物理05振動與波動基礎6 7

1第五章振動和波動基礎5.1簡諧振動*5.2阻尼振動*5.3受迫振動共振5.4平行簡諧振動的合成5.5垂直簡諧振動的合成5.6波的基本概念5.7機械波的波函數5.8波的能量和強度5.9波的衍射5.10波的干涉5.11駐波5.12聲波和聲速5.13多普勒效應25.6波的基本概念3波動是一種常見的運動形式將石子投入水中水面激起波紋由中心向四周傳播波動水面上飄浮一片樹葉樹葉隨波上下起伏水面各點做振動，不隨波向外運動向外傳播的是什么？水面各點的振動狀態(tài)能量例如：4波(Wave)向外傳播的是波源的振動狀態(tài)和能量有傳播速度、伴隨能量的傳播能產生反射、折射、干涉及衍射等波動特有的現象波動的特征波動是振動狀態(tài)的傳播過程波動可以分成兩大類：機械波(mechanicalwave)電磁波(electromagneticwave)5當任一質元在外界作用下偏離平衡位置時，鄰近質元作用的彈性回復力就會使它發(fā)生振動；同時，這些鄰近質元又受到該質元及其它鄰近質元的彈性力作用，也會振動起來。在宏觀上，可將氣體、液體或固體當作連續(xù)彈性媒質，其體內各個相鄰的質元間以彈性力維系著。于是振動相互耦合，由近及遠、由此及彼地傳播開去。這種機械振動在物質中的傳播稱為機械波。機械波是機械振動在彈性媒質中的傳播。5.6.1波動的產生和傳播（以機械波為例）形成機械波的兩個條件：波源（激發(fā)波動的振動系統）彈性媒質（但電磁波可以在真空中傳播）6根據各點的振動方向與波的傳播方向的關系，可以把波分為兩類：橫波——振動方向與傳播方向垂直，如電磁波縱波——振動方向與傳播方向相同，如聲波混和波——橫波與縱波的混和，如水波5.6.2波的分類709-4-橫波.swf809-4-縱波.swf91、波動傳播的是振動狀態(tài)媒質中各點都在自己的平衡位置附近振動不是隨波前進各點振動頻率＝波源頻率注意103、振動狀態(tài)在空間的傳播需要時間振動狀態(tài)傳播的速度：波速。機械波的波速決定于媒質的性質。由于振動狀態(tài)由振動的相位決定，波動也可以說是振動相位的傳播，波速也稱為相速。2、振動是具有能量的，波動過程伴隨著能量的傳播任一質點既要從前面的質點接受能量，同時又要把能量傳給后面的質點。注意11描述波動傳播的幾個常用概念波面：同一時刻不同波線振動相位相同的點的軌跡。波前（波陣面）：某時刻處于最前面的波面。波線（波射線）：波的傳播方向的射線。在一般各向同性的媒質中，波線垂直于波面12波線波面波面波線平面波球面波波面波線波線波面135.6.3波形曲線回憶：什么是振動曲線？波形曲線：t時刻的波形XYOx0波峰波谷145.6.4描述波的特征量一個振動周期內，波向前傳播的距離：

l波源做一次完全振動，波動便沿波線傳出一個完整波形。所以l

就是一個完整波形的長度。同一時刻波線上相位差為2p的兩點之間的距離XYOx015波的周期T：波傳播一個波長的時間，或一個完整波形通過波線上某點所需的時間。＝波源的振動周期波的頻率：波的周期的倒數。表示單位時間內波動前進的距離中所包含的完整波長數，或單位時間內通過波線上某點的完整波形數。＝波源的頻率波動方程是時間t

和位置x

的周期函數。T反映了波的時間周期性，波長l反映了波的空間周期性。波速V=

l/T165.7機械波的波函數如何定量地描述一個傳播中的波動（行波）呢？需要尋找數學函數式，能描述出媒質中任意位置的質點在任意時刻的振動狀態(tài)，即能描述出媒質中各質點的位移隨質點位置和時間的變化關系。

