2021-2022學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明同步練習(xí)練習(xí)題（含詳解）

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明同步練習(xí)

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，已知放△力臺。中，Z<7=90°,/力=30°,在直線6c上取一點(diǎn)兒使得△為6是等腰三角

形，則符合條件的點(diǎn)。有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2、下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,b-JlC.6,8,13D.5,12,15

3,如圖，在△/阿中，NU90°,點(diǎn)〃為比1上一點(diǎn)，DELAB^E,并且應(yīng)廠為〃1上一點(diǎn),

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.DE=DFB.BD=FDC.Z1=Z2D.AB=AC

4、如圖，在中，分別以點(diǎn)4和點(diǎn)8為圓心，以相同的長（大于g48）為半徑作弧，兩弧相交

于點(diǎn)”和點(diǎn)亂作直線網(wǎng),交力8于點(diǎn)〃，交然于點(diǎn)￡,連接S若〃=6,麴=8,及7=4,則△龐。

的周長（）

A.10B.12C.8D.14

5、如圖，△0式中，N4a'與N43的平分線交于點(diǎn)凡過點(diǎn)尸作應(yīng)〃回交四于點(diǎn)〃交然于點(diǎn)

E,那么下列結(jié)論：①△即是等腰三角形；②DE=BACE；③若N4=50°,則/郎T=115°；@DF

=EF.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6、為了測量學(xué)校的景觀池的長48,在刃的延長線上取一點(diǎn)G使得AC=5米，在點(diǎn)C正上方找一點(diǎn)

〃（即DCL3C）,測得/CO3=60。，Z4ZX?=30°,則景觀池的長48為（）

A.5米B.6米C.8米D.10米

7、如圖，等題直角4中，OA^OB,過點(diǎn)4作A￡），OA,若線段上一點(diǎn)。滿足

NCDB=NOBD,則NCB。的度數(shù)為（）

A.42°B.43°C.45°D.60°

8、如圖：將一張長為40cm的長方形紙條按如圖所示折疊，若AB=3BC,則紙條的寬為（）

9、等腰三角形的一個(gè)角是80°,則它的一個(gè)底角的度數(shù)是（）

A.50°B.80°C.50°或80°D.100°或80°

10、如圖，在小中，AB^AC,ZA=120。，BC=6cm,A8的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交

A8于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)尸，則的長為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1,如圖，在四邊形48應(yīng)中，NB=NA,/f=90°,點(diǎn)。在4?上，40：80=5：11,連接切，若點(diǎn)

〃在位的垂直平分線上且滿足N4=2N川C,。=10,則線段的長為_____.

2、在4中，ZBAC=90°,ZC=30°.用無刻度的直尺和圓規(guī)在8c邊上找一點(diǎn)〃，使小。。為

等腰三角形.下列作法正確的有________個(gè).

3、同學(xué)們，我們在今后的學(xué)習(xí)中會學(xué)到這個(gè)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么

它所對的直角邊等于斜邊的一半.即：如圖，在中，N4第=90°,若N48C=30°,則

AC=；A8.問題：在RtAABC,/48=90°,NABC=30°,AC=6，點(diǎn)〃是邊比■的中點(diǎn)，點(diǎn)￡

是斜邊4?上的動點(diǎn)，連接加把△成￡沿直線應(yīng)折疊，點(diǎn)6的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡當(dāng)直線4U/6時(shí)，

/￡的長為.

4、如圖，在△力比'中，點(diǎn)。在的延長線上，NG46平分線與⑦的垂直平分線交于點(diǎn)E,連接

BE.若NACB=28°,N⑸%=25°,則N硼的度數(shù)為____°.

c

5,如圖,在4中，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)、D,△ABD的周長為13cm,

AE=4.5cm,則4的周長cm.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

1、已知：在中，AD平分NBAC,AE=AC.求證：AD//CE.

