2021-2022學(xué)年上海市上海中學(xué)東校高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷含詳解

上海市上海中學(xué)東校2021-2022學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題滿分36分，本大題共有12題)3

dλ cosa=-.己知α是第四象限角，〃(至-4)是角α終邊上的一個點，若5,則X=..在等差數(shù)列&｝中，公差d=2,則為=./(x)=3sin2x--.函數(shù) 1 6J的最小正周期為.己知”=(1,3)F=(-4,8),則5在5方向上數(shù)量投影為..若7,X,y,z,-9(Xj?Z∈R)是等比數(shù)列，則實數(shù))'=.(1 Iim(6z1+a.+-?+all]=-?_.已知數(shù)列是公比為4的無窮等比數(shù)列，且'Tχ ' 2,則3+9=. 兀 一r =Ib=1r~2d+b.已知平面向量〃，b,滿足41,,且4,b的夾角為3,則1l+i+l+...+8.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式23T-7</001 (“≥2,"∈I√)的過程中，由〃=k到〃=&+1時，左邊增加了項；9,在δΛ5C中，= 是“sιn2A=sιn25”的 條件..己知｛"”｝和｛a｝均為等差數(shù)列，若&+仄=6,4+瓦=9,則見+"的值是..已知點G是的重心，過點G作直線與45,AC兩邊分別交于"、N兩點，且? ? I ?I ? I ?AM=tnAB,AN=nAC9m>0,n>0,則3m+5〃的最小值是.已知數(shù)列｛"〃｝滿足%+(T)/14=3"].S"是數(shù)列｛%｝的前〃項和，則%—%=二、選擇題(本大題滿分16分，本大題共有4題).下列結(jié)論中，正確的是()A.零向量只有大小沒有方向C對任一向量Q,I。0總是成立的B.?AB?=?BA?D.145I與線段6A的長度不相等.函數(shù)/（x）=ASIn（〃加+°）,（其中A＞0,幻＞0,加＜三）其圖象如圖所示，為2了得到g（x）=-ACoSGX的圖象，可以將/（x）的圖象（）C,向左平移上個單位長度B.向右平移二個單位長度

12D.向左平移三個單位長度1215.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒,計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高28萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高112萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過IlOO萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要（）A.2806萬元 B,2906萬元 C.3106萬元 D.3206萬元.數(shù)列｛%｝滿足&=2,4〃+1=一4+1，n∈N+?則工+^+…+」一的整數(shù)部4 cιla2a2022分是（）A1 B.2 C.3 D.4三、解答題（本大題滿分48分，本大題共有5題）.己知tana=-；,求下列各式的值:COSa+sιna ∑ ;sιna-3cosσ、 2sina+sin2a.+2cosa+cos2ais已知向量M=(L2),B=(-3,2).（1）求才4；(2)若向量d+/；與1_&/；互相垂直，求女的值..己知數(shù)列｛?！埃齅l=2,α?=S"*?=44+1—3an.(1)令。求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；(2)若Cn=nbιl,求數(shù)列｛q,｝的前〃項和S”..如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1m，圓心角為g的扇形白鐵片AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ,使點P在圓弧AB上，點。在OA上，點、M、N在OB上,設(shè)4QP=<9,平行四邊形MNP。的面積為S.(1)求S關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值及相應(yīng)的e角..已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S“ .2(1)求數(shù)列｛〃“｝通項公式；(2)設(shè)a=/,T“為數(shù)列｛a｝的前"項和.試問：是否存在關(guān)于〃的整式g(〃)，使得(+4+…+<=(。+「1)Y(〃)恒成立(其中"∈N且〃≥1),若存在，寫出g(〃)的解析式，并加以證明：若不存在，說明理由.上海市上海中學(xué)東校2021-2022學(xué)年高一下期末

