生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 教案

生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)和技能目標(biāo)

（1）使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；（2）提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．2．過(guò)程和方法目標(biāo)

（1）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；

3．情感態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)

(1)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。二、教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法.用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最值的方法步驟教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)最值的理解及與極值概念的區(qū)別與聯(lián)系.求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值三、學(xué)情分析生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題．四、教學(xué)方法師生互動(dòng)探究式教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案知識(shí)應(yīng)用，深化理解例1．海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為。求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【背景知識(shí)】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問(wèn)題：（1）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（2）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是令解得（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低．（1）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值．（2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大．換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時(shí)，，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最?。?．磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．（1）是不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？（2）為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量×（1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大．（2）為求的最大值，計(jì)算．令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省七、當(dāng)堂檢測(cè)1.某出版社出版一讀物，一頁(yè)上所印文字占去150cm2，上、下要留空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁(yè)面？分析：設(shè)所印文字區(qū)域的左右長(zhǎng)為xcm，確定紙張的長(zhǎng)與寬，表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．設(shè)所印文字區(qū)域的左右長(zhǎng)為xcm，則上下長(zhǎng)為cm，所以紙張的左右長(zhǎng)為(x+2)cm，上下長(zhǎng)為()cm，所以紙張的面積S=(x+2)()=3x++156．所以S′=，令S′=0解得x=10．當(dāng)x＞10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜10時(shí)，S單調(diào)遞減．所以當(dāng)x=10時(shí)，Smin=216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長(zhǎng)為12cm，上下長(zhǎng)為18cm．故當(dāng)紙張的邊長(zhǎng)分別為12cm，18cm時(shí)最節(jié)約．2.一書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書15萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊(cè)書存放一年要耗庫(kù)費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊(cè)，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y元，由于該書均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當(dāng)x＝15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一，故當(dāng)x＝15時(shí)，y取