2、已知，在況'中，N刃C=30°,點(diǎn)。在射線■上，連接NOga,點(diǎn)。關(guān)于直線〃'的

對稱點(diǎn)為笈點(diǎn)后關(guān)于直線4?的對稱點(diǎn)為a直線周'分別交直線4G四于點(diǎn)機(jī)N,連接〃；AE,

CE.

（1）如圖1,點(diǎn)〃在線段比1上.

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；

②4AEF=（用含有。的代數(shù)式表示），ZAMF=°；

③用等式表示線段物，，場.，妒之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)點(diǎn)〃在線段8c的延長線上，且/力〃<60°,直接用等式表示線段協(xié)，皿；，妒之間的數(shù)量關(guān)

系，不證明.

3、如圖，長方形力。仇?在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在y軸上，點(diǎn)6在x軸上，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,

4).

(1)求對角線4?所在直線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)對角線48的垂直平分線腑交x軸于點(diǎn)M,連接AM,求線段4〃的長；

(3)若點(diǎn)尸是直線46上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△必〃的面積與長方形力"的面積相等時(shí)，求點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

4、如圖，是小的角平分線，1于點(diǎn)

BD

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)作1于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).(不寫作

法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)中所作的圖形中，求證：1

5、在△月況'中，AACB=W.現(xiàn)給出以下3個(gè)關(guān)系：①①垂直于力6,②龍平分/四C,③4CFE=

ACEF,請你從中任選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)命題，并證明該命題的正確性.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

根據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：以點(diǎn)從8為圓心，力8長為半徑畫弧，交直線比于兩個(gè)點(diǎn)耳,鳥，然后作48的垂直平分線交直線

比于點(diǎn)鳥，如圖所示:

1

BC2

?：ZC=90°，ZJ=30°，

：.ZABC=60°,

???AP3=BP',

：.△ABA是等邊三角形，

二點(diǎn)&2重合，

...符合條件的點(diǎn)。有2個(gè)；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2、B

【分析】

欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】

解：A、52+4V62,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

B,12+12=（血）2,能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；

C、62+8V132,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

D>122+5V152,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3、C

【分析】

在直角三角形叱中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到班>/r,又所以DF>DE,

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，同理，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，假設(shè)劭=能則可以判定△瞅絲△力?，，所以NB=NDFC,而在

題目中，/B是定角，/%'C隨著尸的變化而變化，假設(shè)不成立，故6選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，由DE=DC,

DCVAC,DELAB,根據(jù)Rt△的gRtaZO(HL)得到C選項(xiàng)是正確的.

【詳解】

解：(1)在直角三角形式尸中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到外>/匕又DC=DE,所以

DF>DE,

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

(2)4BDE與ADCF,只滿足N頗=//尸=90°,&7=龍的條件，不能判定兩個(gè)三角形全等，故不

能得到BD=FD,

另一方面，假設(shè)蚪如，

在RtADBE與/\DFC中,

\BD=FD

\DE=DCJ

：.Rt/\DBE^Rt/\DFC(應(yīng))，

NB=ADFC,

而圖中N6大小是固定的，/加'C的大小隨著尸的變化而變化，故上述假設(shè)是不成立的，

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

(3)SAC,DELAB,DC=DE,

在Rt△曲和Rt△〃勿中，

[AD=AD

\DE=DC'

...RtZ\ZK4gRt△〃0(HL),

.-.Z1=Z2,

故c選項(xiàng)正確；

(4)在直角三角形4%中，利用斜邊長度大于直角邊長度，可以得到4Q4C,

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊不等關(guān)系關(guān)系，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，直

角三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4,A

【分析】

由垂直平分線的性質(zhì)得=故△BEC的周長為BE+EC+BC=AC+BC,計(jì)算即可得出答案.

【詳解】

由題可知：MN為的垂直平分線，

AE=BE,

,/AC=6,

,\AC=AE+EC=BE+EC=6,

??CRM=BE+EC+BC=6+4=10.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5、C

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及等腰三角形的判定和性質(zhì)逐個(gè)判定即可解答.

