隨機(jī)老師3平穩(wěn)過(guò)程

(第三章)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程內(nèi)容提要平穩(wěn)過(guò)程的概念與性質(zhì)平穩(wěn)過(guò)程

的各態(tài)歷經(jīng)性聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程1平穩(wěn)過(guò)程的概念與性質(zhì)[定義]

設(shè){X(t),t

T}是隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意常數(shù)

和正整數(shù)n，t1,t2,…,tn

T

，t1+

,t2+

,…,tn+

T

，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+

),X(t2+

),…,X(tn+

))有相同的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),t

T}為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，也稱狹義平穩(wěn)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)階平穩(wěn)過(guò)程[定義]

設(shè){X(t),t

T}是隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)于正整數(shù)n

N

和任意常數(shù)

，t1,t2,…,tn

T

，t1+

,t2+

,…,tn+

T

，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+

),X(t2+

),…,X(tn+

))有相同的n維聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),t

T}具有N階平穩(wěn)性。（事實(shí)上，當(dāng)n=N時(shí)條件滿足即可）嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)(1)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。均值：方差：均方值：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的均值、均方值和方差均為常數(shù)。嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)(2)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的二維概率密度函數(shù)只與t1、t2的時(shí)間間隔有關(guān)。自相關(guān)：自協(xié)方差：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)和自協(xié)方差只與時(shí)間差

有關(guān)。寬平穩(wěn)過(guò)程[定義]設(shè){X(t),t

T}是隨機(jī)過(guò)程，如果滿足

(1){X(t),t

T}是二階矩過(guò)程；

(2)mX(t)=E{X(t)}=常數(shù)；（均值平穩(wěn)）

(3)RX

(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=RX(t2t1)=RX(

)；

（自相關(guān)平穩(wěn)）

則稱{X(t),t

T}為廣義平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(寬)平穩(wěn)過(guò)程。常用平穩(wěn)性之間的關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)n階平穩(wěn)(n>2)二階平穩(wěn)一階平穩(wěn)均值平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)廣義平穩(wěn)高斯過(guò)程例1設(shè)有隨機(jī)相位過(guò)程X

(t)

=a

sin(t+)，a,

為常數(shù)，

為(0,2

)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試討論隨機(jī)過(guò)程X(t)的平穩(wěn)性。[解]因此X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。例2（白噪聲序列）設(shè){Xn

,n=0,1,2,}是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=

2

，試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。[解]因?yàn)?(1)E[Xn]=0故隨機(jī)序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與

有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機(jī)序列。平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)[定理]

設(shè)

{X(t),t

T}是平穩(wěn)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)RX(

)

具有下列性質(zhì)：(1)(3)共軛對(duì)稱性:(2)(4)RX(

)是非負(fù)定的，即實(shí)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)周期過(guò)程設(shè)

{X(t)}是平穩(wěn)過(guò)程，若其相關(guān)函數(shù)RX(

)

滿足RX(

)=RX(

+T)

則稱{X(t)}是周期過(guò)程。例1中的隨機(jī)正弦過(guò)程X(t)

=asin(t+)是一個(gè)周期過(guò)程，周期為：T=2/

平穩(wěn)高斯過(guò)程[定義]設(shè){X(t),t

T}是隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)n和t1,t2,…,tn

T

，n維隨機(jī)變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))是聯(lián)合高斯分布的，則稱{X(t),t

T}為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。其中，X=(X1,X2,…,Xn

)，

m

=(m1,…,mn)是常向量（均值向量），

K

=(Kij)n×n是正定矩陣（協(xié)方差矩陣）。n維高斯分布：平穩(wěn)高斯過(guò)程均值和自相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)的，任意n維聯(lián)合概率密度函數(shù)為平穩(wěn)高斯過(guò)程{X(t),t

T}滿足其中，R是由相關(guān)系數(shù)rij構(gòu)成的行列式，Rij是行列式中元素rij構(gòu)成的代數(shù)余子式。平穩(wěn)高斯過(guò)程的一維、二維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的性質(zhì)高斯過(guò)程完全由它的均值和相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差函數(shù)）決定；高斯過(guò)程的不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)；高斯過(guò)程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)；高斯過(guò)程與確定信號(hào)之和仍為高斯過(guò)程；若高斯過(guò)程｛X(t),t

T｝在T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù)過(guò)程｛X

(t),t

T｝也是高斯過(guò)程；若高斯過(guò)程｛X(t),t

T｝在T上均方可積，則其積分過(guò)程｛Y(t),t

T｝也是高斯過(guò)程。2平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t,e)，對(duì)于每一個(gè)固定的tT

，X(t,e)是一個(gè)隨機(jī)變量，

E[X(t)]=mX(t)為統(tǒng)計(jì)平均。對(duì)于每一個(gè)固定的e

，X(t,e)是普通的時(shí)間函數(shù)，在T上對(duì)t取平均，即得時(shí)間平均。時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)[定義]設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則分別稱

為該過(guò)程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。各態(tài)歷經(jīng)性[定義]

如果平穩(wěn)過(guò)程

{X

(t),t

T}的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。[定義]

設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。KX(

)均值遍歷的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則它的均值具有遍歷性的充要條件為當(dāng)X

(t)是實(shí)均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，充要條件為相關(guān)函數(shù)遍歷的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為當(dāng)X

(t)是實(shí)均方連續(xù)平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，充要條件為例3設(shè)有隨機(jī)相位過(guò)程X

(t)

=a

cos(t+)，a,

為常數(shù)，

為(0,2

)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試問(wèn)X

(t)是否為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。故X

(t)是為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。遍歷性的重要意義如果一個(gè)實(shí)平穩(wěn)過(guò)程X

(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用其任一樣本函數(shù)x

(t)的時(shí)間平均代替其統(tǒng)計(jì)平均，即若樣本函數(shù)

x

(t)只在有限區(qū)間[0,T]上給出，則有相關(guān)函數(shù)的測(cè)量乘法器可變延時(shí)

積分器(低通濾波)X(t)X(t+

)RX(

)3聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程

X(t)Y(t)W(t)=X(t)+Y(t)

是否平穩(wěn)？聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程的定義[定義]

設(shè)

{X(t),t

T}和{Y(t),t

T}是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，若它們的互相關(guān)函數(shù)及僅與

有關(guān)，而與t無(wú)關(guān)，則稱

X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。它們的和W(t)=X(t)+Y(t)也是平穩(wěn)過(guò)程?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有性質(zhì)：(2)(1)對(duì)于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，(3)[例4]

設(shè)有兩個(gè)