挑戰(zhàn)奧數(shù)：運(yùn)用歸納法和拆分法解決分?jǐn)?shù)加法問(wèn)題

挑戰(zhàn)奧數(shù)：運(yùn)用歸納法和拆分法解決分?jǐn)?shù)加法問(wèn)題【例1】簡(jiǎn)便計(jì)算：eq\f(1,30)＋eq\f(2,30)＋eq\f(3,30)＋eq\f(4,30)＋…＋eq\f(29,30)。分析：這是求分母是30的所有真分?jǐn)?shù)的和，同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，只把分子相加求和，1＋2＋3＋…＋28＋29，把式子倒過(guò)來(lái)后：29＋28＋…＋3＋2＋1，你會(huì)發(fā)現(xiàn)1＋29＝2＋28＝3＋27＝…＝15＋15，1＋2＋3＋…＋28＋29＝(1＋29)×29÷2＝分母×真分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)÷2，分母是30的所有真分?jǐn)?shù)的和就是真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)÷2。eq\f(1,30)＋eq\f(2,30)＋eq\f(3,30)＋eq\f(4,30)＋…＋eq\f(29,30)＝(eq\f(1,30)＋eq\f(29,30))×29÷2＝1×29÷2＝29÷2＝心得體會(huì)：同分母的所有真分?jǐn)?shù)相加，只心得體會(huì)：同分母的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用這些分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)除以2，就是它們的和。變式練習(xí)1簡(jiǎn)便計(jì)算。eq\f(1,100)＋eq\f(2,100)＋eq\f(3,100)＋eq\f(4,100)＋…＋eq\f(99,100)＝(eq\f(1,100)＋eq\f(99,100))×99÷2＝1×99÷2＝eq\f(1,50)＋eq\f(3,50)＋eq\f(5,50)＋…＋eq\f(49,50)＝(eq\f(1,50)＋eq\f(49,50))×25÷2＝1×25÷2＝25÷2＝【例2】簡(jiǎn)便計(jì)算：eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋eq\f(1,5×6)＋…＋eq\f(1,9×10)。分析：eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)eq\f(1,4×5)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5)eq\f(1,5×6)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)eq\f(1,9×10)＝eq\f(1,9)－eq\f(1,10)，由此可得公式：eq\f(1,n×（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)(n≠0)。eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋eq\f(1,5×6)＋…＋eq\f(1,9×10)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,9)－eq\f(1,10)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,10)＝eq\f(2,5)心得體會(huì)：一個(gè)分?jǐn)?shù)如果是由兩個(gè)相鄰的自然數(shù)的積作分母，1作分子的，形如心得體會(huì)：一個(gè)分?jǐn)?shù)如果是由兩個(gè)相鄰的自然數(shù)的積作分母，1作分子的，形如eq\f(1,n×（n＋1）)(n≠0)，那么可以把這個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成eq\f(1,n×（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)(n≠0)變式練習(xí)2簡(jiǎn)便計(jì)算。eq\f(1,2)＋eq\f(1,2＋4)＋eq\f(1,2＋4＋6)＋eq\f(1,2＋4＋6＋8)＋eq\f(1,2＋4＋6＋8＋10)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)eq\f(1,2)＋eq\f(5,6)＋eq\f(11,12)＋eq\f(19,20)＋eq\f(29,30)＝1－eq\f(1,2)＋1－eq\f(1,6)＋1－eq\f(1,12)＋1－eq\f(1,20)＋1－eq\f(1,30)＝4eq\f(1,6)eq\a\vs4\al(口,算)100×＝20÷＝÷＝4×5＝÷5＝eq\f(2,3)－eq\f(1,5)＝eq\f(7,15)eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3)eq\f(3,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)eq\f(7,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)eq\f(5,8)－eq\f(1