數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題滿分36分，本大題共有12題).小 COSa=一1.己知α是第四象限角，〃(至-4)是角α終邊上的一個點，若5,則X=【答案】3【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.X3【詳解】解：由題意可得χ>0,且CoSa=’『==三，解得χ二3?√x2+163故答案為：3..在等差數(shù)列｛%｝中，q=1,公差d=2,則生=.【答案】13【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：因為q=1,公差d=2,所以%=al+6d=13.故答案為：13.r乃、3,函數(shù)/(X)=3Sln2x--的最小正周期為.【答案】乃【分析】直接應(yīng)用正弦型最小正周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)/W=3sιn的最小正周期T=K=乃故答案為：咒.己知不=(1,3)萬=(—4,8),則方在G方向上的數(shù)量投影為【答案】2曬【分析】根據(jù)投影定義求解即可.【詳解】解：由下=(L3),』=(-4,8),得a=y∕10,b=4>∕5,6f?b=20,所以B在后方向上的數(shù)量投影為人」=2曬.故答案為：2JE..若-1,X,y,z,-9（X、），、ZER）是等比數(shù)列，則實數(shù)）'=.【答案】-3【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接計算即可得出結(jié)果.【詳解】-1,X,y,z,-9（X、），、ZER）是等比數(shù)列，.?.（-l）χ（-9）=XZ=y?解得：y=±3.又??./=—y,則＞=-3.故答案為：一3.已知數(shù)列｛%｝是公比為4的無窮等比數(shù)列，且J型（《+%+…+%）=；,則2%+q=【答案】1【分析】由無窮等比數(shù)列極限的求法可直接構(gòu)造等式，整理即可得到結(jié)果.【詳解】??Tιm（%+%+…+4"）=7^=（,???2q=l-9,即2q+q=L5 1-q2故答案為：1..已知平面向量不，6,滿足同=ι,WI=1,且后，B的夾角為g,則慟+6=【答案】√7【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出小6,再根據(jù)忸+*J（2U+町及數(shù)量積的運算律計算可得；1 Tr【詳解】解：因為同=1,b=1,且小5的夾角為所以1?B=忖卜WcosC=IxIxJ=I,3 22所以25+6=J（2M+6）=y∣4ci*123+4ci?b+b2=^4∣^∣2+4λ?5+∣5∣=^4×12+4×i+l2=近故答案為：J7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+[+：+…+?τJ<∕(")(“≥2,〃gN,)的過程23λ—1中，由〃=Z到〃=&+1時，左邊增加了項；【答案】2*【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的知識，判斷出增加的項數(shù).【詳解】當(dāng)〃二女時，不等式左邊為l+L+L+???+r^;232a-1當(dāng)”二〃+1時，不等式坐標(biāo)為ι+g+g+…+尹—+/+止工+…+開工J；故增加的項數(shù)為21一1一(2"-l)=2x2*-2*=2t故答案為：2a【點睛】本小題主要考杳數(shù)學(xué)歸納法的知識，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題..在δA5C中，“4=8”是"sm2A=sm26”的條件.【答案】充分不必要【分析】在δA5C中，先化簡sιn2A=sιn25,再根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在δA5C中，由sm2A=sm26,可得2A=26或2A+2B=%,即A=B或4+3=2，2所以“A=5”是“sm2A=sm25”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要..已知｛凡｝和｛4｝均為等差數(shù)列,若見+4=6,q+包=9,則凡+b的值是.【答案】12【分析】設(shè)數(shù)列｛4｝和｛”｝的公差分別為4,4，根據(jù)題意可求得4+小，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列｛%｝和他“｝的公差分別為4,4，由02+4=6,λ4+?=9,得2d1+Id2=3,所以％+4=2+24+65+24=12.故答案：12..已知點G是δA5C的重心，過點G作直線與A8,AC兩邊分別交于M、N兩點，且AM=inAB.AN=∏AC,hi>0/>0，則3m+5n的最小值是.【答案】8+2√1532【分析】延長AG交6C于點O,則點。為5C的中點，且AG=§4。，將宿用ANi、AN表示,再根據(jù)M,N,G三點共線，可得〃?,〃的等量關(guān)系，再利用等量代換結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：延長AG交5C于點。，2則點。為BC的中點，且AG=H4。，又因為AΛf=mAB,AN=nAC.ιn>0√?>O，所以a1也+越31innJ1——. 1—，=——4M+——AN,