波函數（波動方程）17引入坐標系后，波函數可寫為y=f(x,t)已知波形曲線y=f(x)和速度V，則可知y=f(x–Vt)或y=f(x+

Vt)已知某點的振動方程y=f(t)，則可知185.7.2簡諧波簡諧波：當波源做簡諧振動時所產生的波動。簡諧波是最簡單的，復雜的波動是由多個簡諧波合成的。以平面簡諧波為例，討論平面簡諧波的波動方程。19設一平面簡諧波在理想介質中沿X軸正向以速度V

傳播。

X軸即為某一波線。設原點O的振動表達式為在OX軸上任意一點B的振動如何？y表示該處質點偏離平衡位置的位移x為B點在X

軸的坐標20B點的振動方程：O點振動狀態(tài)傳到B點需用平面波，媒質無吸收。

各點的振幅都相等，為AB點的振動圓頻率應與O點相同，為w。y表示該處質點偏離平衡位置的位移t時刻B處質點的振動狀態(tài)等于時刻O處質點的振動狀態(tài)相位：21沿

x

軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程沿著波傳播方向，各質點的振動依次落后于波源振動為

B點的振動落后于原點振動的時間沿

x

軸負向傳播的平面簡諧波的波動方程22引入角頻率ω和波數k23波動方程的物理意義1、如果給定x，即x=x0x0處質點的振動初相為x0處質點落后于原點的位相則y=y(t)

為x0處質點的振動方程tTT同一波線上任意兩點的振動位相差242、如果給定t，即t=t0

則y=y(x)表示給定時刻波線上各質點在同一時刻的位移分布，即給定了t0

時刻的波形曲線同一質點在相鄰兩時刻的振動位相差XYOx0253.如x,t

均變化y=y(x,t)t時刻的波形方程t+t時刻的波形方程t時刻、x處的某個振動狀態(tài)經過

t，傳播了

x的距離表示了波線上各點在不同時刻的位移，或者說，包括了不同時刻的波形，反映了波的傳播過程，即行進中的波長。在時間

t內整個波形沿波的傳播方向平移了一段距離

x2609-4-波動表達式的物理意義.swf275.7.3波動方程與波速沿x方向傳播的一維平面波的波動微分方程求t的二階導數求x的二階導數以y

表示：28在理想的、無吸收的各向同性媒質中傳播的三維波動，應滿足：沿x方向傳播的一維平面波波動微分方程或寫作：其中：拉普拉斯算符波動微分方程29例題+1：已知波動方程y=5cos

(2.5t－0.01x)，

求波長、周期和波速。解:方法一(比較系數法)將波動方程改寫為與比較得：302.周期:相位傳播一個波長所需時間t1時刻x1點處的相位，在(t1+T)時刻傳到x2(=x1+l)點π(2.5t1－0.01x1)=π[2.5(t1+T)－0.01(x1+λ)T=0.8s3.波速:振動相位傳播的速度t1時刻x1點的相位，經過Dt=t2－t1時間傳到x2處y=5cosp(2.5t－0.01x)1.波長是指同一時刻t,波線上相位差為2p的兩點間的距離p(2.5t－0.01x1)－p(2.5t－0.01x2)=2p方法二（由物理定義）31例題+2

有一個一維簡諧波的波源，頻率為250Hz，波長為0.1m，振幅為0.02m，求：(1)波的傳播速度；(2)距波源1.0m處一點的振動方程及振動速度設簡諧波的波動方程為(1)波速由公式得：此刻該點的振動速度：(2)距波源1m處的振動方程為：解：頻率32例題+3

一橫波沿x

軸正方向傳播，波速為100m/s，且沿x

軸每一米長度內含50個波長，振幅為0.03m，設t=0時，位于坐標原點的質點通過平衡位置正方向運動，求波動方程。解：設波動方程的表達式為：已知條件：t=0時波源處的質點通過平衡位置向正方向運動，初相位為該波動方程為：33波既是振動狀態(tài)的傳播，也伴隨著振動能量的傳播。機械波在彈性媒質中傳播時，媒質中各質點都在振動，因而具有動能，同時媒質也因質點的振動位移不同步而產生形變，因而具有勢能。媒質中各點振動時，既要從前面的質點吸收能量，又要把能量傳給后面的質點。

