2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第39講構(gòu)造輔助函數(shù)的方法含解析

第39講構(gòu)造輔助函數(shù)的方法對于證明與函數(shù)有關(guān)的不等式、零點或已知不等式在某個范圍內(nèi)恒成立求參數(shù)取值范圍,討論一些方程解的個數(shù)等類型問題時,常常需要構(gòu)造輔助函數(shù),并通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性或?qū)で笃鋷缀我饬x來解決.題目本身特點不同,所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式,解題的繁簡程度也不同,所以為了構(gòu)造出合理的函數(shù),方便我們解題,我們需要遵循一大構(gòu)造原則是“導(dǎo)函數(shù)可判定原則”.所謂的“導(dǎo)函數(shù)可判定原則”就是所構(gòu)造的函數(shù),求導(dǎo)之后要能夠判定出函數(shù)的正負號,從而研究原函數(shù)單調(diào)性,如果無法判定導(dǎo)函數(shù)正負號,則說明原函數(shù)構(gòu)造得有問題,需要重新構(gòu)造.本節(jié)會總結(jié)出一些常用的構(gòu)造函數(shù)的方法,如果解題過程中求導(dǎo)很復(fù)雜或者進行不下去就需要思考函數(shù)構(gòu)造得是否合理,而且在解題過程中函數(shù)的構(gòu)造方式有很多種,要選擇合理的構(gòu)造方式,而所要遵循的就是“導(dǎo)函數(shù)可判定原則”.構(gòu)造法一:移項作差構(gòu)造函數(shù)移項作差構(gòu)造是我們最常用的方法,當(dāng)試題中給出簡單的基本初等函數(shù),例如,進而證明在某個取值范圍內(nèi)不等式成立時,可以通過移項作差,構(gòu)造函數(shù),進而證明即可,在求最值的過程中,可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具.注意:下面的例題用到隱零點相關(guān)的內(nèi)容,讀者如果有疑惑可以在看完后面隱零點部分的章節(jié)后再回來看.【例1】已知函數(shù),其中,求實數(shù)的取值范圍.【解析】時,不等式為,對任意實數(shù)都成立.當(dāng)時:時,不等式化為,令,則.由,令,即在上單調(diào)遞增,..若,即,則在上恒成立,在上遞增.,不等式0成立.若,由上討論知存在,使得,且當(dāng)時,,遞減.時,遞增,.而,因此時,不成立.綜上.【例2】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),求證:.【解析】證明：要證,只需證明:對于恒成立,令,則.當(dāng)時,令,則在上單調(diào)遞增,即在上為增函數(shù).又.存在使得.由得,即,即.當(dāng)時,,單調(diào)遞減.當(dāng)時,單調(diào)遞增..令,則在上單調(diào)遞增..構(gòu)造法二：等價變形構(gòu)造函數(shù)通常我們對不等式移項構(gòu)造出來的函數(shù)無法直接判定導(dǎo)函數(shù)的正負號,所以需要利用不等式性質(zhì)對所證不等式進行等價變形,先做一個簡化,再構(gòu)造函數(shù),而簡化的原則通常是“減少分式,去掉分母”,構(gòu)造出一些常用的,可判定的函數(shù).【例1】設(shè)函數(shù).證明:當(dāng)時,.【分析】本題依然考慮構(gòu)造函數(shù)解決不等式,但如果僅僅是移項,則所證不等式為,令,其導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,不容易求出函數(shù)最值,所以考慮先對不等式進行等價變形再構(gòu)造,轉(zhuǎn)變?yōu)樾问捷^為簡單的不等式,再構(gòu)造函數(shù)進行證明,這個也就是導(dǎo)函數(shù)可判定原則.【解析】證明：所證不等式等價于設(shè)∴只需證即可令，令,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,故不等式得證.【例2】已知函數(shù),若對任意的恒成立,求的取值范圍.【解析】恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立.設(shè),.設(shè),.①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.,即.在上單調(diào)遞增.從而,即對任意的恒成立.符合題意.②當(dāng)時,由得,令.令.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增...設(shè),.在上單調(diào)遞減..,使得.當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.時,.時不符合題意.綜上,的取值范圍為.構(gòu)造法三:拆分轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)有些函數(shù)經(jīng)直接移項作差構(gòu)造出來的新函數(shù),求導(dǎo)后無法直接判斷導(dǎo)函數(shù)的正負號,變形后也不行,則需要利用不等式性質(zhì)對所證不等式拆分為的形式,若能證明,即可得.