3>m 3〃因為M,N,G三點共線,所以‘一+」-=1,3加3〃則3m+5n=1 1A F一\3m3〃J/ \8(37W+5/7)=-+8+2√153當(dāng)且僅當(dāng)號=?即〃=牛,〃7=丁時，取等號,所以3〃?+5〃的最小值是W店.已知數(shù)列｛%｝滿足%+∣+(T)"1∕=3"-I,S〃是數(shù)列｛g｝的前〃項和，則a””一4【答案】6072【分析】分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,即當(dāng)〃=2k,k∈N*時，有.生e—〃*=6k—1,。*+3一=6女+5,當(dāng)“=2k-l,k∈N"時,有a2k+α2jt.1=6k-402*+2+π2*+l=6k+29從而可得〃*+3一%J=I2，即可得出答案.【詳解】解：由。皿+(-1)〃+%〃=3〃一I,當(dāng)〃=2k,k∈N"時，有^72?+i-a2k=6k-l,a2k^5-a2jt+2=6k+5,當(dāng)〃=2k—1,k∈N"時，有?％jt+=6左一4,a2k4r2+^2jt+1=6/:+2,所以a2kjr2+a2k=3,*=12—5,〃“+3+^2?+l=12”+7,作差可得?一的tτ=12,所以a2025=(a2O25~df2021)+(6,2021^^β2O17)+(“2017—6,201b)-1 FaI=I2x506+Cli,所以生。25一%=6072.故答案：6072.二、選擇題（本大題滿分16分，本大題共有4題）.下列結(jié)論中，正確的是（）A零向量只有大小沒有方向B.?AB?=?BA?C.對任一向量3，臼>0總是成立的 D"而I與線段￡4的長度不相等【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案.【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤：由于與與麗方向相反，長度相等，故B正確；因為零向量的模為0,故C錯誤；|貓|與線段64的長度相等，故D錯誤.故選:B..函數(shù)/（x）=ASlnwX+協(xié)，（其中4>0，?φ?<~^其圖象如圖所示，為了得到g（x）=-ACOS的的圖象，可以將/（x）的圖象（）C向左平移專個單位長度5乃B.向右平移二個單位長度12D.向左平移W個單位長度12【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)所過的特殊點和正弦最小正周期公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦型函數(shù)的變換性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知：4=1，函數(shù)過(?,0),(營,一1)兩點，設(shè)“x)=ASin(Ox+0)的最小正周期為丁，因為3>0,所以有T=而COHE=TS因此一二2,即/(x)=sm(2x+e),因fjj=0?2萬所以/(x)=Sin3+^∣=0=>^-+^=kπ{k∈Z),因為閘<￡,

√? 2ππ所以k=l,即O=g,因此/(x)=Sml2x+f]=sm[2(x+1)],

3 V37 633而g(x)=-Acosωx=-cos2x=sin(2x-?)=sin[2(%-夕],5兀而〃x)=sin(2x+g=sin[2(x+12：)],因此該函數(shù)向右平移工個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,故選：B.某病毒研究所為了更好地研究，新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高28萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高112萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過IlOO萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要()A.2806萬元 B,2906萬元 C.3106萬元 D.3206萬元【答案】A｛a,一名=28【分析】設(shè)每個實驗室的裝修費用為%,設(shè)備費為4，依據(jù)題意可得《 --聯(lián)?a1-a4=112立求解可得可應(yīng)的值，根據(jù)每個實驗室的改建費用不能超過IloO萬元，可求解工取值范I韋I,再利用等比數(shù)列的求和公式可求解總費用，即得解.【詳解】設(shè)每個實驗室的裝修費用為X萬元,設(shè)備費為勺萬元("=1,2,3,…,10),則%-g=28,且%-%=112,解得q=q=2,故《0=1024.依題意,x+1024≤1100t即x≤76,所以，總費用為:1Ox+q+。，+…+=1Ox+2?(l-21°)

^^1≡2^^=10.v+2046≤2806?故選：A.5 1 1 116.數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=一,anu=crn-an+l,"∈N*,則一+—+…+ 的整數(shù)部4 cιla2 a2022分是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用裂項相消法求和即可得到Ill)I ,—+—+?--+——=4 再先判斷為≥%τ≥???≥q>l,通過計算可判斷出qa2a2Q22 ∏2023-1。期3>2,即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列｛qj滿足∕=；,1=Cln+1，/`1所以“”(…)，即KF?！币?%11111所以一=

