整式的乘法與因式分解

第十四章整式的乘法與因式分解14．1整式的乘法14．同底數(shù)冪的乘法基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．下列各項(xiàng)中，兩個冪是同底數(shù)冪的是(D)A．x2與a2 B．(－a)5與a3C．(x－y)2與(y－x)2 D．－x2與x32．(株洲中考)計(jì)算a2·a4的結(jié)果為(C)A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)6 D．a(chǎn)83．(呼倫貝爾中考)化簡(－x)3(－x)2，結(jié)果正確的是(D)A．－x6 B．x6 C．x5 D．－x54．(福州中考)下列算式中，結(jié)果等于a6的是(D)A．a(chǎn)4＋a2 B．a(chǎn)2＋a2＋a2 C．a(chǎn)2·a3 D．a(chǎn)2·a2·a25．計(jì)算：103×104×10＝108．6．計(jì)算：(1)a·a9；解：原式＝a1＋9＝a10.(2)(－eq\f(1,2))2×(－eq\f(1,2))3；解：原式＝(－eq\f(1,2))2＋3＝(－eq\f(1,2))5＝－eq\f(1,32).(3)(－a)·(－a)3；解：原式＝(－a)1＋3＝(－a)4＝a4.(4)x3n·x2n－2.解：原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2.知識點(diǎn)2靈活運(yùn)用法則計(jì)算7．若27＝24·2x，則x＝3．8．(大慶中考)若am＝2，an＝8，則am＋n＝16．易錯點(diǎn)對同底數(shù)冪的乘法法則理解不透而致錯9．請分析以下解答過程是否正確，如不正確，請寫出正確的解答過程．計(jì)算：(1)x·x3；(2)(－x)2·(－x)4；(3)x4·x3.解：(1)x·x3＝x0－3＝x3；(2)(－x)2·(－x)4＝(－x)6＝－x6；(3)x4·x3＝x4×3＝x12.解：(1)(2)(3)的解答過程均不正確，正確的解答過程如下：(1)x·x3＝x1＋3＝x4；(2)(－x)2·(－x)4＝(－x)2＋4＝(－x)6＝x6；(3)x4·x3＝x4＋3＝x7.中檔題10．式子a2m＋3不能寫成(C)A．a(chǎn)2m·a3 B．a(chǎn)m·am＋3 C．a(chǎn)2m＋3 D．a(chǎn)m＋1·am＋211．已知a2·ax－3＝a6，那么x的值為7．12．若8×23×32×(－2)8＝2x，則x＝19．13．計(jì)算：(1)－x2·(－x)4·(－x)3；解：原式＝－x2·x4·(－x3)＝x2·x4·x3＝x9.(2)(m－n)·(n－m)3·(n－m)4.解：原式＝－(n－m)·(n－m)3·(n－m)4＝－(n－m)1＋3＋4＝－(n－m)8.14．已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．解：4x·4y＝8×32＝256＝44，而4x·4y＝4x＋y，∴x＋y＝4.冪的乘方基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．(自貢中考)計(jì)算(x4)2等于(B)A．x6 B．x8 C．x16 D．2x42．(安徽中考)計(jì)算(－a3)2的結(jié)果是(A)A．a(chǎn)6 B．－a6 C．－a5 D．a(chǎn)53．在下列各式的括號內(nèi)，應(yīng)填入b4的是(C)A．b12＝()8 B．b12＝()6C．b12＝()3 D．b12＝()24．化簡a4·a2＋(a3)2的結(jié)果是(C)A．a(chǎn)8＋a6B．a(chǎn)6＋a9C．2a6D．a(chǎn)125．計(jì)算：(1)(102)8；解：原式＝102×8＝1016.(2)(xm)2；解：原式＝xm·2＝x2m.(3)[(－a)3]5；解：原式＝(－a)3×5＝(－a)15＝－a15.(4)(am＋1)2.解：原式＝a2(m＋1)＝a2m＋2.知識點(diǎn)2靈活運(yùn)用法則計(jì)算6．已知a＝－33，b＝(－3)3，c＝(23)4，d＝(22)6，則下列a，b，c，d四者關(guān)系的判斷，正確的是(A)A．a(chǎn)＝b，c＝d B．a(chǎn)＝b，c≠dC．a(chǎn)≠b，c＝d D．a(chǎn)≠b，c≠d7．已知(am)n＝3，則(an)m＝3，(an)3m＝27，a4mn＝81．8．已知：10m＝3，10n＝2，求(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n的值．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.(2)102n＝(10n)2＝22＝4.(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.易錯點(diǎn)對冪的乘方法則理解不透而致錯9．下列四個算式中正確的有(C)①(a4)4＝a4＋4＝a8；②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；③[(－x)3]2＝(－x)6＝x6；④(－y2)3＝y(tǒng)6.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個中檔題10．9m·27n可以寫為(C)A．9m＋3n B．27m＋3n C．32m＋3n D．33m＋2n11．計(jì)算：(1)(－a2)3·a3＋(－a)2·a7－5(a3)3；解：原式＝－a6·a3＋a2·a7－5a9.＝－a9＋a9－5a9.＝－5a9.(2)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2.解：原式＝(x＋y)18＋(x＋y)18＝2(x＋y)18.12．(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.綜合題13．(1)已知2×8x×16x＝222，求x的值；(2)已知(27x)2＝38，求x的值．解：(1)∵2×8x×16x＝21＋3x＋4x＝21＋7x＝222，∴1＋7x＝22.解得x＝3.(2)∵(27x)2＝36x＝38，∴6x＝8，解得x＝eq\f(4,3).

