綜合法和分析法

直接證明與間接證明綜合法和分析法1.了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法.2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)，會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題.綜合法和分析法綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法框圖表示eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)（P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論）eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個(gè)明顯（Q表示要證明的結(jié)論）特點(diǎn)順推證法或由因?qū)Ч嫱谱C法或執(zhí)果索因法eq\a\vs4\al()1.綜合法的特點(diǎn)綜合法的特點(diǎn)是從“已知”看“未知”，逐步推理，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的必要條件.2.綜合法的書寫格式從已知條件出發(fā)，順著推證，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式，它的常見書面表達(dá)是“因?yàn)?，所以”或?”.3.分析法的特點(diǎn)（1）分析法的特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的過程，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件.（2）分析法從命題的結(jié)論入手，尋求結(jié)論成立的條件，直至歸結(jié)為已知條件、定義、公理、定理等.4.用分析法書寫證明過程時(shí)的格式“要證……，只需證……，只需證……，……由于……顯然成立（已知，已證…），所以原結(jié)論成立.”其中的關(guān)聯(lián)詞語不能省略.判斷正誤（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法.（）（2）分析法就是從結(jié)論推向已知.（）（3）分析法與綜合法證明同一個(gè)問題時(shí)，一般思路恰好相反，過程相逆.（）答案：（1）×（2）×（3）√下面對(duì)命題“函數(shù)f（x）＝x＋eq\f(1,x)是奇函數(shù)”的證明不是用綜合法的是（）A.?x∈R且x≠0有f（－x）＝（－x）＋eq\f(1,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù)B.?x∈R且x≠0有f（x）＋f（－x）＝x＋eq\f(1,x)＋（－x）＋eq\f(1,－x)＝0，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）是奇函數(shù)C.?x∈R且x≠0，因?yàn)閒（x）≠0，所以eq\f(f（－x）,f（x）)＝eq\f(－x－\f(1,x),x＋\f(1,x))＝－1，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù)D.取x＝－1，則f（－1）＝－1＋eq\f(1,－1)＝－2，又f（1）＝1＋eq\f(1,1)＝2，則f（－1）＝－f（1），所以f（x）是奇函數(shù)解析：選，B，C選項(xiàng)中的證明過程都是“由因?qū)Ч?，因此是綜合法，而選項(xiàng)D是特值法驗(yàn)證，并不能證明命題.用分析法證明：要證①A>B，只需證②C<D，這里①是②的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B.分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即②是①的充分條件，所以①是②的必要條件.欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需證（）A.（eq\r(2)＋eq\r(7)）2<（eq\r(3)＋eq\r(6)）2B.（eq\r(2)－eq\r(6)）2<（eq\r(3)－eq\r(7)）2C.（eq\r(2)－eq\r(3)）2<（eq\r(6)－eq\r(7)）2D.（eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6)）2<（－eq\r(7)）2解析：選A.欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需證eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)，只需證（eq\r(2)＋eq\r(7)）2<（eq\r(3)＋eq\r(6)）2.探究點(diǎn)1綜合法的應(yīng)用已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）>6abc.【證明】因?yàn)閍，b，c是正數(shù)，所以b2＋c2≥2bc，所以a（b2＋c2）≥2abc.①同理，b（c2＋a2）≥2abc，②c（a2＋b2）≥2abc.③因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同時(shí)取到“＝”.所以①②③式相加得a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）>6abc.eq\a\vs4\al()綜合法證明問題的步驟1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1）求證：DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC.證明：（1）因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.（2）因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.2.求證：sin（2α＋β）＝sinβ＋2sinαcos（α＋β）.證明：因?yàn)閟in（2α＋β）－2sinαcos（α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]－2sinαcos（α＋β）＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα－2sinαcos（α＋β）＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝sin[（α＋β）－α]＝sinβ.所以原命題成立.探究點(diǎn)2分析法的應(yīng)用已知△ABC三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B為銳角.【證明】要證B為銳角，根據(jù)余弦定理，只需證明cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＞0，即證a2＋c2－b2＞0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要證a2＋c2－b2＞0，只需證2ac－b2＞0.因?yàn)閍，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，即2ac＝b（a＋c）.要證2ac－b2＞0，只需證b（a＋c）－b2＞0，即b（a＋c－b）＞0，上述不等式顯然成立，所以B為銳角.eq\a\vs4\al()分析法證明數(shù)學(xué)問題的方法1.當(dāng)a＋b>0時(shí)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)（a＋b）.證明：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)（a＋b），只需證（eq\r(a2＋b2)）2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)（a＋b）))eq\s\up12(2)，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)（a2＋b2＋2ab），即證a2＋b2≥2ab.因?yàn)閍2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)（a＋b）成立.2.已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2).證明：a⊥b?a·b＝0，要證eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2)，只需證|a|＋|b|≤eq\r(2)|a＋b|，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2（a2＋2a·b＋b2），只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即證（|a|－|b|）2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證.探究點(diǎn)3分析—綜合法的應(yīng)用△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對(duì)邊分別為a，b，c.求證：（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.【證明】法一：要證（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1，即證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即證eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.只需證c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），只需證c2＋a2＝ac＋b2.因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，此式即分析中欲證之等式，所以原式得證.法二：因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，兩邊同時(shí)加ab＋bc，得c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），兩邊同時(shí)除以（a＋b）（b＋c），得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋1))＝3，所以eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.eq\a\vs4\al()分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法，分析法是倒溯，綜合法是順推，分析法容易探路，綜合法條理清晰，易于表達(dá)，但思路不太好想，因此在選擇證明方法時(shí)，一定要有“綜合性選取”意識(shí)，明確數(shù)學(xué)證明方法不是孤立的，應(yīng)當(dāng)善于將兩種不同的證明方法結(jié)合在一起運(yùn)用.1.設(shè)a，b∈（0，＋∞），且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2.證明：法一：（分析法）要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需證（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）成立.又因a＋b＞0，故只需證a2－ab＋b2＞ab成立，即需證a2－2ab＋b2＞0成立，即需證（a－b）2＞0成立.而依題設(shè)a≠b，則（a－b）2＞0顯然成立.由此不等式得證.法二：（綜合法）a≠b?a－b≠0?（a－b）2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＋b＞0，所以（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）.所以a3＋b3＞a2b＋ab2.2.在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，插入兩數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1）.證明：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))所以x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，從而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要證（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1），只需證a＋1≥eq\r(（b＋1）（c＋1）)成立.只需證a＋1≥eq\f(（b＋1）＋（c＋1）,2)即可.也就是證2a≥b＋c.而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，則只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成立即可，即證b3＋c3＝（b＋c）（b2－bc＋c2）≥（b＋c）bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證（b－c）2≥0成立，上式顯然成立，所以（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1）.——————————————————————————————————————1.如圖所示是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖，則在此流程圖中，①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方式匹配正確的是（）A.①綜合法，②分析法B.①分析法，②綜合法C.①綜合法，②反證法D.①分析法，②反證法解析：選A.由已知到可知，進(jìn)而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法；由未知到需知，進(jìn)而找到與已知的關(guān)系為分析法，故①②兩條流程線對(duì)應(yīng)的思維方式分別為綜合法、分析法.2.命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明過程為：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其應(yīng)用了（）A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用 D.類比法解析：選B.從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路.3.設(shè)a，b，c成等比數(shù)列，而x，y分別是a，b和b，c的等差中項(xiàng)，求證：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.證明：由題知c＝eq\f(b2,a)，x＝eq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(b＋c,2)，則eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(a,\f(a＋b,2))＋eq\f(c,\f(b＋c,2))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝e