湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十高級中學高三數(shù)學文期末試題含解析

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十高級中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量與的夾角為60，時，實數(shù)x為（）A．4 B．2 C．l D．參考答案：B【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，求得實數(shù)x的值．【解答】解：∵向量與的夾角為60°，時，∴﹣x?=4?1?cos60°﹣x=0，求得x=2，故選：B．2.（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的對邊，若a，b，c成等比數(shù)列，A=60°，=（）A．B．1C．D．參考答案：D【考點】：正弦定理；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題．【分析】：a，b，c成等比數(shù)列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比數(shù)列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故選D【點評】：本題主要考查了利用正弦定理進行解三角形，屬于基礎(chǔ)試題，難度不大．3.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）．

．

．

．參考答案：A由三視圖知，原幾何體為一個正方體挖掉一個正四棱錐其中正方體的棱為2，正四棱錐的底面邊長為正方體的上底面，高為1.∴原幾何體的體積為,選A.4.已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且，則有(

)（A）

（B）（C） （D）參考答案：

C略5.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為A. B.1 C.

D.

參考答案：D由題意知的周長為，面積為，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，其半徑為.故選D.6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(

)A.(2,+∞)

B.(3,+∞)

C.(－∞,2)

D.(－∞,1)參考答案：D7.若函數(shù)在x=x0處有最小值，則xo=（

）

A．1+

B．1+

C．4

D．3參考答案：【知識點】基本不等式E6D解析：因為，當且僅當，x=3時等號成立，所以選D.【思路點撥】結(jié)合基本不等式的適用條件，先湊出定值，再判斷取得最值的條件即可.8.當變量滿足約束條件的最大值為8，則實數(shù)的值是（

）

A．-4

B．-3

C．-2

D．-1參考答案：A略9.已知是兩個不同的平面，下列四個條件中能推出的是（

）①在一條直線,

③存在兩條平行直線；②存在一個平面；

④存在兩條異面直線.A.①③

B.②④

C.①④

D.②③參考答案：C10.在區(qū)間上隨機地取一個數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，.當，時，函數(shù)的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，則________．參考答案：【知識點】數(shù)列求和D4【答案解析】易知：當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以，由此類推：，所以，所以，所以【思路點撥】根據(jù)所給函數(shù)求出通項，然后利用裂項求和求出結(jié)果。12.已知向量，若且方向相反，則

．參考答案：－5

13.已知函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣2））=

．參考答案：0考點：函數(shù)的值．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：由分段函數(shù)f（x）=，由內(nèi)向外依次求函數(shù)值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案為：0．點評：本題考查了分段函數(shù)的應用，由內(nèi)向外依次求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．14.某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取—個容量為的樣本，已知從女生中抽取的人數(shù)為80，則等于

·參考答案：19215.若在由正整數(shù)構(gòu)成的無窮數(shù)列中，對任意的正整數(shù)，都有，且對任意的正整數(shù)，該數(shù)列中恰有個，則=

.參考答案：4516.（1+2x2）（x﹣）8的展開式中常數(shù)項為．參考答案：﹣42【考點】二項式定理的應用．【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項及含x﹣2的項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0，﹣2求出常數(shù)項及含x﹣2的項，進而相加可得答案．【解答】解：先求的展開式中常數(shù)項以及含x﹣2的項；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展開式中常數(shù)項為C84，含x﹣2的項為C85（﹣1）5x﹣2∴的展開式中常數(shù)項為C84﹣2C85=﹣42故答案為﹣4217.已知函數(shù)的最小正周期為，則（A）函數(shù)的圖象關(guān)于點（）對稱（B）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（C）函數(shù)的圖象向右平移個單位后，圖象關(guān)于原點對稱（D）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，的角平分線的延長線交它的外接圓于點（Ⅰ）證明：∽△;（Ⅱ）若的面積，求的大小.參考答案：證明：（Ⅰ）由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°.略19.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．（1）求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值；（2）點E在側(cè)棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值為，求的值．參考答案：【考點】MI：直線與平面所成的角；MR：用空間向量求平面間的夾角．【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根據(jù)二面角與平面法向量之間的關(guān)系進行求解即可．【解答】解：（1）以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系D﹣xyz．設AB=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．（1）設AD1與面BB1D1D所成角的大小為θ，，設平面BB1D1D的法向量為=（x，y，z），，，則=0，，即x+y=0，z=0．令x=1，則y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），sinθ=|cos＜＞|==，所以AD1與平面BB1D1D所成角的正弦值為．（2）設E（1，0，λ），0≤λ≤2．設平面EBD的法向量為=（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量為=（x2，y2，z2），，由，=0，得x1+y1=0，x1+λz1=0，令z1=1，則x1=﹣λ，y1=λ，n1=（﹣λ，λ，1），，由，，得x2+y2=0，y2+2z2=0，令z2=1，則x2=2，y2=﹣2，n2=（2，﹣2，1），cos＜＞==，所以，得λ=1．所以．20.已知函數(shù)（a＞0）．（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（2），f′（2）的值，代入切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅲ）問題等價于在[1，+∞）上恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）當

a=1時，，…（2分），…（3分）所以，函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函數(shù)的定義域為：{x|x≠0}…（1分）…（2分）當0＜a≤2時，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增當a＞2時，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．…（4分）（Ⅲ）因為f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，則．令g′（x）=0，則…（2分）若，即a=1時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；

…（3分）若，即a＜1時，當時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值為，因為g（1）=0，所以不合題意．…（4分），即a＞1時，當時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）又因為g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立綜上知，a的取值范圍是[1，+∞）．…【點評】本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．21.設函數(shù)(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍.甘肅省天水市秦參考答案：略22.（12分）（2012?射洪縣校級模擬）設函數(shù)f（x）=，其中向量．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面積為，求△ABC外接圓半徑R．參考答案：考點： 正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦定理．

專題： 計算題；綜合題．分析： （1）直接把向量代入函數(shù)f（x）=，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；利用周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期．（2）已知f（A）=2，求出A的值，通過b=1，△