第5單元-數(shù)列（270張PPT）

新課標·人教A版安徽省專用第28講數(shù)列的概念與簡單表示法第29講等差數(shù)列及其前n項和第30講等比數(shù)列及其前n項和第31講數(shù)列求和第32講數(shù)列的綜合問題目錄第五單元數(shù)列返回目錄

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一、等差與等比數(shù)列1．函數(shù)背景——數(shù)列可以看成定義域為N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函數(shù)．

2．判斷與證明——判斷或證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的最基本的方法是根據等差(等比)數(shù)列的定義．

3．數(shù)列基本量——等差與等比數(shù)列的五個基本量a1，d(或q)，n，an，Sn，知三可求二．

4．性質的應用——解決等差(等比)數(shù)列問題，若恰當應用性質，可減少運算量．

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二、數(shù)列的應用1．數(shù)列求和——除了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和外，還會涉及裂項相消求和、錯位相減求和等方法．

2．適度交匯——數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，應用函數(shù)與方程思想，構造輔助函數(shù)解決數(shù)列中的不等式恒成立問題等.

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1．編寫意圖

課標與大綱相比，對數(shù)列內容的要求變化不大，即主干知識基本不變，最大的變化是《課標》突出了數(shù)列與函數(shù)的內在聯(lián)系，刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題，注重應用，關注學生對數(shù)列模型的本質的理解，因此，近幾年課標區(qū)高考對數(shù)列考查的難度降低，在編寫本單元時注意到了如下的幾個方面：使用建議返回目錄

(1)注重雙基：降低難度，強化對等差、等比數(shù)列的定義、性質、通項公式與前n項和等基礎知識和通性通法的訓練，注重應用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質，應用性質解題，往往可以回避求首項和公差或公比，使問題得到整體解決，能夠減少運算量，使學生通過本單元的復習能夠熟練運用數(shù)列的基本知識和基本方法解決問題．

(2)淡化遞推數(shù)列：新課標降低了對遞推數(shù)列的要求，只要求根據數(shù)列的首項和遞推公式寫出它的前幾項，并歸納出通項公式；課標考試說明雖然未提及遞推數(shù)列，但近兩年也進行了適當?shù)目疾椋n標區(qū)高考對遞推數(shù)列的考查難度相對降低，因此，把簡單的遞推數(shù)列問題在各講中適當呈現(xiàn)，但嚴格控制難度．使用建議返回目錄

(3)強化數(shù)列求和：數(shù)列求和在高考的數(shù)列的解答題中占有突出位置，除了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和外，還會涉及裂項求和、錯位相減求和等求和方法，在本單元的編寫中專門設置一講重點復習數(shù)列求和．(4)適度交匯：考慮到高考對數(shù)列的考查具有交匯性的特點，編寫中適度加入了數(shù)列和函數(shù)、數(shù)列和不等式的交匯等題目；滲透數(shù)列推理題(開放性、探索性試題)、新定義題的復習；等差數(shù)列和等比數(shù)列的實際應用是考試說明明確要求的，在第31講設置了探究點數(shù)列在實際問題中的應用．使用建議返回目錄

2．教學建議數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容，又是學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要的地位．高考對數(shù)列的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏，根據近幾年課標區(qū)高考對數(shù)列的考查要求，在指導學生復習該單元時要注意如下兩點：使用建議返回目錄

(1)重視基礎知識、基本方法的復習，加強基本技能的訓練．數(shù)列中的基礎知識就是數(shù)列的概念、等差數(shù)列(概念、等差中項、通項、前n項和)、等比數(shù)列(概念、等比中項、通項、前n項和)；基本方法主要有基本量方法、錯位相減求和法、裂項求和法、等價轉化法等；基本技能主要是運算求解的技能、推理論證的技能等，在復習中要把這些放在突出的位置．使用建議返回目錄

(2)突出數(shù)學思想方法在解題中的指導作用．數(shù)列是特殊的函數(shù)，深刻領會函數(shù)思想和方程思想，這是解決數(shù)列問題的關鍵；數(shù)列問題中蘊含著極為豐富的數(shù)學思想方法，如由前n項和求數(shù)列通項、等比數(shù)列求和的分類整合思想，數(shù)列問題可以通過函數(shù)方法求解的函數(shù)思想，等差數(shù)列和等比數(shù)列問題中求解基本量的方程思想，把一般的數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的等價轉化思想等，要引導學生通過具體題目的解答體會數(shù)列問題中的數(shù)學思想方法，并逐步會用數(shù)學思想指導解題．使用建議返回目錄

3．課時安排本單元共5講，每講1個課時；一個45分鐘滾動測試1個課時，一個單元能力檢測卷，1個課時建議7課時完成復習任務.使用建議第28講數(shù)列的概念與簡單表示法雙向固基礎點面講考向多元提能力教師備用題返回目錄返回目錄

1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．

2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．考試大綱第28講數(shù)列的概念與簡單表示法——知識梳理——一、數(shù)列的概念1．數(shù)列的定義：按照________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的________．2．數(shù)列與函數(shù)的關系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為________的函數(shù)_______________．當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．3．數(shù)列有三種表示法，它們分別是________、________和_____________．返回目錄雙向固基礎項定義域一定順序

an＝f(n)列表法通項公式法圖象法第28講數(shù)列的概念與簡單表示法二、數(shù)列的分類返回目錄雙向固基礎

項數(shù)有限小于

分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列_____________無窮數(shù)列____________按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列____________其中n∈N*遞減數(shù)列____________常數(shù)列_____________有界數(shù)列存在正數(shù)M，使____________擺動數(shù)列從第二項起，有些項________它的前一項，有些項________它的前一項項數(shù)無限

an＋1≥an

an＋1≤an

an＋1＝an

大于an≤M

第28講數(shù)列的概念與簡單表示法三、數(shù)列的兩種常用的表示方法1．通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與________之間的關系可以用一個式子________來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．2．遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．

返回目錄雙向固基礎序號n

an＝f(n)

——

疑難辨析——

返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄雙向固基礎第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題，示例均選自2008年～2012年安徽卷．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法考點統(tǒng)計題型(考頻)題型示例(難度)1.根據數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式02.由遞推關系式求通項公式03.由數(shù)列的前n項和Sn求通項公式an填空(1)2008年T14(B)4.數(shù)列的函數(shù)特征0

?探究點一根據數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

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[點評]根據數(shù)列的前幾項寫通項時，常用方法是觀察法，觀察數(shù)列的特征，找出各項共同的規(guī)律，觀察時要注意以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③各項符號特征，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整并對此進行歸納、聯(lián)想．有時還需把各項變形，再觀察“各項之間的關系結構”與“各項與項數(shù)n的關系”，來確定數(shù)列的通項公式．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

歸納總結

根據所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項的聯(lián)系特征；拆項后的各部分特征；符號特征，應多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

?探究點二由遞推關系式求通項公式返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

[點評]

給出數(shù)列的遞推公式求其通項公式，常用途徑有二：一是根據遞推公式，寫出數(shù)列的前幾項，可以根據前幾項的構成，找出數(shù)列的基本規(guī)律，歸納出數(shù)列的通項公式；二是把遞推公式變形，利用迭代法、累乘法、迭加法(或累加法)，由遞推公式直接探求其通項公式，或化歸為等差或等比數(shù)列求解．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

歸納總結

數(shù)列的遞推關系是給出數(shù)列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式．②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

?探究點三由數(shù)列的前n項和Sn求通項公式an返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

[點評]

已知Sn求an，常用方法是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里易因忽略了條件n≥2而出錯，即由an＝Sn－Sn－1求得an時的n是從2開始的自然數(shù)；要驗證a1是否適合an，若適合，則統(tǒng)一用an表示，若不適合，通項公式用分段函數(shù)形式表示．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

歸納總結

給出Sn與an的遞推關系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

?探究點四數(shù)列的函數(shù)特征返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

[點評]有關數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調性來解決，判斷數(shù)列單調性的方法與判斷函數(shù)單調性一致；數(shù)列本質上也是函數(shù)，解題時應注意函數(shù)的知識與思想方法在數(shù)列中的應用，如下面變式題可借助二次函數(shù)的方法求解．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

歸納總結

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或其子集的函數(shù)，函數(shù)所具有的性質在數(shù)列中也有，可以根據研究函數(shù)性質的方法研究數(shù)列的性質；當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列，因此，在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄點面講考向第28講數(shù)列的概念與簡單表示法思想方法11化歸轉化思想在求數(shù)列通項中的應用返回目錄多元提能力第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

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[方法解讀]由遞推數(shù)列求通項公式或研究其性質的問題是高考的難點，解決這類問題的基本思路是通過對遞推式的變換，運用疊加或累乘進行項的相消(或相約)，或重新構造一個數(shù)列，將一般的數(shù)列化歸為等差、等比數(shù)列．返回目錄第28講數(shù)列的概念與簡單表示法多元提能力返回目錄多元提能力第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄多元提能力第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄多元提能力第28講數(shù)列的概念與簡單表示法【備選理由】

例1是數(shù)列最大項的判斷；例2是運用倒序相加法求和的綜合題．

返回目錄教師備用題第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄教師備用題第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄教師備用題第28講數(shù)列的概念與簡單表示法返回目錄教師備用題第28講數(shù)列的概念與簡單表示法第29講等差數(shù)列及其前n項和雙向固基礎點面講考向多元提能力教師備用題返回目錄返回目錄

1．理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式．2．能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題．3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．考試大綱第29講等差數(shù)列及其前n項和

——知識梳理——

一、等差數(shù)列的概念1．定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與______________都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母d表示，其符號語言為____________(n≥2，d為常數(shù))．2．如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的__________，其中A＝________．返回目錄雙向固基礎它的前一項的差等差中項公差

an－an－1＝d第29講等差數(shù)列及其前n項和

二、等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式1．若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差是d，則其通項公式為_________________；若等差數(shù)列{an}的第m項為am，則其第n項an可以表示為________________．2．等差數(shù)列的前n項和公式

Sn＝__________＝______________．(其中a1為首項，d為公差，an為第n項)返回目錄雙向固基礎an＝a1＋(n－1)d

an＝am＋(n－m)d

第29講等差數(shù)列及其前n項和

三、等差數(shù)列的性質已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．1．若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝________．2．等差數(shù)列{an}的單調性：當d>0時，{an}是________數(shù)列；當d<0時，{an}是______數(shù)列；當d＝0時，{an}是________．3．am，am＋k，am＋2k，…仍是等差數(shù)列，公差為______．4．數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．返回目錄雙向固基礎ap＋aq

遞增遞減常數(shù)列kd第29講等差數(shù)列及其前n項和

四、等差數(shù)列與函數(shù)的關系等差數(shù)列{an}中，a1為首項，d為公差，n為項數(shù)．1．其通項公式可寫成____________，當d≠0時，它是關于n的__________，它的圖像是直線y＝dx＋(a1－d)上橫坐標為正整數(shù)的均勻分布的一群__________；當d＝0時，an＝______，它是常數(shù)函數(shù)．2．其前n項和公式可變形為Sn＝________________，當d≠0時，它是關于n的__________，它的圖像是拋物線y＝

上橫坐標為正整數(shù)的均勻分布的一群__________．返回目錄雙向固基礎an＝dn＋a1－d

一次函數(shù)

孤立的點

a1

二次函數(shù)

孤立的點

——

疑難辨析——

返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第29講等差數(shù)列及其前n項和

說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題，示例均選自2008年～2012年安徽卷．返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和考點統(tǒng)計題型(考頻)題型示例(難度)1.等差數(shù)列判斷與證明解答(1)2010年T20(C)2.等差數(shù)列的基本運算選擇(1)2009年T5(B)3.等差數(shù)列的性質的應用填空(1)2011年T14(A)

?探究點一等差數(shù)列的判斷與證明返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

[點評]

判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，通常有兩種方法：①定義法，證明an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))；②等差中項法，證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，如下面的變式題．返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

歸納總結

等差數(shù)列的判斷方法：①定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)．②等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立．③通項公式法：驗證an＝pn＋q.④前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列，主要適合在選擇題中簡單判斷．返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