【詳解】

解：?.?即是N48的角平分線，

：.ADBF=ACBF,

'：DE//BC,

:.乙DFB=4CBF,

：.ADBF=ADFB,

：.BD=DF,

△燒火是等腰三角形；故①正確；

同理，EF=CE,

：.DE=DF+EF=BD^CE,故②正確；

：//=50°,

：.ZABOZACB^130°,

■:BF平令NABC,CF平■分乙ACB,

：.NFBC=-ZABC/FCB=-ZACB,

22

:.NFBC+4FCB=W(ZABOZACB)=65°,

：.ZBFC=180°-65°=115°,故③正確；

當(dāng)△/阿為等腰三角形時(shí)，DF=EF,

但△?!阿不一定是等腰三角形，

:.DF不一定等于EF,故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)

角相等以及等角對等邊來判定等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】

利用勾股定理求出切的長，進(jìn)而求出比1的長，AB=BC-AC即可求解.

【詳解】

解：VDC±BC,

：./DCS=90°,

VZ4￡X7=30°,AC=5,

AAD=2AC=]0,

?*-CD=yjADr-AC2=5A/3，

NCOS=60。，

，NB=30。，

二8。=2c￡>=10后，

BC^^BCr-CD1=15，

AAB=BC-AC=15-5=10m,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理.

7、C

【分析】

過點(diǎn)B作3E_L4),交AO的延長線于E,BFLCD于F,由“A45”可證ABE￡>=AB田，可得

BE=BF=BO,ZEBD=/FBD,由"HZ/'可證RtBCF冬RtRCO,可得NOBC=NCBF,即可求解.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)B作8￡_L4),交4)的延長線于E,BFLCD于F,

-.-AD±AO,BDVAO,

;.ADHBO,

:.ZEDB=NDBO,

又?；NCDB=NOBD,

:.^EDB=ZBDC,

440=45。，DAVAO,

ZDAB=ZBAO=45°,

又?.?BELAD,BOA.AO,

BE—BOf

在ABED和岫FD中，

NE=NBFD=90。

<4BDE=Z.BDF,

BD=BD

/.ABED^ABFD(AAS),

，BE=BF=BO,NEBD=NFBD,

在和R14BCO中,

[BF=BO

[BC=BCf

：.RUBCF沿Rt巫CO,

:.NOBC=NCBF,

ZE+ZE4O+ZAOB+ZOBE=360°,

NOBE=90。，

ZEBD+NDBF+/FBC+NCBO=9QP,

.*.ZDBC=45°,

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔

助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

8、B

【分析】

如圖，延長M7交力〃的延長線于點(diǎn)R設(shè)小x,則力生3筋利用折疊的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)

可表示出紙條的寬物0,的長，從而可表示出紙條的長2/W的長，然后根據(jù)長方形紙條的長為40,

可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可求出紙條的寬.

【詳解】

解：如圖，延長A0交力〃的延長線于點(diǎn)R

設(shè)BOx,則AB^Zx,

???折疊，

:.AB=BM=C0=CD=P0=3x,

...紙條的寬為：物=A。3A"+3產(chǎn)戶7x,

二紙條的長為：2PN=2（7肝3x）=20年40

解得：產(chǎn)2,

...紙條的寬A37X2=14.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目

中的等量關(guān)系列出方程求解.

9、C

【分析】

已知給出一個(gè)角的的度數(shù)為80。，沒有明確是頂角還是底角，要分類討論，聯(lián)合內(nèi)角和求出底角即

可.