本方法的優(yōu)點在于對的項進行分割變形,可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個簡單的解析式.但缺點是局限性較強,如果與不滿足,則無法通過這種方式證明.【例1】求證：.【分析】所證不等式,若都移到左邊構(gòu)造函數(shù),則函數(shù),很難分析單調(diào)性,進而無法求出最值.本題考慮在兩邊分別求出最值,再比較大小即可.【解析】設(shè).令在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增..設(shè).在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減..,.,所證不等式成立.【例2】設(shè)函數(shù)，其中為正實數(shù).(1)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時.證明:【解析】(1)由題意得設(shè),則①當(dāng)時,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,滿足題意.②當(dāng)時,即時,則的圖像的對稱軸.,在上存在唯一實根,設(shè)為,則當(dāng)時,.當(dāng)時,.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時,不合題意.綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.(2)(證明)等價于..原不等式等價于.由(1)題知當(dāng)時,在上恒成立,整理得.令,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.,即在上恒成立.當(dāng)時,恒有構(gòu)造法四：整體代換構(gòu)造函數(shù)在處理函數(shù)時,如果函數(shù)有相同的部分,或者可以湊出相同的部分,則可以整體代換達到簡化函數(shù)的目的,進而提高運算效率.這里我們常用的一個變形結(jié)構(gòu)是,令來實現(xiàn)指對互化的整體代換.【例1】已知函數(shù),求證:.【解析】證明：令,要證,即證,其中,構(gòu)造函數(shù),其中令,其中,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,,即,此時函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時,,即,此時函數(shù)單調(diào)遞增..所證不等式成立.【例2】設(shè).證明是增函數(shù)，且（e為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】證明：設(shè),則令,則,設(shè).由對數(shù)不等式(見一節(jié))可知(時取等號),,即,時,是增函數(shù),而也是增函數(shù),時,是增函數(shù).要證明等價于證明1,即證,即證,設(shè),則,即證.由對數(shù)不等式(見一節(jié))可知,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.,,即成立.【例3】已知函數(shù),若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍。【解析】記,則在上單調(diào)遞增,且..在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.(1)在時,在上單增,且,故無零點.(2)在時,在上單調(diào)遞增,又,故在上只有一個零點.(3)在時,由可知,在時有唯一的一個極小值.若,無零，點;若只有一個零點;若時,.而,由于在時為減函數(shù),可知:時,.從而在和,上各有一個零點.綜上,時有兩個零點,即實數(shù)的取值范圍是.構(gòu)造法五:同構(gòu)替換構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)中,有一部分不等式問題的左、右兩邊是由同種結(jié)構(gòu)的函數(shù)構(gòu)成,我們解決這一類問題就需要找到同構(gòu)式,構(gòu)造原函數(shù),利用單調(diào)性簡化不等式,進而解決問題,這一方法,稱之為同構(gòu)法,如,若能等價變形為,然后利用的單調(diào)性,[若遞增,再轉(zhuǎn)化為,這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式(等號成立時,稱為同構(gòu)方程),簡稱同構(gòu)式.【例1】求證:當(dāng)時,1).【解析】證明：要證,只需證,只需證.設(shè),只需證.則,令,則,在單調(diào)遞減.故只需證即可.設(shè),則.原不等式成立.【例2】知函數(shù),若,時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】,..令,則恒成立.恒成立,在上單調(diào)遞增.恒成立.即即恒成立.由構(gòu)造函數(shù)可知的最大值為2,所以,【解析】得,所以實數(shù)