?探究點二等差數(shù)列的基本運算返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

[點評]

等差數(shù)列涉及5個基本量：a1，d，an，Sn，n，這五個基本量中已知其中的3個就一定能求出另外的2個(簡稱“知三求二”)，其中a1與d是確定等差數(shù)列的兩個最基本的量，在很多問題中要用這兩個基本量表示其他的量來解決問題；解決這類問題基本方法就是根據等差數(shù)列的通項公式、求和公式列出方程(組)，解方程(組)即得未知的量，如下面的變式題：返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

歸納總結

確定等差數(shù)列的關鍵是確定首項a1和公差d，等差數(shù)列的通項公式、前n項和的公式中聯(lián)系著五個量：a1，d，an，Sn，n.根據方程的思想，已知其中三個量，可以通過方程求出另外兩個量，方程思想在解決等差數(shù)列問題中占有重要位置．返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

?探究點三等差數(shù)列的性質的應用返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

[點評]

本例中的題目都可以根據基本量方法，通過列方程組的方法求出首項和公差，但利用等差數(shù)列的性質“若m＋n＝p＋q，則有am＋an＝ap＋aq”，可以有效地簡化計算．在一些問題中利用這個性質可以實現(xiàn)問題的等量代換，看下面的變式．返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和

歸納總結

巧妙運用等差數(shù)列的性質，可化繁為簡；若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設中間三項為a－d，a，a＋d；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依據等差數(shù)列的定義進行對稱設元．易錯與易混：等差數(shù)列的性質“若m＋n＝p＋q，則有am＋an＝ap＋aq”，應用時應注意必須是兩項相加，一般地，am＋an≠am＋n.返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第29講等差數(shù)列及其前n項和思想方法12方程思想在等差數(shù)列中的應用返回目錄多元提能力第29講等差數(shù)列及其前n項和

[分析]對第(1)問應用等差數(shù)列的通項公式，可把問題轉化為方程組的求解．第(2)小題求等差數(shù)列前n項和的最大(小)值，有兩種情況：①a1>0，d<0，則Sn有最大值；②a1<0，d>0，則Sn有最小值．解決方法有兩種：①求出所有正(負)數(shù)項，相加，即得最大(小)值；②求出前n項和Sn，則Sn是關于n的二次函數(shù)，求該二次函數(shù)的最值．返回目錄第29講等差數(shù)列及其前n項和多元提能力

返回目錄多元提能力第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄多元提能力第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄多元提能力第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄多元提能力第29講等差數(shù)列及其前n項和【備選理由】

例1以數(shù)列為背景，綜合等差數(shù)列基本量的求解、等差數(shù)列求和公式以及函數(shù)單調性等有關知識的應用；例2是等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的綜合問題．返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第29講等差數(shù)列及其前n項和第30講等比數(shù)列及其前n項和雙向固基礎點面講考向多元提能力教師備用題返回目錄返回目錄

1．理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式．

2．能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．

3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．考試大綱第30講等比數(shù)列及其前n項和——知識梳理——

一、等比數(shù)列的概念1．定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與______________都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用q(q≠0)表示，其符號語言為____________(n≥2，q為常數(shù))．2．如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的__________，其中G＝________．

返回目錄雙向固基礎等比中項公比

它的前一項的比第30講等比數(shù)列及其前n項和

二、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式1．若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為____________；若等比數(shù)列{an}的第m項為am，公比是q，則其第n項an可以表示為____________．2．等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝__________；當q≠1時，Sn＝____________＝____________．返回目錄雙向固基礎an＝a1qn－1

na1

an＝amqn－m

第30講等比數(shù)列及其前n項和

三、等比數(shù)列的性質已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和．1．若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有aman＝________．2．等比數(shù)列{an}的單調性：當q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時，數(shù)列{an}是______數(shù)列；當q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時，數(shù)列{an}是______數(shù)列；當q＝1時，數(shù)列{an}是________．返回目錄雙向固基礎apaq

