模塊4 自激振動(dòng)講座《振動(dòng)力學(xué)》教學(xué)課件

《振動(dòng)力學(xué)》?精品課件合集

相軌跡、奇點(diǎn)、極限環(huán)

自激振動(dòng)的物理過程

工程中的自激振動(dòng)

頻率和振幅的近似計(jì)算2無阻尼自由振動(dòng)：無能量輸入或輸出阻尼自由振動(dòng)：

有能量耗散受迫振動(dòng)：

有交變能量輸入建立的基本概念：振幅

頻率

相位

激勵(lì)

響應(yīng)

模態(tài)3例如：4這些振動(dòng)現(xiàn)象是自由振動(dòng)還是受迫振動(dòng)？或都不是？樹葉在微風(fēng)中搖擺鐘擺的等幅擺動(dòng)足球裁判吹哨動(dòng)物發(fā)聲和人類說話音樂家演奏小提琴系統(tǒng)從恒定能源得到能量補(bǔ)充，依靠自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的反饋?zhàn)饔谜{(diào)節(jié)能量輸入，以維持不衰減的持續(xù)振動(dòng)。557存在能量的輸入與輸出，為非保守系統(tǒng)；能源恒定，為自治系統(tǒng)；

頻率和振幅取決于物理參數(shù)，與初始條件無關(guān)；

線性系統(tǒng)不可能產(chǎn)生自激振動(dòng)；自激振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散關(guān)系。8振動(dòng)系統(tǒng)：鈴錘能源：電池調(diào)節(jié)器：電磁斷續(xù)器9振動(dòng)系統(tǒng)：活塞－連桿能源：蒸汽鍋爐10調(diào)節(jié)器：配汽閥自治系統(tǒng)的一般形式：11y

f

x,

y

x

y,相軌跡微分方程：dy

f

x,

y

d

x y

x

f

x,x

0

f

x

,

y

:單位質(zhì)量物體上作用的恢復(fù)力和阻尼力合力將速度

x

以新的變量

y

表示：

y

x

d

x

y12dy

f

x,y

面內(nèi)的相點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。

系統(tǒng)的狀態(tài)

x

,

y

與相平相軌跡方程的解確定相平面內(nèi)各點(diǎn)的向量場，構(gòu)成以時(shí)間為參變量的相軌跡族。上半平面從左到右，下半平面從右到左。f

(

x,

y)

0

對(duì)應(yīng)的曲線處，斜率為零。稱為零等傾線：橫坐標(biāo)軸上曲率無限大，相軌跡與坐標(biāo)軸正交。相軌跡方程13中滿足ys

0, f

xs

,

ys

0的特殊點(diǎn)

xs

,

ys

稱為相軌跡族的奇點(diǎn)。其物理意義為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。dy

f

x,

y

d

x y相軌跡曲線

保守系統(tǒng)的相軌跡方程：dy

f

x

d

x y能量積分：

201

y

2x

V

x

E

, V x

f x d

xy

2

E

V

x

14f

xs

V

xs

0勢能曲線的駐點(diǎn)即為保守系統(tǒng)的奇點(diǎn)y

2

E

V

x

中心：勢能極小值鞍點(diǎn)：勢能極大值15d

y

xd

x yf

x

x216V

x

1

x

2f

x

x

x317lf

g

sin

l18V

g

1

cos

Fd

cx

m

x

cx

kx

0正阻尼(c>0)

負(fù)阻尼(c<0)

19d

y

F

x,

y

x

cd

x y y

x

f

x,x

0f

x,

y

x

cy穩(wěn)定奇點(diǎn)

(c>0)不穩(wěn)定奇點(diǎn)

(c<0)20d

x21dy

0, f

x,y

x

cy

0, x

c

y

穩(wěn)定焦點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)(c>0)不穩(wěn)定焦點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)(c<0)零斜率等傾線：Balthasarvander