能量流動5.8波的能量和強度34有一平面簡諧縱波質量為在x處取一體積元質點的振動速度體積元內媒質質點動能為彈性勢能：總能量：5.8.1波的能量35說明1、在波動的傳播過程中，媒質中任一體積元內的動能和勢能是相等的，而且相位相同，同時達到最大，同時等于零。2、在波傳動過程中，任意體積元的能量隨時間變化（不斷接收和放出能量）。36能量密度

單位體積介質中所具有的波的能量。平均能量密度

一個周期內能量密度的平均值。5.8.3能量密度37wk、w

p均隨t周期性變化(1)固定xwk=wp

(2)固定twk、w

p隨x周期分布y=0處

wkwp最大y最大處

wkwp為0o

y

xwkwpt=t0u(1/4)

2A2oyTtwkwpx=x0=λ/4(1/4)

2A2理解能量密度的物理意義

38能流:單位時間內通過媒質中某面積的波的能量。平均能流：單位時間內通過媒質中某面積的平均能量能流密度（波的強度）：通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能量。5.8.3能流和能流密度39例題試證明在均勻不吸收能量的媒質中傳播的平面波在行進方向上振幅不變，球面波的振幅與離波源的距離成反比。三、平面波和球面波的振幅，球面簡諧波的波動方程證明：所以,平面波振幅相等。對平面波在一個周期T內通過S1和S2面的能量應該相等40所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為A/r由于球面簡諧波振幅與距波源中心的距離r成反比，與平面波類似，球面簡諧波的波函數：對球面波(通過兩球面的平均能流應該相等)A0為離波源中心單位距離處波的振幅41例題有一波在介質中傳播，其波速u=103m/s，振幅A=1×10-4m，頻率γ＝103Hz。若介質的密度為800kg/m3，求：(1)該波的能流密度；(2)1分鐘內垂直通過一面積S=4×10－4m2的總能量（1）由能流密度I的表達式，可求得：（2）在60秒內垂直通過面積S的能量為解:42439-6電磁波一、電磁波的產生和特性二、電磁波的能量三、電磁波譜441、通過任意閉合面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數和。3、電場強度沿任意閉曲線的線積分等于以該曲線為邊界的任意曲面的磁通量對時間變化量的負值。2、通過任意閉合面的磁通量恒等于零。4、穩(wěn)恒磁場沿任意閉合曲線的線積分等于穿過以該曲線為邊界的曲面的全電流。麥克斯韋提出了“渦旋電場”和“位移電流”的假說，將電磁場的基本規(guī)律寫成麥克斯韋方程組，并預言了電磁波的存在：45麥克斯韋方程組的微分形式46利用矢量分析，考慮在沒有自由電荷和沒有傳導電流的均勻介質中的電場E

和磁場H，可得：對比波動微分方程(p25,9-38)：變化電場和變化磁場必然以波的形式存在。波速為注意：變化電場和變化磁場不是獨立存在的，而是受麥克斯韋方程組約束。47普通LC回路：(1)振蕩頻率低，輻射功率小(S∝w4)(2)電磁場僅局限于電容器和自感線圈內波源－產生電磁振蕩一、電磁波的產生和特性不能有效地發(fā)射電磁波(1)提高回路振蕩頻率(2)實現回路的開放解決途徑：48從LC振蕩電路到振蕩電偶極子：減小電容器極板面積，增大兩極間距離，減小自感線圈匝數。49距離為l

的等量異號電荷的電量做q=q0coswt

的諧振動，則電矩為：諧振動！50振蕩電偶極子輻射球面電磁波v

沿r

方向E

沿經線振蕩H沿緯線振蕩振蕩電偶極子在各向同性介質中所輻射的電磁波，在遠離電偶極子的空間內P

點的電場強度E

和磁場強度H的大?。?/p>

球面波的波動方程距離振蕩電偶極子極遠處的小范圍內，電磁波可以看作是平面波處理。51總結電磁波的性質（在同性媒質中傳播）：1、電磁波的傳播速度為即v只與媒質的介電常數和磁導率有關真空中實驗測得真空中光速光是一種電磁波真空中的光速與介質中的波速之比c/v

為介質折射率n，故有：522、E、H均作周期性變化，且兩個量同相，則在空間任意一點，E、H

滿足下式:3、E、H、v

相互重直，構成正交右旋關系。電磁波是橫波，4、振蕩電偶極子所輻射的電磁波的頻率等于電偶極子振蕩