遞增

常數(shù)列

遞減

第30講等比數(shù)列及其前n項和

返回目錄雙向固基礎qka1孤立的點——

疑難辨析——

返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄雙向固基礎第30講等比數(shù)列及其前n項和

說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題，示例均選自2008年～2012年安徽卷．返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和考點統(tǒng)計題型(考頻)題型示例(難度)1.等比數(shù)列的判斷與證明02.等比數(shù)列的基本運算選擇(2)解答(1)2010年T10(B)，2011年T18(B)，2012年T4(A)3.等比數(shù)列的性質及應用0

?探究點一等比數(shù)列的判斷與證明返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

[點評]

判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的基本方法有兩種，一是定義法，證明＝q(n≥2，q為常數(shù))；二是等比中項法，證明

＝an－1·an＋1.當已知條件為an與Sn的關系式時，一般是把它們轉化為an與an－1的關系式，再把這個關系式適當變形、代換，得出an與an－1的比值是一個常數(shù)即可，通過證明一個數(shù)列是等比數(shù)列往往是求已知數(shù)列通項公式的手段，看下面的變式：返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

歸納總結

等比數(shù)列的判斷方法有：①定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．②中項公式法：在數(shù)列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．③通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

?探究點二等比數(shù)列的基本運算返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和歸納總結

求解與等比數(shù)列的基本量有關的問題時，常用以下思想方法：①方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和的公式中聯(lián)系著五個量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量．②整體思想：當公比q≠1時，Sn＝(1－qn)，令＝t，則Sn＝t(1－qn)．把與qn當成一個整體求解．③分類討論思想：在應用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝

.在判斷等比數(shù)列單調性時，也必須對a1與q分類討論．返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

?探究點三等比數(shù)列的性質及應用返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

[點評]

在一個無窮等比數(shù)列中，其中任何一項都是和這項項數(shù)距離相等的兩項的等比中項，即＝am－k·am＋k(m，k為正整數(shù)，且m>k)；在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般是利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果靈活運用等比數(shù)列的性質，可減少運算量；另外，在應用等比數(shù)列前n項和公式求解時，要注意整體思想的應用，如例3(2)方法一，等比數(shù)列的項經過適當?shù)慕M合后組成的新數(shù)列也具有某種性質，在解題中要善于發(fā)現(xiàn)這些性質，如下面的變式：返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和

歸納總結

等比數(shù)列的性質可分為三類：①通項公式變形．②等比中項變形．③前n項和公式變形；根據題目的條件，發(fā)現(xiàn)具體變化特征即可找到解決問題的突破口．返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄點面講考向第30講等比數(shù)列及其前n項和思想方法13方程思想在等比數(shù)列中的應用返回目錄多元提能力第30講等比數(shù)列及其前n項和

[分析]

本題為等比數(shù)列的基本運算，解決此類問題的關鍵是應用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，化歸為方程或方程組求解．返回目錄第30講等比數(shù)列及其前n項和多元提能力

返回目錄多元提能力第30講等比數(shù)列及其前n項和

[方法解讀]關于等差數(shù)列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等比數(shù)列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量．返回目錄第30講等比數(shù)列及其前n項和多元提能力返回目錄多元提能力第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄多元提能力第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄多元提能力第30講等比數(shù)列及其前n項和【備選理由】

例1是數(shù)列與函數(shù)的關系問題的求解；例2是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，求等比數(shù)列的和應注意對公比q分類討論．返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和返回目錄教師備用題第30講等比數(shù)列及其前n項和第31講數(shù)列求和雙向固基礎點面講考向多元提能力教師備用題返回目錄返回目錄

1．掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式．2．掌握一般數(shù)列求和的幾種常見的方法．考試大綱第31講數(shù)列求和——知識梳理——

一、公式法1．直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項公式求和(1)等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝____________＝____________．(其中a1為首項，d為公差)(2)等比數(shù)列的前n項和公式當q＝1時，Sn＝______；當q≠1時，Sn＝____________＝____________．(其中a1為首項，q為公比)返回目錄雙向固基礎na1