積的乘方基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．(烏魯木齊中考)計(jì)算(ab2)3的結(jié)果是(D)A．3ab2 B．a(chǎn)b6 C．a(chǎn)3b5 D．a(chǎn)3b62．(大連中考)計(jì)算(－2a3)2的結(jié)果是(D)A．－4a5 B．4a5 C．－4a6 D．4a63．(臨沂中考)下列計(jì)算正確的是(D)A．－(a－b)＝－a－b B．a(chǎn)2＋a2＝a4C．a(chǎn)2·a3＝a6 D．(ab2)2＝a2b44．計(jì)算：(1)(2ab)3；解：原式＝23·a3·b3＝8a3b3.(2)(－3x)4；解：原式＝(－3)4·x4＝81x4.(3)(xmyn)2；解：原式＝(xm)2·(yn)2＝x2my2n.(4)(－3×102)4.解：原式＝(－3)4×(102)4＝81×108＝×109.知識點(diǎn)2靈活運(yùn)用法則計(jì)算5．填空：45×5＝(4×5＝15＝1.6．如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝ab．7．計(jì)算：(－eq\f(2,5))2018×(eq\f(5,2))2018.解：原式＝[(－eq\f(2,5))×eq\f(5,2)]2018＝(－1)2018＝1.易錯點(diǎn)對積的乘方法則理解不透而致錯8．指出下列的計(jì)算哪些是對的，哪些是錯的，并將錯誤的改正．(1)(ab2)2＝ab4；(2)(3cd)3＝9c3d3；(3)(－3a3)2＝－9a6；(4)(－x3y)3＝－x6y3.解：(1)(2)(3)(4)都是錯的．改正如下：(1)(ab2)2＝a2b4；(2)(3cd)3＝27c3d3；(3)(－3a3)2＝9a6；(4)(－x3y)3＝－x9y3.中檔題9．如果(ambn)3＝a9b12，那么m，n的值為(B)A．m＝9，n＝4 B．m＝3，n＝4C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝610．一個立方體的棱長是×102cm，則這個立方體的體積為×106cm3.(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)11．計(jì)算：(1)[(－3a2b3)3]2；解：原式＝[(－3)3×(a2)3×(b3)3]2＝(－27a6b9)2＝729a12b18.(2)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3；解：原式＝64x6y12－27x6y12＝37x6y12.(3)(－eq\f(1,4))2018×161008.解：原式＝(－eq\f(1,4))2×(－eq\f(1,4))2016×42016＝(－eq\f(1,4))2×(－eq\f(1,4)×4)2016＝(－eq\f(1,4))2×1＝eq\f(1,16).12．已知n是正整數(shù)，且x3n＝2，求(3x3n)3＋(－2x2n)3的值．解：(3x3n)3＋(－2x2n)3＝33×(x3n)3＋(－2)3×(x3n)2＝27×8＋(－8)×4＝184.綜合題13．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，試探究a2，b，c之間有什么關(guān)系．解：∵20n＝(22×5)n＝22n×5n＝(2n)2×5n＝a2b，且20n＝c，∴c＝a2b.小專題13冪的運(yùn)算的應(yīng)用類型1利用冪的運(yùn)算法則計(jì)算1．下列運(yùn)算中，正確的是(A)A．x3·x3＝x6 B．3x2＋2x3＝5x5C．(x2)3＝x5 D．(ab)3＝a3b2．(泰州中考)下列運(yùn)算正確的是(C)A．a(chǎn)3·a3＝2a6 B．a(chǎn)3＋a3＝2a6C．(a3)2＝a6 D．a(chǎn)6·a2＝a33．計(jì)算：(－am)5·an＝(D)A．－a5＋m B．a(chǎn)5＋m C．a(chǎn)5m＋n D．－a5m＋n4．計(jì)算：(1)(－a2)3＋(－a3)2－a2·a3；解：原式＝－a6＋a6－a5＝－a5.(2)a·a2·a3＋(a3)2－(2a2)3.解：原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.類型2逆用冪的運(yùn)算法則5．已知ax＝－2，ay＝3.求：(1)ax＋y的值；(2)a3x的值；(3)a3x＋2y的值．解：(1)ax＋y＝ax·ay＝－2×3＝－6.(2)a3x＝(ax)3＝(－2)3＝－8.(3)a3x＋2y＝(a3x)·(a2y)＝(ax)3·(ay)2＝(－2)3·32＝－8×9＝－72.6．計(jì)算：018×(－82019)．解：原式＝(eq\f(1,8))2018×(－82018×8)＝(eq\f(1,8))2018×(－82018)×8＝－(eq\f(1,8)×8)2018×8＝－1×8＝－8.7．已知a＝814，b＝2565，c＝647，試比較a，b，c的大小．解：a＝814＝(23)14＝242，b＝2565＝(28)5＝240，c＝647＝(26)7＝242.∴a＝c＞b.8．已知2a＝m，2b＝n，3a＝p(a，b都是正整數(shù))，用含m，n或p的式子表示下列各式：(1)4a＋b；(2)6a.解：(1)4a＋b＝4a·4b＝(22)a·(22)b＝(2a)2·(2b)2＝m2n2.(2)6a＝(2×3)a＝2a×3a＝mp.整式的乘法第1課時單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．計(jì)算2x2·3x3的結(jié)果是(D)A．－6x6 B．6x6 C．－6x5 D．6x52．計(jì)算：(1)(上海中考)2a·a2＝2a3；(2)(－2a)·(eq\f(1,4)a3)＝－eq\f(1,2)a4．3．一個直角三角形的兩直角邊的長分別是2a和3a，則此三角形的面積是3a2；當(dāng)a＝2時，這個三角形的面積等于12．4．計(jì)算：(1)2x2y·(－4xy3z)；解：原式＝[2×(－4)](x2·x)·(y·y3)·z＝－8x3y4z.(2)5a2·(3a3)2；解：原式＝5a2·9a6＝45a8.(3)(－eq\f(1,2)x2y)3·(2xy2)2.解：原式＝－eq\f(1,8)x6y3·4x2y4＝－eq\f(1,2)x8y7.知識點(diǎn)2運(yùn)用法則解決問題5．如圖為小李家住房的結(jié)構(gòu)圖，小李打算把臥室和客廳鋪上木地板，請你幫他算一算(單位：m)，他至少應(yīng)買木地板(A)A．12xym2B．10xym2C．8xym2D．6xym26．某市環(huán)保局欲將一個長為2×103dm，寬為4×102dm，高為8×10dm的長方體廢水池中的滿池廢水注入正方體儲水池凈化，求長方體廢水池的容積．解：(2×103)×(4×102)×(8×10)＝×107(dm3)．答：長方體廢水池的容積是×107dm3.易錯點(diǎn)混淆冪的運(yùn)算法則，弄錯運(yùn)算順序而出錯7．計(jì)算：(1)(－2a2)·(－ab2)3·(2a2b3)；解：原式＝－2a2·(－a3b6)·(2a2b3)＝[－2×(－1)×2]a2＋3＋2b6＋3＝4a7b9.(2)－eq\f(1,2)x5y2·(－4x2y)2.解：原式＝－eq\f(1,2)x5y2·16x4y2＝－8x9y4.中檔題8．計(jì)算：(1)(－3x2y)2·(－eq\f(2,3)xyz)·eq\f(3,4)xz2；解：原式＝9x4y2·(－eq\f(2,3)xyz)·eq\f(3,4)xz2＝－eq\f(9,2)x6y3z3.(2)(－4ab3)(－eq\f(1,8)ab)－(eq\f(1,2)ab2)2.解：原式＝eq\f(1,2)a2b4－eq\f(1,4)a2b4＝eq\f(1,4)a2b4.9．先化簡，再求值：2x2y·(－2xy2)3＋(2xy)3·(－xy2)2，其中x＝4，y＝eq\f(1,4).解：原式＝－2x2y·8x3y6＋8x3y3·x2y4＝－16x5y7＋8x5y7＝－8x5y7.當(dāng)x＝4，y＝eq\f(1,4)時，原式＝－eq\f(1,2).綜合題10．已知單項(xiàng)式9am＋1bn＋1與－2a2m－1b2n－1的積與5a3b6是同類項(xiàng)，求m，n的值．解：(9am＋1bn＋1)·(－2a2m－1b2n－1)＝9×(－2)·am＋1·a2m－1·bn＋1·b2n－1＝－18a3mb3n.∵－18a3mb3n與5a3b6是同類項(xiàng)，∴3m＝3，3n＝6.解得m＝1，n＝2.第2課時單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．(湖州中考)計(jì)算2x(3x2＋1)正確的結(jié)果是(C)A．5x3＋2x B．6x3＋1C．6x3＋2x D．6x2＋2x2．計(jì)算：a(a－1)－a2＝－a．3．計(jì)算：(1)(2xy2－3xy)·2xy；解：原式＝2xy2·2xy－3xy·2xy＝4x2y3－6x2y2.