【詳解】

解：等腰三角形的一個(gè)角是80°,

當(dāng)80°為底角時(shí)，它的一個(gè)底角是80°,

1Qno_onoinno

當(dāng)80。為頂角時(shí)，它的一個(gè)底角是；=券=50。,

則它的一個(gè)底角是50°或80°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】

此類題要通過作輔助線來溝通各角之間的關(guān)系，首先求出△8%與△。必是等腰三角形，再證明△，碗V

為等邊三角形即可.

【詳解】

解：連接掰AN,

的垂直平分線交回于秋交AB于E,4C的垂直平分線交比于小交4c于E

CN=AN,

:.NMAB=NB,NCAgNC,

砌C=120°,AB=AC,

.?.N6=/C=30°,

：.ABAM+ACAN=^°,N4網(wǎng)占N—60°,

△川邠是等邊三角形，

：.AM=AN=MN,

：.BM=MN=NC,

■:BC=6cm,

:?MN=2cm.

故答案為2cm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)為線段的垂直平分線性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)

鍵.

二、填空題

-7

【分析】

根據(jù)題意過點(diǎn)〃作％CFX.AB,連接然、DE,先證明△以廬△救和△山吐△*C,進(jìn)而設(shè)

AABC=5x,AB=BD=nx,Af^y,則止16尸y,通過勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作，GJ.比，CFLAB,連接絲、DE,

點(diǎn)。在四的垂直平分線上，DGLEC,

：.DE=DC,ZEDG=ZCDG,

VZJ￡r=90°,DGX.EC,NEAD=2/BDC,

：.AE//DG,NEAD=NGDF=2NBDC,ZAED=NGDE,

ZBDC=ZCDG=ZEDG=ZAED,

,:NB=NEAD,ZBDC=ZAED,DE=DC,

:.△ADE^XBCD,AE=BD,

■:DGLEC,CFLAB,ZBDC=NCDG,CD-CD,

:.XGDC^XFDC,

又：宓=10,CG^CE,

小份5,

"：AD\BD=5：11,

設(shè)AABO5x,AE=BAlAx,AQy,則止16『y,

由勾股定理片+第=<^+力尸得至lj121^+100=25+/①

由勾股定理得初=小+歐得至lj25V=25+(16x-y)2②

聯(lián)立①②可解得x=

4

80=11x2=生.

44

故答案為：斗.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用和垂直平分線性質(zhì)，熟練掌握通過垂直平分線

性質(zhì)和角平分線性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2、3

【分析】

根據(jù)圖中的圓心、半徑已經(jīng)角平分線、垂直平分線的作法，依次判斷即可得.

【詳解】

解：第一個(gè)圖以，為圓心，4C長為半徑，

...△ACD為等腰三角形，符合題意；

第二個(gè)圖為作N8AC的角平分線，無法得到△ACO為等腰三角形，不符合題意；

第三個(gè)圖以6為圓心，力6長為半徑，

...為等腰三角形，

,:ZC=30°,

4=60。，

二△M￡>為等邊三角形，

,ZBA￡>=60°,

,ZZMC=90°-60°=30°,

AC=ADAC,

：.CD=DA,

...△ACD為等腰三角形，符合題意；

第四個(gè)圖為作線段4C的垂直平分線，可得/M=DC,

.?.△AC。為等腰三角形，符合題意；

綜上可得：有三個(gè)圖使得zMCD為等腰三角形，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及角平分線、垂直平分線的作法，熟練掌握各個(gè)圖形的作法是解題關(guān)

鍵.

3,也或

2

【分析】

如圖1所示，設(shè)ZF與46交點(diǎn)為G,先求出AB=2G，BC=3,由。是6c的中點(diǎn)，可以得到

1313

BD=-BC=^-由折疊的性質(zhì)可知N片N左30。，B&EF,即可得到。6=-8。=二，

22f24

EG=\EF=\BE,BG=』B?-DG,=強(qiáng),由此即可求出絲的長；如圖2所示，同理可得

224

OG=280=[,BGZBD-DG。=也，EGJEF=!BE,則BE=8G+GE=』8G=M,

AE=AB-BE=—^~

8

【詳解】

解：如圖1所示，設(shè)DF與46交點(diǎn)為G,

：/月吐30°,ZACB=90°,

，AB=2AC=2G,

BC=y/AB2-AC2^3>

?"是比的中點(diǎn)，

BD=-BC=~,

22

圖1

由折疊的性質(zhì)可知N4N比30°,B俁EF,

■:DFLAB,

"DGK/FGB邳）。,

1311

ADG=-BD=-,EG=-EF=-BE,

2422

BG=y/BD2-DG2=—，

4

.R口_2

??DE=—IJCJ=—,

32

AE=AB-BE=^-

如圖2所示，延長/力與A?交于點(diǎn)G,

同理可求出。=斗,EG=2*

二BE=BG+GE=2BG=—

2

二AE=AB-BE=—,

2

故答案為：空或顯.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角

三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4、53

【分析】

過點(diǎn)￡作￡匕“；ENLAD,垂足分別為機(jī)N,證明應(yīng)△比儂應(yīng)△即Y進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

解答：解：如圖，過點(diǎn)￡作也工/C,EN1AD,垂足分別為例N,連接

?.F￡是平分線，

：.EM=EN,

???￡1是"的垂直平分線上的點(diǎn)，

：.EC=EB,

：.ZECB=』EBC=25°,

在以和RtAEBN中,

[EC=EB

[EM=EN'

二RtXEC脛RtAEBNqHD,

：.4EBN=NECM=4ACB^NECB=2&+25°=53°.

故答案為：53.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是線段垂直平分線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握到線段的兩個(gè)

端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上是解題的關(guān)鍵.

5、22

【分析】

根據(jù)“AC的垂直平分線交AC于E,交BC于3"可知"'是4c的垂直平分線，利用中垂線的性質(zhì)可

得屐加，由△回￡）的周長為4/艦13cm,可知AB+BC=12,再求404^辦4.5+4.5=9cm,從而

可以得到△/a'的周長.

【詳解】

解：應(yīng)是4C的垂直平分線，

:.DA=DC,AE^CB^X.5cm

C.AC=AE+CE=^.5+4.5=9cm,

的周長為A/B必盼A/B訃DC=A拼BC=13cm,

...△4%的周長為：力加臥4>13+9=22cm.

故答案為22.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，將△48〃

的周長轉(zhuǎn)化為4a比是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、見解析.

【分析】

先根據(jù)角平分線的定義得到/創(chuàng)場3NBAC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理得到N后g

ABAC,從而得到N為/即可證明4〃〃出

【詳解】

解：平分/力。

，NBAD=gABAC,

■:A芹AC,

：.NE=NACE,

,：NE+NAC氏/BAC,

：.N斤3NBAC,

：.NBAD=NE,

：.AD//CE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形外角定理，熟知相關(guān)定理并

靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

2、(1)①見解析；②60。-。，60；@MF=MA-\-ME,證明見解析；(2)MF=MA-ME

【分析】

(1)①按照要求旋轉(zhuǎn)作圖即可；②由旋轉(zhuǎn)和等腰三角形性質(zhì)解出//能再由三角形外角定理求出

NAMF；③在座上截取6F=,四，連接/G,證明△力用經(jīng)△/圖/且為等邊三角形后即可證得,如

=MA+ME；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①補(bǔ)全圖形如下圖:

A

②?：4CA序乙DAOa,

???N胡尼300+a

：.ZFA^2X（30°+。）

."4231=60。-a；

2

VAAM^ACAE+AAEF-a+60°-a=60°,

故答案是：60°-a,60。；

③MF=MA+ME.

證明：在此上截取距一監(jiān)；連接力G.

A

BD

?.?點(diǎn)〃關(guān)于直線4c的對稱點(diǎn)為E,

：./\ADC^/\AEC.

：.ZCAE=/CAD=a.