0.11n+l~?所以%—1011111111 1 F...H a.a,aX 一2022 1 F...H 4—1 。、一1 。、一1 %一1^=4.，Tβ2023-1 生023—1又因為%+「%=X-2%+1=a—I)?≥O,即?+1≥an,所以*%≥???≥a1八所以?！戳苷肌???≤=542116361 103441=，%=256 65536a5≈1.911a6≈2.74>2,/.?2023>%>2,即。M3-1>1，°<“2023—?.?.4-一∈(3,4),a2023~?1 11因此一+—+…+——的整數(shù)部分是3.aL aI 02022故選：C.三、解答題（本大題滿分48分，本大題共有5題）17.己知tana=-；,求下列各式的值:(1)COSa+sιna

sιna-3cosσ(2)2sina+sin2。1+2CoSa+cos2a【答案】（1）-?7【分析】（1）直接利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）先利用二倍角公式化簡，然后計算即可.【小問1詳解】cosσ+sina1+tana?1Sina-3cosatan<z-3 7一廠【小問2詳解】2sm<z+sm2a 2sina+2sinacosa2sιna(l+cosa)λ1 - = =tanct———1+2cosa+cosla1+2cosa+2COS-a-i2cosa(l+cosa) 2IS.己知向量d=(L2),5=(-3,2).(1)求萬?B：(2)若向量值+/:與心互相垂直，求k的值.3【答案】(1)1 (2)-【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算即可；(2)根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)可得到伍+5)?伍-kb)=O,計算即可求解.【小問1詳解】由Q=(1,2),5=(-3,2),.?Zb=lx(-3)+2x2=-3+4=1.【小問2詳解】若向量ci+B與汗—互相垂直，^(a+b)?a-kb)=a2-kb2+(l-k)a?b=5-l3k+l-k=0t3所以女二一.719.已知數(shù)列｛4｝,%=2,a2=5,4+2=4all+l-3an.(1)令求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；(2)若Cn=nbn,求數(shù)列｛?1｝的前〃項和Sn.(1 1? 3【答案】(1)見解析⑵，=不〃-73π+1+-幺 4J 4【分析】(1)根據(jù)遞推公式證明為定值即可;(2)利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】證明：因為?！?2=4?！?1—3%，所以?！?2一4”+1=3(?！?]—?！?，即"+]=3",又4=%-4=3,所以數(shù)列｛a｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】解：由(1)得4+i-4=3?3"T=3",CL4=〃?3",則S“=3+2x3:+3x33+,..+小3”,3S〃=32+2χ3?3χ3、…+〃?3"。兩式相減得-2S=3+32+33+???+3,'-h?3〃M='I)-n

〃 1-31,3n+1=∣i-∕7∣3zi+1-2,U2所以s〃=(1一〃一U1?3

-3w+1+-.4；420.如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為hn,圓心角為△的扇形白鐵片AO5上剪出一個平行四邊形3MNP。，使點夕在圓弧八5上，點。在OA上，點”,N在08上，設(shè)4OP=8,平行四邊形MNP。的面積為S.（1）求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;（2）求S的最大值及相應(yīng)的e角.【答案】(1)S=LSIn2。+巫cos26?e∈θ32 6 3（2）S的最大值為且nf，此時夕=二6 6【分析】（1）分別過P,。作夕。，。5于O,QELOB于E,則四邊形。EDP為矩形,則MN=QP=ED9直接利用平行四邊形的面積公式求解即可.（2）利用輔助角公式恒等變形求其最值即可.【小問1詳解】分別過P,。作PD,O5于。，QE于E,則四邊形QEoP為矩形.由扇形半徑為1m,得Pz）=Sm，，OD=cosΘ.在Rt△。七。中,OE=與QE=與PD,MN=QP=ED=OD-OE=cosθ一。Sinθ,S=MN?PD=(cosθ-?γ-siιιθ)sin=siιιcosθ-siιι2