(2)－x(2x＋3x2－2)．解：原式＝－x·2x＋(－x)·3x2＋(－x)·(－2)＝－2x2－3x3＋2x.知識點(diǎn)2運(yùn)用法則解決問題4．若一個長方體的長、寬、高分別為2x，x，3x－4，則該長方體的體積為(C)A．3x3－4x2 B．6x2－8x C．6x3－8x2 D．6x3－8x5．今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：－3xy(4y－2x－1)＝－12xy2＋6x2y＋□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫(A)A．3xy B．－3xy C．－1 D．16．要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，則a，b的值分別為(C)A．a(chǎn)＝－2，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝2C．a(chǎn)＝2，b＝－2 D．a(chǎn)＝－2，b＝27．化簡求值：3a(a2－2a＋1)－2a2(a－3)，其中a＝2.解：原式＝3a3－6a2＋3a－2a3＋6a2＝a3＋3a.當(dāng)a＝2時，原式＝23＋3×2＝14.易錯點(diǎn)對單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則理解不透而出錯8．下列運(yùn)算中，正確的是(D)A．－2x(3x2y－2xy)＝－6x3y－4x2yB．2xy2(－x2＋2y2＋1)＝－4x3y4C．(3ab3－2ab)·abc＝3a2b3－2a2b2D．(ab)2(2ab2－c)＝2a3b4－a2b2c中檔題9．方程3x(7－x)＝18－x(3x－15)的解為x＝3．10．計(jì)算：(1)(－eq\f(1,2)ab)(eq\f(2,3)ab2－2ab＋eq\f(4,3)b＋1)；解：原式＝(－eq\f(1,2)ab)·eq\f(2,3)ab2＋(－eq\f(1,2)ab)·(－2ab)＋(－eq\f(1,2)ab)·eq\f(4,3)b＋(－eq\f(1,2)ab)×1＝－eq\f(1,3)a2b3＋a2b2－eq\f(2,3)ab2－eq\f(1,2)ab.(2)3ab(a2b－ab2－ab)－ab2(2a2－3ab＋2a)．解：原式＝3a3b2－3a2b3－3a2b2－2a3b2＋3a2b3－2a2b2＝a3b2－5a2b2.11．已知ab2＝－1，求(－ab)(a2b5－ab3－b)的值．解：原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2.當(dāng)ab2＝－1時，原式＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1.綜合題12．某同學(xué)在計(jì)算一個多項(xiàng)式乘－3x2時，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－eq\f(1,2)x＋1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？解：設(shè)這個多項(xiàng)式為A，則A＋(－3x2)＝x2－eq\f(1,2)x＋1，∴A＝4x2－eq\f(1,2)x＋1.∴A·(－3x2)＝(4x2－eq\f(1,2)x＋1)(－3x2)＝－12x4＋eq\f(3,2)x3－3x2.第3課時多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用法則計(jì)算1．計(jì)算(2x－1)(5x＋2)的結(jié)果是(D)A．10x2－2 B．10x2－5x－2C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－22．填空：(2x－5y)(3x－y)＝2x·3x＋2x·(－y)＋(－5y)·3x＋(－5y)·(－y)＝6x2－17xy＋5y2.3．計(jì)算：(1)(2a＋b)(a－b)＝2a2－ab－b2；(2)(x－2y)(x2＋2xy＋4y2)＝x3－8y3．4．計(jì)算：(1)(m＋1)(2m－1)；解：原式＝2m2－m＋2m－1＝2m2＋m－1.(2)(2a－3b)(3a＋2b)；解：原式＝6a2＋4ab－9ab－6b2＝6a2－5ab－6b2.(3)(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)；解：原式＝8x3＋12x2y＋18xy2－12x2y－18xy2－27y3＝8x3－27y3.(4)eq\f(1,2)(2x－y)(x＋y)．解：原式＝eq\f(1,2)(2x2＋xy－y2)＝x2＋eq\f(1,2)xy－eq\f(1,2)y2.5．先化簡，再求值：(2x－5)(3x＋2)－6(x＋1)(x－2)，其中x＝eq\f(1,5).解：原式＝6x2＋4x－15x－10－6x2＋12x－6x＋12＝－5x＋2.當(dāng)x＝eq\f(1,5)時，原式＝－5×eq\f(1,5)＋2＝1.知識點(diǎn)2多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用6．若一個長方體的長、寬、高分別是3x－4，2x－1和x，則它的體積是(B)A．6x3－5x2＋4x B．6x3－11x2＋4xC．6x3－4x2 D．6x3－4x2＋x＋47．為參加市里的“靈智星”攝影大賽，小陽同學(xué)將同學(xué)們參加“義務(wù)獻(xiàn)愛心”活動的照片放大為長為a厘米，寬為eq\f(3,4)a厘米的長方形形狀，又精心在四周加上了寬2厘米的裝飾彩框，那么小陽同學(xué)的這幅攝影作品照片占的面積是(eq\f(3,4)a2＋7a＋16)平方厘米．8．某校操場原來的長是2x米，寬比長少10米，現(xiàn)在把操場的長與寬都增加了5米，則整個操場面積增加了(20x－25)平方米．知識點(diǎn)3(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq9．(武漢中考)計(jì)算(x＋1)(x＋2)的結(jié)果為(B)A．x2＋2 B．x2＋3x＋2C．x2＋3x＋3 D．x2＋2x＋210．下列多項(xiàng)式相乘的結(jié)果為x2＋3x－18的是(D)A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x－9)C．(x＋3)(x－6) D．(x－3)(x＋6)11．若(x＋3)(x＋a)＝x2－2x－15，則a＝－5．12．計(jì)算：(1)(x＋1)(x＋4)；解：原式＝x2＋5x＋4.(2)(m－2)(m＋3)；解：原式＝m2＋m－6.(3)(y＋4)(y＋4)；解：原式＝y(tǒng)2＋8y＋16.(4)(t－3)(t＋3)．解：原式＝t2－9.中檔題13．已知M，N分別是二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式，則M·N(A)A．一定是五次多項(xiàng)式B．一定是六次多項(xiàng)式C．一定是不高于五次的多項(xiàng)式D．無法確定積的次數(shù)14．已知(x＋1)(x－3)＝x2＋ax＋b，則a，b的值分別是(B)A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝－2，b＝－3C．a(chǎn)＝－2，b＝3 D．a(chǎn)＝2，b＝－315．已知(4x－7y)(5x－2y)＝M－43xy＋14y2，則M＝20x2．16．已知a－b＝5，ab＝3，則(a＋1)(b－1)的值為－3．17．計(jì)算：(1)(－7x2－8y2)·(－x2＋3y2)；解：原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4＝7x4－13x2y2－24y4.(2)a(a－3)＋(2－a)(2＋a)；解：原式＝a2－3a＋4＋2a－2a－a2＝－3a＋4.(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)．解：原式＝3xy－9x2－2y2＋6xy－6x2－2xy＋3xy＋y2＝－15x2＋10xy－y2.18．化簡求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2.解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)＝x2＋xy－6y2－(2x2－9xy＋4y2)＝－x2＋10xy－10y2.當(dāng)x＝－1，y＝2時，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.19．小思同學(xué)用如圖所示的A，B，C三類卡片若干張，拼出了一個長為2a＋b、寬為a＋b的長方形圖形．請你通過計(jì)算求出小思同學(xué)拼這個長方形所用A，B，C三類卡片各幾張(要求：所拼圖形中，卡片之間不能重疊，不能有空隙)，并畫出他的拼圖示意圖．解：因?yàn)?2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，所以所用A，B，C三類卡片分別為3張，1張，2張，圖略(圖不唯一)．綜合題20．已知將(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)展開的結(jié)果不含x3和x2項(xiàng)．(m，n為常數(shù))(1)求m，n的值；(2)在(1)的條件下，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．解：(1)原式＝x5－3x4＋4x3＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4n＝x5－3x4＋(4＋m)x3＋(－3m＋n)x2＋(4m－3n)x＋4n.∵不含x3和x2項(xiàng)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋m＝0，,－3m＋n＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－12.))(2)(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3.當(dāng)m＝－4，n＝－12時，原式＝m3＋n3＝(－4)3＋(－12)3＝－1792.

第4課時整式的除法基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1同底數(shù)冪的除法1．(重慶中考)計(jì)算x6÷x2正確的是(C)A．3 B．x3C．x4 D．x82．下列計(jì)算結(jié)果為x5的是(B)A．x3＋x2 B．x6÷x C．(x2)3 D．x7－x23．計(jì)算：(1)(－2)6÷25＝2；(2)(ab)5÷(ab)2＝a3b3．4．計(jì)算：(1)(－a)6÷(－a)2；解：原式＝(－a)4＝a4.(2)x13÷x2÷x5；解：原式＝x6.(3)(x－y)5÷(y－x)2.解：原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3.知識點(diǎn)2零指數(shù)冪5．計(jì)算50的結(jié)果是(B)A．0 B．1 C．50 D．56．若(a－2)0＝1，則a的取值范圍是(D)A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≠27．(淄博中考)計(jì)算|－8|－(－eq\f(1,2))0的值是(B)A．－7 B．7 C．7eq\f(1,2) D．98．(成都中考)計(jì)算：(eq\r(2017)－1)0＝1．知識點(diǎn)3單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式9．計(jì)算8x8÷(－2x2)的結(jié)果是(C)A．－4x2 B．－4x4 C．－4x6 D．4x610．(青島中考)計(jì)算6m6÷(－2m2)3的結(jié)果為(D)A．－m B．－1 \f(3,4) D．－eq\f(3,4)11．計(jì)算：(1)2x2y3÷(－3xy)；解：原式＝－eq\f(2,3)xy2.(2)10x2y3÷2x2y；解：原式＝5y2.(3)3x4y5÷(－eq\f(2,3)xy2)；解：原式＝－eq\f(9,2)x3y3.(4)×109)÷(－5×106)．解：原式＝－3×102.知識點(diǎn)4多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式12．計(jì)算(6x3y－3xy2)÷3xy的結(jié)果是(B)A．6x2－y B．2x2－y C．2x2＋y D．2x2－xy13．計(jì)算：(1)(6ab＋8b)÷2b＝3a＋4；(2)(9x2y－6xy2)÷3xy＝3x－2y．14．計(jì)算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；解：原式＝6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3＝3x2yz－2xz＋1.(2)(x5y3－2x4y2＋3x3y5)÷(－eq\f(2,3)xy)．解：原式＝x5y3÷(－eq\f(2,3)xy)－2x4y2÷(－eq\f(2,3)xy)＋3x3y5÷(－eq\f(2,3)xy)＝－eq\f(3,2)x4y2＋3x3y－eq\f(9,2)x2y4.中檔題15．(南京中考)計(jì)算106×(102)3÷104的結(jié)果是(C)A．103 B．107 C．108 D．10916．已知8a3bm÷8anb2＝b2，那么m，n的取值為(A)A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝1C．m＝1，n＝3 D．m＝2，n＝317．計(jì)算an＋1·an－1÷(an)2(a≠0)的結(jié)果是(A)A．1 B．0 C．－1 D．±118．如果xm＝4，xn＝8(m，n為自然數(shù))，那么x3m－n＝8．19．已知(x－5)x＝1，則整數(shù)x的值可能為0，6，4．20．計(jì)算：(1)(12x4y6－8x2y4－16x3y5)÷4x2y3；解：原式＝3x2y3－2y－4xy2.(2)(－eq\f(2,5)a2b4)÷(－eq\f(1,4)ab2)÷(－10ab)；解：原式＝－eq\f(4,25)b.(3)(eq\f(2,3)n3－7mn2＋eq\f(2,3)n5)÷eq\f(2,3)n2；解：原式＝n－eq\f(21,2)m＋n3.(4)－32a4b5c÷(－2ab)3·(－eq\f(3,4)ac)．解：原式＝－3a2b2c2.21．一顆人造地球衛(wèi)星的速度為×109m/h，一架噴氣式飛機(jī)的速度為×106m/h，這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機(jī)的速度的多少倍？解：×109)÷×106)＝÷×(109÷106)＝×103＝1600.答：這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機(jī)的速度的1600倍．22．(婁底中考)先化簡，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.當(dāng)x＝1，y＝－3時，原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.綜合題23．如圖1的瓶子中盛滿水，如果將這個瓶子中的水全部倒入圖2的杯子中，那么你知道一共需要多少個這樣的杯子嗎？(單位：cm)解：[π(eq\f(1,2)a)2h＋π(eq\f(1,2)×2a)2H]÷[π(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a)2×8]＝(eq\f(1,4)πa2h＋πa2H)÷eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πa2))＝eq\f(1,2)h＋2H.答：一共需要(eq\f(1,2)h＋2H)個這樣的杯子．

小專題14整式的化簡求值類型1整式的化簡1．計(jì)算：(1)(－2a2)(3ab2－5ab3)；解：原式＝－2a2·3ab2－2a2·(－5ab3)＝－6a3b2＋10a3b3.(2)(x－1)(x2＋x＋1)；解：原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1.(3)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)．解：原式＝6x2＋11xy－10y2－2x2＋6xy＝4x2＋17xy－10y2.2．計(jì)算：(1)(3x2y－6xy)÷6xy；解：原式＝3x2y÷6xy－6xy÷6xy＝eq\f(1,2)x－1.(2)(6m2n－6m2n2－3m2)÷(－3m2)；解：原式＝－2n＋2n2＋1.(3)(－2a2b)2·(3ab2－5a2b)÷(－ab)3.解：原式＝4a4b2·(3ab2－5a2b)÷(－a3b3)＝(12a5b4－20a6b3)÷(－a3b3)＝－12a2b＋20a3.3．計(jì)算：(1)(6x4－8x3)÷(－2x2)－(3x＋2)(1－x)；解：原式＝－3x2＋4x－3x＋3x2－2＋2x＝3x－2.(2)(a－2b)(a＋3b)＋(2a＋b)(2a＋b)．解：原式＝a2＋ab－6b2＋4a2＋4ab＋b2＝5a2＋5ab－5b2.類型2整式的化簡求值4．化簡求值：(1)(a－2)a－(a＋6)(a－2)，其中a＝－2；解：原式＝a2－2a－a2－4a＋12＝－6a＋12.當(dāng)a＝－2時，原式＝12＋12＝24.