天的波動率sP是投資組合價值的每天的波動率ai

=wiP

投資在第i

資產上的數(shù)量

方差-協(xié)方差矩陣(vari=covii)RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201213sP2的另一種表述RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201214涉及4個投資的例子

RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201215等權重EWMA:l=0.941天99%VaR$217,757$471,025在2008年9月方差和相關系數(shù)均有所上升RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201216DJIAFTSECACNikkei等權重1.111.421.401.38EWMA2.193.213.091.59相關系數(shù)波動率

(%每天)RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012對于利率變量的處理久期法:DP

與

Dy

之間的線性關系，但是假設利率曲線平行移動現(xiàn)金流映射:變量是10個不同期限零息債券主成分分析法:2或3獨立的移動17RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012對于利率變量的處理:現(xiàn)金流映射我們往往將以下期限的零息債券的價格作為市場的初始變量(1月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年及30年)假定6個月6.0%的利率及1年7.0%的利率，在0.8年數(shù)量為1050000美元的現(xiàn)金流.6個月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率18RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）將6個月6%的利率及1年7%

的利率，進行插值來求得0.8年利率6.6%$1050000,0.8年現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值為19RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）對6個月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率也進行插值來求得0.8年波動率，即0.16%假定，我們映射到6個月期限的現(xiàn)金流的價值占整體現(xiàn)值的比率為a因此，映射到1年期限現(xiàn)金流的價值占整體現(xiàn)值的比率為

(1-a)20RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）假定6個月期和1年期的債券的相關系數(shù)為0.6進行方差匹配求得a=0.07421RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）

因此，0.8年價值為997662美元的零息債券被價值為

的6個月期零息債券及價值為

的一年期零息債券的組合代替.

這里的現(xiàn)金流映射的優(yōu)點是現(xiàn)金流的價值及方差都沒有改變22RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型的應用股票債券匯率遠期合約利率互換23RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型與期權產品

假設一個期權的交易組合只依賴于單一股票價格,S.定義

以及24RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型與期權產品（續(xù)）我們有以下近似式類似，當交易組合包含幾種不同基礎資產的期權時

其中di

是投資組合中第i個資產的delta25RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例假定一交易組合是由基礎資產微軟股票及AT&T

股票的期權所組成，微軟期權的delta為1000，AT&T期權的deltas為20000，微軟股票的價格為120，AT&T股票的價格為30。我們得出以下近似式

其中Dx1

和Dx2分別為微軟及AT&T股票的日收益率26RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012但是一個期權的日收益率分布不是一個正態(tài)

線性模型無法獲取投資組合價值的概率分布的峰度。27Gamma的影響RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201228

正Gamma負Gamma具有正態(tài)分布的基礎資產的概率分布與長頭寸期權的概率分布的對應關系RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201229LongCallAssetPrice具有正態(tài)分布的基礎資產的概率分布與期權空頭的概率分布的對應關系RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201230ShortCallAssetPriceRiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012二次模型

對于依賴于單一資產價格的投資組合，由泰勒展開我們得出

由此得出

假設Dx服從正態(tài)分布，我們可以得出下列矩31二次模型（續(xù)）RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201232但當Dxi是多元正態(tài)分布，且n不是很大時，利用該式我們可以估計么DP矩。統(tǒng)計學中Cornish–Fisher展開由分布的矩入手，對概率分布的分位數(shù)進行估計然而，當市場變量的個數(shù)很大時，這個模型將不再可行RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012蒙特卡羅模擬我們可以在實施模型構建法時采用蒙特卡羅模擬法利用當前的市場變量對交易組合進行定價從Dxi服從的多元正態(tài)分布中進行一次抽樣由Dxi的抽樣計算出在交易日末的市場變量利用新產生的市場變量來對交易組合重新定價33RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012蒙特卡羅模擬

(續(xù))計算

DP重復很多次，我們可以計算出么DP的概率分布DP的概率分布中的某個分位數(shù)就是我們要求的VaR例如，假