,：ZBAC=30°,

.?.N￡4A'=3O°+?.

又?.?點(diǎn)K關(guān)于直線46的對稱點(diǎn)為F,

.?./6垂直平分EF.

：.AF=AE,AFAN=AEAN=30°+?,

..?,180°-2(300+a)

..ZF=ZAEF=-------i---------L=60°-a

2

N4MG=60°-ar+a=60°.

,.,AF=AE,NF=NAEF,GF=ME,

：./\AFG9叢AEM.

：.AG=AM.

又盼=60°,

...△4GV為等邊三角形.

：.MA=MG.

：.MF=MG+GF=MA+ME.

(2)MF=MA-ME,理由如下：

如圖1所示，

???點(diǎn)￡與點(diǎn)少關(guān)于直線48對稱，

.../4彼90°,NE=NF,

又：NA%,滬30°,

：.AM=2MN,

???4滬2人妣2￡獷=gME,

:?M戶AM-ME；

如圖2所示，

??,點(diǎn)E與點(diǎn)、尸關(guān)于直線四對稱，

AZAA^90°,N4NF,

:/胡滬30°,

???4滬2A胴

JA忙2MF+2N六2MRNE+帕M吩MF,

:.M六MA—ME；

A

綜上所述：，汜物-您

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對稱、三角形全等判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)，掌握這些是本題關(guān)鍵.

3、(1)y=~1x+4；(2)5；(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為1(0R號,-yJ.4)或(一詈192，yQJ.)

【分析】

(1)由坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義結(jié)合圖形可得出46點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出對角線4?所在直線的函數(shù)關(guān)系式，

由待定系數(shù)法即可求得結(jié)論；

(2)由勾股定理求出力6的長，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，可得4Q8區(qū)OM=OB-BM,再次利用

勾股定理得出4"的長；

(3)(方法一)先求出直線力［的解析式，設(shè)出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離求出力/邊上的高A,再

結(jié)合三角形面積公式與長方形面積公式即可求出夕點(diǎn)坐標(biāo)；

(方法二)由△為"的面積與長方形3面的面積相等可得出義用"的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,—x+

4),分點(diǎn)。在4"的右側(cè)及左側(cè)兩種情況，找出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，

此題得解.

【詳解】

解：（1）?.?四邊形力施'為長方形，且點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8,4）,

：.AO=CB^\,0B=AC=8,

.?/點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,3點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）.

設(shè)對角線力6所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

1"4=6k=――

則有cQ,小解得：2,

[0=8%+6b=4

二對角線46所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-1x+4.

（2）VZAOB=90°,

；?勾股定理得：AB=^AO2+OB2=475,

;即垂直平分AB,

:.BN=AN=WAB=2逐.

?，即為線段的垂直平分線，

：.AM=BM

設(shè)4仁a,貝8仁a,OM=8—a,

由勾股定理得，a=42+（8—a）2,

解得a=5,即/#=5.

（3）（方法一）：。仁3,

.?.點(diǎn)〃坐標(biāo)為（3,0）.

又?.?點(diǎn)1坐標(biāo)為（0,4）,

4

直線417的解析式為尸一§x+4.

??,點(diǎn)P在直線力及y=—gx+4上,

，設(shè)一點(diǎn)坐標(biāo)為（/，-^w+4）,

2-4

4_32

點(diǎn)尸到直線AM：-x+y-4=0的距離h=

△/W的面積SN產(chǎn)"M?H::屈=s〃L=32,

解得加=±*，

向上。的加『平，J284412884.

故點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（―-――）或（----1—）.

陰

（方法一.）./S長方形0黃方=8X4=32,

S^/>A.V=32?

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（X,—Jx+4）.

當(dāng)點(diǎn)尸在加右側(cè)時(shí)，五小產(chǎn)"孫（為一力）=yX5X（4+yx-4）=32,

山口128

解得：x~~

12844

???點(diǎn)P的