(2)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)，其中a＝－2，b＝eq\f(2,3)；解：原式＝a2－ab－2b2－(a2＋ab－2b2)＝a2－ab－2b2－a2－ab＋2b2＝－2ab.當(dāng)a＝－2，b＝eq\f(2,3)時，原式＝(－2)×(－2)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).(3)(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)，其中x滿足x2＋x－2018＝0.解：原式＝x2－2x＋1－x2＋3x＋x2－4＝x2＋x－3.∵x2＋x－2018＝0，∴x2＋x＝2018.∴原式＝2018－3＝2015.乘法公式14．平方差公式基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1平方差公式的幾何意義1．將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．2．如圖1，把一張長方形紙片沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2所示的圖形．圖1圖2(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的式子表示S1，S2；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式．解：(1)S1＝(a＋b)(a－b)，S2＝a2－b2.(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.知識點(diǎn)2直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算3．在下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是(B)A．(x＋1)(1＋x) B．(eq\f(1,2)a＋b)(b－eq\f(1,2)a)C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)4．計(jì)算：(1)(連云港中考)(a－2)(a＋2)＝a2－4；(2)(1－eq\f(1,2)a)(1＋eq\f(1,2)a)＝1－eq\f(1,4)a2．5．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(m＋2n)(m－2n)；解：原式＝m2－4n2.(2)(xy＋5)(xy－5)；解：原式＝x2y2－25.(3)(－4a＋3)(－4a－3)；解：原式＝(－4a)2－32＝16a2－9.(4)(－x－y)(x－y)．解：原式＝(－y)2－x2＝y(tǒng)2－x2.知識點(diǎn)3平方差公式的運(yùn)用6．計(jì)算：(1)1007×993；解：原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝999951.(2)2017×2019－20182.解：原式＝(2018－1)×(2018＋1)－20182＝20182－1－20182＝－1.7．(寧波中考)先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(3－x)，其中x＝2.解：原式＝x2－1＋3x－x2＝3x－1.當(dāng)x＝2時，原式＝3×2－1＝5.易錯點(diǎn)對平方差公式的特征理解不透而致錯8．下列計(jì)算正確的是(C)A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2C．(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2D．(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2中檔題9．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，則(B)A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝310．計(jì)算(x2＋eq\f(1,4))(x＋eq\f(1,2))(x－eq\f(1,2))的結(jié)果為(B)A．x4＋eq\f(1,16) B．x4－eq\f(1,16)C．x4－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,16) D．x4－eq\f(1,8)x2＋eq\f(1,16)11．若(x＋3)(x－3)＝x2－mx－n，則m＝0，n＝9．12．計(jì)算：(1)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；解：原式＝(y2)2－(3x2)2＝y(tǒng)4－9x4.(2)(－3a－eq\f(1,2)b)(3a－eq\f(1,2)b)；解：原式＝(－eq\f(1,2)b)2－(3a)2＝eq\f(1,4)b2－9a2.(3)(a＋2b)(a－2b)－eq\f(1,2)b(a－8b)；解：原式＝a2－(2b)2－eq\f(1,2)ab＋4b2＝a2－eq\f(1,2)ab.(4)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)．解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.13．試說明：(eq\f(1,4)m3＋2n)(eq\f(1,4)m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值和n無關(guān)．解：原式＝(eq\f(1,4)m3)2－(2n)2＋(2n)2－42＝eq\f(1,16)m6－4n2＋4n2－16＝eq\f(1,16)m6－16.∴原式的值和n無關(guān)．14．解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2)．解：9x2－(6x2－4x＋3x－2)＝3(x2－4)，9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12，x＝－14.15．某中學(xué)為了響應(yīng)國家“發(fā)展體育運(yùn)動，增強(qiáng)人民體質(zhì)”的號召，決定建一個長方體游泳池，已知游泳池長為(4a2＋9b2)m，寬為(2a＋3b)m，深為(2a－3b)m，請你計(jì)算一下這個游泳池的容積是多少？解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b)＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2)＝16a4－81b4.答：這個游泳池的容積是(16a4－81b4)m3.綜合題16．(1)(百色中考改編)觀察下列各式的規(guī)律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4…可得到(a－b)(a2017＋a2016b＋…＋ab2016＋b2017)＝a2__018－b2__018；(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn(其中n為正整數(shù)，且n≥2)；(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算：29－28＋27－…＋23－22＋2.解：原式＝eq\f(1,3)[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋23×(－1)6＋22×(－1)7＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]＝eq\f(1,3)[210－(－1)10]＋1＝eq\f(1,3)(1024－1)＋1＝342.完全平方公式第1課時完全平方公式基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1完全平方公式的幾何意義1．利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是(C)A．a(chǎn)2－b2＝(a－b)2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)2．如圖，將完全相同的四個長方形紙片拼成一個正方形，則可得出一個等式為(D)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab知識點(diǎn)2直接利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算3．(懷化中考)下列計(jì)算正確的是(C)A．(x＋y)2＝x2＋y2B．(x－y)2＝x2－2xy－y2C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(x－1)2＝x2－14．