高二數(shù)學(xué)組合1

高二數(shù)學(xué)組合1第一頁(yè)，共27頁(yè)。一、復(fù)習(xí)1、排列的定義：一般地說(shuō)，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2、排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示。第一頁(yè)第二頁(yè)，共27頁(yè)。3、排列數(shù)公式：?···?3?2?1！規(guī)定0！=1)1()2(

)1(

+---=mnnnnAmn…第二頁(yè)第三頁(yè)，共27頁(yè)。1．全排列數(shù)（階乘）

2．階乘變形

補(bǔ)充提示第三頁(yè)第四頁(yè)，共27頁(yè)。(1)、從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問(wèn)題甲乙乙丙乙甲丙乙甲丙丙甲第四頁(yè)第五頁(yè)，共27頁(yè)。從3名同學(xué)中選出2名，不同的選法有3種：甲、乙乙、丙丙、甲所選出的2名同學(xué)之間與無(wú)順序關(guān)系，即甲、乙和乙、甲是同一種選法。(2)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？第五頁(yè)第六頁(yè)，共27頁(yè)。從不在同一條直線上的三點(diǎn)A、B、C中，每次取出兩個(gè)點(diǎn)作一條直線，問(wèn)可以得到幾條不同的直線？根據(jù)直線的性質(zhì)，過(guò)任意兩點(diǎn)可以作一條直線，并且只能作一條直線，所以過(guò)兩點(diǎn)只能連成一條直線，因此可以得到三條直線：AB、BC、CA，直線AB與BA直線是一條直線，這也就是說(shuō)，“把兩點(diǎn)連成直線”時(shí)，不考慮點(diǎn)的順序。第六頁(yè)第七頁(yè)，共27頁(yè)。以上兩個(gè)引例所研究的問(wèn)題是不同的，但是它們有數(shù)量上的共同點(diǎn)，即它們的實(shí)質(zhì)都是：從3個(gè)不同的元素里每次取出2個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組，一共有多少不同的組？第七頁(yè)第八頁(yè)，共27頁(yè)。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。一、組合定義排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無(wú)關(guān)，這是它的根本區(qū)別。

第八頁(yè)第九頁(yè)，共27頁(yè)。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。組合定義思考:排列與組合的概念，它們有什么共同點(diǎn)、不同點(diǎn)？

共同點(diǎn):都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”

不同點(diǎn):對(duì)于所取出的元素，排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不管怎樣的順序并成一組”．排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無(wú)關(guān)第九頁(yè)第十頁(yè)，共27頁(yè)。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。思考：ab和ba是幾個(gè)排列？幾個(gè)組合？組合定義如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如何，都是相同的組合．當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同（即使只有一個(gè)元素不同），就是不同的組合。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共27頁(yè)。判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票?

有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？組合問(wèn)題排列問(wèn)題(3)10名同學(xué)分為人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問(wèn)題組合問(wèn)題第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共27頁(yè)。(4)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候，共需握手多少次?組合問(wèn)題(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽,有多少種不同的方法?組合問(wèn)題(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問(wèn)題第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共27頁(yè)。排列、組合是不同的兩個(gè)事件，區(qū)分的辦法是首先弄清楚事件是什么？區(qū)別的標(biāo)志是有無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的辦法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果找出來(lái)，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若無(wú)新變化，即說(shuō)明無(wú)順序，為組合問(wèn)題第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共27頁(yè)。練習(xí)：在4個(gè)不同元素a、b、c、d中取出2個(gè)，共有多少種不同的組合？請(qǐng)你寫(xiě)出所有的組合。abacadbcbdcd第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共27頁(yè)。從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)表示組合數(shù)定義注意：是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開(kāi)來(lái)．

第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共27頁(yè)。由前面練習(xí)知（1）從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)（2）從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)思考：從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C43是多少？C32=3C42=6第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共27頁(yè)。由于從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)的排列數(shù)A43可以求得，我們可以考察一下C43和A43的關(guān)系。從4個(gè)不同元素a、b、c、d中取出3個(gè)元素的組合與排列的關(guān)系如下：組合排列abcabcacbbacbcacabcbaabdabdadbbadbdadabdbaacdbcdacdadccadcdadacdcabcdbdccbdcdbdbcdcb第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共27頁(yè)。每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43，可以分為以下兩步：第一步，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有C43（=4）個(gè)；第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作全排列，各有A33（=6）個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此，第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共27頁(yè)。一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Anm，可分為以下2步：第一步，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，共有Cnm個(gè)；第二步，對(duì)每一個(gè)組合中的m個(gè)不同元素作全排列，各有Amm個(gè)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此，這里并且m≤n這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共27頁(yè)。組合數(shù)公式第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。例1、計(jì)算（1）C74；（2）C107第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。證明：第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。解：由題意可得：解得當(dāng)x=2時(shí)，原式的值為4當(dāng)x=3時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，原式的值為7原式的值為11所求的值為4或7或11第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共27頁(yè)。練習(xí)2、甲，乙，丙，丁4個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽：（1）共需比賽多少場(chǎng)？列出各場(chǎng)比賽的雙方；（2）冠亞軍共有多少種可能？列出所有冠亞軍情況。解（1）共需甲、乙、丙、丁乙、丙、丁丙、?。?）冠亞軍共有甲冠軍乙丙丁亞軍乙冠軍甲丙丁亞軍丙冠軍甲乙丁亞軍