Pol（1889-1959）22van

der

Pol

方程

：(1920年)23

x

x

(1

x2)

p2x

0或

Raleigh

方程：

x

x

(1

x

2)

p2x

0x

或

x

為小量時(shí)：負(fù)阻尼，振幅增大x

或

x

為大量時(shí)：正阻尼，振幅減小d

y

d

x

y

1

y2

xvan

der

Pol

方程的相軌跡方程：y零斜率等傾線：x

y

1

y2

242526F

a

b

3v27

y

y ym

y

ky

F空氣動(dòng)力系數(shù)與攻角關(guān)系曲線

y

y

(1

y

2)

p2y

0形成

van

der

Pol

方程的極限環(huán)輸電線的舞動(dòng)高層建筑物在風(fēng)載荷作用下的振動(dòng)大跨度橋梁在風(fēng)載荷作用下的振動(dòng)飛機(jī)高速飛行時(shí)機(jī)翼可能產(chǎn)生的強(qiáng)烈顫動(dòng)（機(jī)翼顫振）吹哨，簧片樂器發(fā)聲動(dòng)物發(fā)聲和人類說話2829

lS1v

S1

p1

p2

Fdq

S1vp2

gh33000 0

x

x

(1

x2)

p2x

0x

q

q0,,

f

q

a

q

q

b

q

q

S1p1

q

Fd

q

f

q

,形成van

der

Pol方程極限環(huán)簡化的干摩擦與相對(duì)速度的關(guān)系曲線更準(zhǔn)確的干摩擦與相對(duì)速度的關(guān)系曲線31F

x,

y

x

y

,

y

B

sgn

ydy

x

Bd

x yx

B：隨遇平衡32惠更斯(Christian

Huygens,

1629-1695)33帶干摩擦的單擺在固定位置

＝

處沿運(yùn)動(dòng)方向受到等強(qiáng)度的沖擊34y

2

x

B

2

B

2y

2

x

B

2

B

2

2

E

B

2

2

E

B35沖擊前：沖擊后：令 x

, y

0相軌跡封閉條件：

解出36自激振動(dòng)系統(tǒng)的能量分析37穩(wěn)定的自激振動(dòng)

不穩(wěn)定的自激振動(dòng)輸入能：常值38耗散能：與擺動(dòng)幅度成正比39

(

y)

(

y

v0

)

(

v0)

(

v0

)

x

(x

)

x

0

,滑塊運(yùn)動(dòng)方程(相對(duì)松弛狀態(tài))：

(

v )

00平衡位置：

0新變量：x

0

v0

滑塊運(yùn)動(dòng)方程(相對(duì)平衡位置)：40dy

(y)

xd

x yx

(

y)相軌跡方程：零斜率等傾線：41滑塊附著于皮帶：能量輸入滑塊自皮帶解脫：能量耗散42無潤滑軸承的響聲弦樂器的發(fā)聲切削刀具的抖動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)的不連續(xù)爬行43Hopf

分岔：44穩(wěn)定平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定狀態(tài)伴隨極限環(huán)的轉(zhuǎn)化。降低相對(duì)速度，衰減振動(dòng)轉(zhuǎn)化為自激振動(dòng)。45

x

x

(1

x2)

p2x

046yd

y

1

y2

2

xd

x

ydy47dy

y

1

y2

x,

,

設(shè)

1,

自激振動(dòng)接近諧振動(dòng)。令 代入x

a

sin

t

x

x

(1

x2)

p2x

04利用三角公式

cos3

t

1

3cos

t

cos

3

t

,

化作前的系數(shù)等于零，得到頻率和振幅的近似解：令

sin

t, cos

t2 24

cos

t

0

a2

t

1

sin

p

482

p, a

1

x

p2x

ap

sin

1

a2

cos2

a

sin

a

cos

性項(xiàng)的影響下成為慢變參數(shù)，其變化令x

acos

pt

a

,

在線性系統(tǒng)中為常數(shù)，在非線

x

p2x

x

1

x2

，率與小參數(shù)

同數(shù)量級(jí)。討論快變過程時(shí)，可忽略慢變參數(shù)的變化。令

pt

x

apsin

a

cos

a

sin

為小參數(shù)49a

cos

a

sin

050a

sin

a

cos

ap

sin

1

a2

cos2

討論慢變過程時(shí)只需考慮快變過程的平均效應(yīng)。2

p 2

paa

Q

a,

P

a,

a

ap

sin2

1

a2

cos2

ap

sin

cos

1

a2

cos2

解出，

p

4a

1

2

a

a2

4

π1π1

20π02 22π02 2