(來賓中考)計(jì)算(2x－1)(1－2x)結(jié)果正確的是(C)A．4x2－1 B．1－4x2C．－4x2＋4x－1 D．4x2－4x＋15．計(jì)算：(1)(y＋3)2＝y(tǒng)2＋6y＋9；(2)(－4x＋eq\f(1,2))2＝16x2－4x＋eq\f(1,4)．6．直接運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(3＋5p)2；解：原式＝9＋30p＋25p2.(2)(7x－2)2；解：原式＝49x2－28x＋4.(3)(－2a－5)2；解：原式＝4a2＋20a＋25.(4)(－2x＋3y)2.解：原式＝4x2－12xy＋9y2.知識點(diǎn)3靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算7．已知xy＝10，(x－2y)2＝1，則(x＋2y)2的值為(C)A．21 B．9 C．81 D．418．已知a2＋b2＝7，ab＝1，則(a＋b)2＝9．9．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)2022；解：原式＝(200＋1)2＝2022＋2×200×1＋12＝40000＋400＋1＝40401.(2).解：原式＝(100－2＝1002－2×100×＋＝10000－40＋＝9.易錯點(diǎn)完全平方公式變形運(yùn)用時漏解而致錯10．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，則a－b等于(C)A．1 B．－1 C．1或－1 D．以上都不正確中檔題11．小萌在利用完全平方公式計(jì)算一個二項(xiàng)整式的平方時，得到正確結(jié)果4x2＋20xy＋，但不小心把最后一項(xiàng)染黑了，你認(rèn)為這一項(xiàng)是(D)A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y212．若(y＋a)2＝y(tǒng)2－6y＋b，則a，b的值分別為(D)A．a(chǎn)＝3，b＝9 B．a(chǎn)＝－3，b＝－9C．a(chǎn)＝3，b＝－9 D．a(chǎn)＝－3，b＝913．(淄博中考)若a＋b＝3，a2＋b2＝7，則ab等于(B)A．2 B．1 C．－2 D．－114．計(jì)算：(1)(a＋b)2－(a－b)2；解：原式＝(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab.(2)(a－b)2(a＋b)2；解：原式＝[(a－b)(a＋b)]2＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4.(3)(a－1)(a＋1)(a2－1)；解：原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2－1)2＝a4－2a2＋1.(4)(2x－y)2－4(x－y)(x＋2y)．解：原式＝4x2－4xy＋y2－4(x2＋2xy－xy－2y2)＝4x2－4xy＋y2－4x2－4xy＋8y2＝9y2－8xy.15．先化簡，再求值：2b2＋(a＋b)(a－b)－(a－b)2，其中a＝－3，b＝eq\f(1,2).解：原式＝2b2＋a2－b2－(a2－2ab＋b2)＝2b2＋a2－b2－a2＋2ab－b2＝2ab.當(dāng)a＝－3，b＝eq\f(1,2)時，原式＝2×(－3)×eq\f(1,2)＝－3.16．一個底面是正方形的長方體，高為6cm，底面正方形邊長為5cm.如果它的高不變，底面正方形邊長增加了acm，那么它的體積增加了多少？解：6(5＋a)2－6×52＝6(25＋10a＋a2)－6×25＝6×25＋60a＋6a2－6×25＝60a＋6a2.綜合題17．(安徽中考)觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)完成第四個等式：92－4×42＝17；(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并驗(yàn)證其正確性．解：第n個等式為(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.左邊＝(2n＋1)2－4n2＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1，右邊＝2(2n＋1)－1＝4n＋2－1＝4n＋1.∵左邊＝右邊，∴(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.第2課時添括號法則基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1添括號法則1．3ab－4bc＋1＝3ab－()，括號中所填入的整式應(yīng)是(C)A．－4bc＋1 B．4bc＋1C．4bc－1 D．－4bc－12．在下列去括號或添括號的變形中，錯誤的是(C)A．a(chǎn)－(b－c)＝a－b＋cB．a(chǎn)－b－c＝a－(b＋c)C．(a＋1)－(－b＋c)＝(－1＋b－a＋c)D．a(chǎn)－b＋c－d＝a－(b＋d－c)3．在括號里填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：(1)a＋2b－c＝a＋(2b－c)；(2)a－b－c＋d＝a－(b＋c－d)；(3)a－2b＋c＋d＝a－(2b－c－d)；(4)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－c)][a－(b－c)]；(5)2x2＋2y－2x＋1＝2x2＋(2y－2x＋1)；(6)2x＋3y－4z＋5t＝－(－2x－3y＋4z－5t)＝＋(2x＋3y－4z＋5t)＝2x－(－3y＋4z－5t)＝2x＋3y－(4z－5t)．4．已知2a－3b2＝5，則10－2a＋3b2＝10－(2a－3b2)＝5．知識點(diǎn)2添括號后運(yùn)用乘法公式計(jì)算5．為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(a－b＋c)(a＋b－c)，必須先適當(dāng)變形，下列各變形中，正確的是(D)A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]6．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(a＋b－c)2；解：原式＝a2＋2a(b－c)＋(b－c)2＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2.(2)(3a＋b－2)(3a－b＋2)．解：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.中檔題7．下列式子中有一個不能運(yùn)用乘法公式計(jì)算，這個算式是(D)A．(a＋b－c)(a－b＋c)B．(a－b－c)2C．(a－b)(a＋b)D．(2a＋b＋2)(a－2b－2)8．當(dāng)x＝1時，ax＋b＋1的值為－2，則(a＋b－1)(1－a－b)的值為(A)A．－16 B．－8 C．8 D．169．按下列要求給多項(xiàng)式－a3＋2a2－a＋1添括號．(1)使最高次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)；(2)把奇次項(xiàng)放在前面是“－”號的括號里，其余的項(xiàng)放在前面是“＋”號的括號里．解：(1)根據(jù)題意可得：－(a3－2a2＋a－1)．(2)根據(jù)題意可得：－(a3＋a)＋(2a2＋1)．10．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x－y＋z)2；解：原式＝[x－(y－z)]2＝x2－2x(y－z)＋(y－z)2＝x2－2xy＋2xz＋y2－2yz＋z2.(2)(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b)；解：原式＝[(2a＋3b)－1][(2a＋3b)＋1]＝(2a＋3b)2－1＝4a2＋12ab＋9b2－1.(3)(a＋b＋c)(a－b－c)＋(a＋b＋c)2.解：原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]＋[a＋(b＋c)]2＝a2－(b＋c)2＋a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2＝2a2＋2ab＋2ac.小專題15乘法公式的應(yīng)用類型1直接運(yùn)用乘法公式計(jì)算求值1．計(jì)算：(1)(2x＋5y)2；解：原式＝4x2＋20xy＋25y2.(2)(3m－n)(－3m－n)；解：原式＝n2－9m2.(3)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)＝(x2－4y2)(x2－4y2)＝x4－8x2y2＋16y4.