第31講數(shù)列求和

2．一些常見數(shù)列的前n項和(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝________________；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝________________；(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝________________．返回目錄雙向固基礎

n(n＋1)n2第31講數(shù)列求和

二、幾種數(shù)列求和的常用方法1．分組求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減．2．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成__________，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．返回目錄雙向固基礎

兩項之差第31講數(shù)列求和

返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和

3．錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求和．4．倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于______________，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求和．返回目錄雙向固基礎同一個常數(shù)——

疑難辨析——

返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和返回目錄雙向固基礎第31講數(shù)列求和

說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題，示例均選自2008年～2012年安徽卷．返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和考點統(tǒng)計題型(考頻)題型示例(難度)1.分組轉化法02.裂項相消法解答(2)2010年T20(B)，2011年T18(2)(B)3.錯位相減法0

?探究點一分組轉化法求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

[點評]

數(shù)列求和，要認真觀察數(shù)列的通項公式，對通項變形，如果每一項能拆分成幾項的和，而這些項適當分組，分別構成等差數(shù)列或等比數(shù)列，或可求和的數(shù)列，分別應用公式求和，從而求得原數(shù)列的和，如下面變式題．返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

歸納總結

對于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項的結構進行合理的拆分，轉化成若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和．返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

?探究點二裂項相消法求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

[點評]

若數(shù)列{an}的通項能轉化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項相消法求和，其基本思路是變換通項，把每一項分裂為兩項，裂項的目的是產生連續(xù)可以相互抵消的項；使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項；在數(shù)列求和中變換通項常需要較高的技巧，如下面的變式：返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

歸納總結

使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

?探究點三錯位相減法求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和

歸納總結

用錯位相減法求和時，應注意兩點：一是要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；二是在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．返回目錄點面講考向第31講數(shù)列求和易錯究源12錯位相減求和中常見的錯誤返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和

返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和

返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和

返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和返回目錄多元提能力第31講數(shù)列求和【備選理由】

例1是等差數(shù)列、疊加法與裂項相消求和的綜合問題；例2是倒序相加法求和的綜合題．返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和返回目錄教師備用題第31講數(shù)列求和第32講數(shù)列的綜合問題雙向固基礎點面講考向多元提能力教師備用題返回目錄返回目錄

能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．考試大綱第32講數(shù)列的綜合問題——知識梳理——

一、數(shù)列的綜合應用1．等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點，應用等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，建立關于兩個基本量：首項a1和公差d(或公比q)的方程組，以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點．返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題

2．數(shù)列和函數(shù)數(shù)列是特殊的函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式是關于n的一次和二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式在公比不等于1的情況下是公比q的指數(shù)函數(shù)模型，可以根據函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題．3．數(shù)列和不等式以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題，體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，通過數(shù)列的求通項以及求和，然后解決一個不等式問題，這類不等式是關于正整數(shù)的不等式，可以通過比較法、基本不等式法、導數(shù)方法和數(shù)學歸納法解決．返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題

二、數(shù)列的實際應用1．解決數(shù)列應用問題的基本思路：返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題

2．數(shù)列應用題常見模型：(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差數(shù)列模型，增加(或減少)的量就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比數(shù)列模型，這個固定的數(shù)就是公比；(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化時，應考慮是an與an－1的遞推關系，或前n項和Sn與Sn－1之間的遞推關系．返回目錄雙向固基礎——

疑難辨析——

返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄雙向固基礎第32講數(shù)列的綜合問題

說明：A表示簡單題，B表示中等題，C表示難題，示例均選自2008年～2012年安徽卷．返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題考點統(tǒng)計題型(考頻)題型示例(難度)1.等差、等比數(shù)列的綜合問題02.數(shù)列在實際問題的應用03.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題解答(1)2012年T21(C)4.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解答(1)2009年T20(B)

?探究點一等差、等比數(shù)列的綜合問題返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題

歸納總結

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題基本解題思路是通過基本量方法求出數(shù)列的通項，再利用數(shù)列中an和Sn的關系，通過變換其中的關系把數(shù)列轉化為等差數(shù)列、等比數(shù)列問題．返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題

?探究點二數(shù)列在實際問題中的應用返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄點面講考向第32講數(shù)列的綜合問題返回目錄點面講考向第