(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.2．先化簡，再求值：(1)(河池中考)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1＝2x＋10.當(dāng)x＝2時，原式＝2×2＋10＝14.(2)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝eq\f(1,2).解：原式＝(x2＋4xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)－(x2－4y2)－4y2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2＝－x2＋8xy.當(dāng)x＝－2，y＝eq\f(1,2)時，原式＝－(－2)2＋8×(－2)×eq\f(1,2)＝－12.類型2運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算3．用簡便方法計(jì)算：(1)2022－401；解：原式＝(200＋1)2－401＝2022＋2×200×1＋12－401＝40000.(2)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)＋1＝28－1＋1＝256.類型3乘法公式的變形技巧1．a(chǎn)2＋b2的變形：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；(3)a2＋b2＝eq\f(1,2)[(a＋b)2＋(a－b)2]．2．a(chǎn)b的變形：(1)ab＝eq\f(1,2)[(a＋b)2－(a2＋b2)]；(2)ab＝eq\f(1,2)[(a2＋b2)－(a－b)2]；(3)ab＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．3．a(chǎn)±b的變式：(1)a±b＝(a2－b2)÷(a?b)；(2)（a＋b）2＝；(3)=（a＋b）2+4ab.4．已知a，b都是正數(shù)，a－b＝1，ab＝2，則a＋b＝(B)A．－3B．3C．±3D．95．若m2－n2＝6，且m－n＝3，則m＋n＝2．6．若x＋y＝3，xy＝1，則x2＋y2＝7．7．已知a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，則(a＋b)2＝25．8．填空：(1)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(3)(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．9．計(jì)算：(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．解：原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.10．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．解：(m－53)2＋(m－47)2＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)＝(－6)2＋48＝84.因式分解14．提公因式法基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1因式分解的定義1．下列式子是因式分解的是(C)A．x(x－1)＝x2－1B．x2－x＝x(x＋1)C．x2＋x＝x(x＋1)D．x2－x＝(x＋1)(x－1)2．(濱州中考)把多項(xiàng)式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是(B)A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝－2，b＝－3C．a(chǎn)＝－2，b＝3 D．a(chǎn)＝2，b＝－3知識點(diǎn)2運(yùn)用提公因式法因式分解3．多項(xiàng)式8m2n＋2mn的公因式是(A)A．2mn B．mn C．2 D．8m2n4．(自貢中考)多項(xiàng)式a2－4a分解因式，結(jié)果正確的是(A)A．a(chǎn)(a－4) B．(a＋2)(a－2)C．a(chǎn)(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－45．填空：×＋×－×＋10×＝×＋－＋10)＝1__710．6．用提公因式法因式分解：(1)3x3＋6x4；解：原式＝3x3(1＋2x)．(2)4a3b2－10ab3c；解：原式＝2ab2(2a2－5bc)．(3)－3ma3＋6ma2－12ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋4)．(4)6p(p＋q)－4q(p＋q)．解：原式＝2(p＋q)(3p－2q)．中檔題7．(威海中考)若m－n＝－1，則(m－n)2－2m＋2n的值是(A)A．3 B．2 C．1 D．－18．把多項(xiàng)式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，結(jié)果正確的是(C)A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1)C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1)9．(株洲中考)把多項(xiàng)式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，則m＝6，n＝1．10．將下列各式分解因式：(1)x4＋x3＋x；解：原式＝x(x3＋x2＋1)．(2)6x(a－b)＋4y(b－a)；解：原式＝6x(a－b)－4y(a－b)＝2(a－b)(3x－2y)．(3)(a2－ab)＋c(a－b)；解：原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a＋c)(a－b)．(4)4q(1－p)3＋2(p－1)2.解：原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2(2q－2pq＋1)．綜合題11．兩位同學(xué)將一個二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成(x－1)(x－9)，另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項(xiàng)而分解成(x－2)(x－4)，求原來的二次三項(xiàng)式．解：(x－1)(x－9)＝x2－10x＋9，所以原來的二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)為x2，常數(shù)項(xiàng)為9.(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8，所以原來二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)為－6x.所以原來的二次三項(xiàng)式為x2－6x＋9.公式法第1課時運(yùn)用平方差公式因式分解基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1直接運(yùn)用平方差公式因式分解1．下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是(D)A．4a2＋9b2 B．－a2－9b2C．－(4a2＋9b2) D．4a2－9b22．(百色中考)分解因式：16－x2＝(A)A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)23．(益陽中考)若x2－9＝(x－3)(x＋a)，則a＝3．4．分解因式：(1)4x2－y2；解：原式＝(2x＋y)(2x－y)．(2)－16＋a2b2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)．(3)100x2－9y2；解：原式＝(10x＋3y)(10x－3y)．(4)(x＋2y)2－(x－y)2.解：原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)]＝3y(2x＋y)．知識點(diǎn)2先提公因式后運(yùn)用平方差公式因式分解5．把a(bǔ)3－ab2進(jìn)行因式分解，結(jié)果正確的是(D)A．(a＋ab)(a－ab) B．a(chǎn)(a2－b2)C．a(chǎn)(a－b)2 D．a(chǎn)(a－b)(a＋b)6．(瀘州中考)分解因式：2m2－8＝2(m＋2)(m－2)．7．分解因式：(1)a3－9a；解：原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．(2)(a－b)b2－4(a－b)．解：原式＝(a－b)(b2－4)＝(a－b)(b＋2)(b－2)．易錯點(diǎn)因式分解不徹底導(dǎo)致出錯8．分解因式：16－b4＝(4＋b2)(4－b2)，該結(jié)果不正確(填“正確”或“不正確”)，正確的結(jié)果應(yīng)是(4＋b2)(2＋b)(2－b)．中檔題9．(寧夏中考)如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形．根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是(D)A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．a(chǎn)(a－b)＝a2－abC．(a－b)2＝a2－b2D．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)10．(宜昌中考)小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分別對應(yīng)下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是(C)A．我愛美B．宜昌游C．愛我宜昌D．美我宜昌11．運(yùn)用平方差公式因式分解計(jì)算50×1252－50×252的結(jié)果是750__000．12．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2－3；解：原式＝(x－eq\r(3))(x＋eq\r(3))．(2)x4－4.解：原式＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))．綜合題13．李老師在黑板上寫出三個算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…(1)請你再寫出兩個(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式；(2)用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；(3)證明這個規(guī)律的正確性．解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×－112＝8×6.(2)任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)．(3)設(shè)m，n為整數(shù)，兩個奇數(shù)可表示為2m＋1和2n＋1，則(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①當(dāng)m，n同是奇數(shù)或偶數(shù)時，m－n一定為偶數(shù)，所以4(m－n)一定是8的倍數(shù)；②當(dāng)m，n一奇一偶時，則m＋n＋1一定為偶數(shù)，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍數(shù)．綜上所述，任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)．第2課時運(yùn)用完全平方公式因式分解基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1完全平方式1．下列式子為完全平方式的是(D)A．a(chǎn)2＋ab＋b2 B．a(chǎn)2＋2a＋2C．a(chǎn)2－2b＋b2 D．a(chǎn)2＋2a＋12．(1)若x2－6x＋k是完全平方式，則k＝9；(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，則k＝±4；(3)若x2＋2xy＋m是完全平方式，則m＝y(tǒng)2．知識點(diǎn)2直接運(yùn)用完全平方公式因式分解3．(長春中考)把多項(xiàng)式x2－6x＋9分解因式，結(jié)果正確的是(A)A．(x－3)2 B．(x－9)2C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)4．分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x)2＋y2－2×2x·y＝(2x－y)2.(2)9－12a＋4a2；解：原式＝32－2×3×2a＋(2a)2＝(3－2a)2.(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝(m＋n－3)2.知識點(diǎn)3先提公因式后運(yùn)用完全平方公式因式分解5．(聊城中考)把8a3－8a2＋2a進(jìn)行因式分解，結(jié)果正確的是(C)A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)26．(安徽中考)因式分解：a2b－4ab＋4b＝b(a－2)2．中檔題7．如圖是一個正方形，分成四部分，其面積分別是a2，ab，ab，b2，則原正方形的邊長是(B)A．a(chǎn)2＋b2B．a(chǎn)＋bC．a(chǎn)－bD．a(chǎn)2－b28．4(a－b)2－4(b－a)＋1分解因式的結(jié)果是(A)A．(2a－2b＋1)2 B．(2a＋2b＋1)2C．(2a－2b－1)2 D．(2a－2b＋1)(2a－2b－1)9．(湘潭中考)多項(xiàng)式x2＋1添加一個單項(xiàng)式后可變?yōu)橥耆椒绞?，則添加的單項(xiàng)式可以是答案不唯一，如eq\f(1,4)x4或2x或－2x．(任寫一個符合條件的即可)10．(泰州中考)若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是1.11．利用因式分解計(jì)算：992＋198＋1.解：原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10000.12．已知長方形的長為a，寬為b，周長為16，兩邊的平方和為14.(1)求此長方形的面積；(2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值．解：(1)∵a＋b＝16÷2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝64.∵a2＋b2＝14，∴ab＝25.答：長方形的面積為25.(2)ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝25×82＝1600.小專題16因式分解類型1運(yùn)用提公因式法因式分解1．分解因式：(1)3ab2＋a2b；解：原式＝ab(3b＋a)．(2)2a2－4a；解：原式＝2a(a－2)．(3)m(5－m)＋2(m－5)；解：原式＝(m－2)(5－m)．(4)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.解：原式＝5(x－2y)3(x＋4y)．類型2運(yùn)用公式法因式分解2．分解因式：(1)4x2－25；解：原式＝(2x＋5)(2x－5)．(2)a2＋4a＋4；解：原式＝(a＋2)2.(3)(a＋3)2－(a＋b)2；解：原式＝(2a＋b＋3)(3－b)．(4)(x－1)2－6(x－1)＋9；解：原式＝(x－4)2.(5)(a＋b)2－4(a＋b)＋4；解：原式＝(a＋b－2)2.(6)(x2＋9)2－36x2.解：原式＝[(x2＋9)＋6x][(x2＋9)－6x]＝(x2＋6x＋9)(x2－6x＋9)＝(x＋3)2(x－3)2.類型3先提公因式后運(yùn)用公式法因式分解3．分解因式：(1)x2y－9y；解：原式＝y(tǒng)(x2－9)＝y(tǒng)(x＋3)(x－3)．(2)ax3－axy2；解：原式＝ax(x2－y2)＝ax(x＋y)(x－y)．(3)3x3－6x2y＋3xy2；解：原式＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.(4)－4x3＋8x2－4x；解：原式＝－4x(x2－2x＋1)＝－4x(x－1)2.(5)－2x2＋2x－eq\f(1,2)；解：原式＝－eq\f(1,2)(4x2－4x＋1)＝－eq\f(1,2)(2x－1)2.(6)3m(2x－y)2－3mn2.解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．類型4先去(添)括號后因式分解4．分解因式：(1)x(x－1)－3x＋4；解：原式＝(x－2)2.(2)(x＋y)2－4(x＋y－1)；解：原式＝(x＋y－2)2.(3)(x－2y)2＋8xy；解：原式＝(x＋2y)2.(4)(x＋3)(x＋5)＋x2－25.解：原式＝(x＋3)(x＋5)＋(x＋5)(x－5)＝(x＋5)(x＋3＋x－5)＝(x＋5)(2x－2)＝2(x＋5)(x－1)．類型