第13章單元復習楊賓

第13章單元復習楊賓第一頁，共54頁?；靖拍?、敘述什么是命題？什么是真命題？什么是假命題？2、命題的題設和結論？改寫命題3、命題的逆命題4、定理的逆定理第一頁第二頁，共54頁。1、可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。2、在數(shù)學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結論兩部分組成的。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項3、要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結論的例子就可以了，在數(shù)學中，這種方法稱為“舉反例”第二頁第三頁，共54頁。4、數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理

,不用證明，也無法用推理進行證明5、數(shù)學中有些命題可以從公理出發(fā)用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理

第三頁第四頁，共54頁。6、邊角邊公理：如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊”或簡記為（S.A.S.）7、角邊角公理：如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等．簡記為“角邊角”或簡記為(A.S.A.)。

8、角角邊定理：如果兩個三角形的兩個角及其中一角的對邊對應相等，那么這兩個三角形全等．簡寫成：“角角邊”或簡記為(A.A.S.)。9、邊邊邊公理：如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等．簡寫為“邊邊邊”，或簡記為（S.S.S.）。第四頁第五頁，共54頁。10、斜邊直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

簡寫成“斜邊、直角邊”或“H.L.”.注意：邊邊角不能判定三角形全等，如：第五頁第六頁，共54頁。邊—邊—角(S.S.A.)——三角形不一定全等邊1邊1邊2邊2角角另一種情況是角不夾在兩邊的中間，形成兩邊一對角（簡稱S.S.A.）——不一定全等第六頁第七頁，共54頁。在幾何里,把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖.最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖.其中,直尺是沒有刻度的;一些復雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的.第七頁第八頁，共54頁。2、作一個角等于已知角3、平分已知角——作圖原理是4、經(jīng)過一已知點作已知直線的垂線5、畫已知線段的垂直平分線——作圖原理是1、作一條線段等于已知線段五種基本作圖三角形全等線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等和兩點確定一條直線第八頁第九頁，共54頁。一般來說，在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題．每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設改成結論，并將結論改成題設，便可得到原命題的逆命題．但是原命題正確，它的逆命題未必正確．例如真命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，此命題就是假命題．如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理

原命題：題設+結論互逆命題逆命題：題設+結論第九頁第十頁，共54頁。逆定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成“等角對等邊”）性質(zhì)定理：等腰三角形的底角相等（簡稱：等邊對等角）等腰三角形第十頁第十一頁，共54頁。角平分線定理及逆定理

角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上線段的垂直平分線定理及逆定理性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等

逆定理：到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．第十一頁第十二頁，共54頁。注意：判斷就是命題.命題可能正確,也可能錯誤.命題一般用陳述句敘述，疑問句、祈使句、感嘆句等不是命題。所有命題都有逆命題，原命題正確，它的逆命題不一定正確；所有定理都是真命題，它的逆命題不一定是真命題。所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命題是真命題才有逆定理。第十二頁第十三頁，共54頁。命題構成：1)在數(shù)學中，許多命題都是由（）（或條件）

和（）兩部分組成.

（）是已知事項，（）是由已知事項推出的事項．2)命題常寫成“如果······那么······”的形式.其中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論．題設結論題設結論第十三頁第十四頁，共54頁。例1把命題“在一個三角形中，等角對等邊”改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出命題的題設與結論．例題

解這個命題可以寫成：“如果在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.”這里的題設是“在一個三角形中有兩個角相等”，結論是“這兩個角所對的邊也相等”.第十四頁第十五頁，共54頁。請你試試看——命題的改寫把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式1、正方形的兩條對角線相等如果一個四邊形是正方形，那么這個正方形的兩條對角線相等2、四個角相等的菱形是正方形

如果菱形的四個角相等，那么這個菱形是正方形3、全等的兩個三角形，三條對應邊相等如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等第十五頁第十六頁，共54頁。請你試試看——命題與逆命題，定理與逆定理寫出下列命題的逆命題并判定真假1、正方形的兩條對角線相等兩條對角線相等的四邊形是正方形（）2、兩直線平行，同位角相等

同位角相等，兩直線平行（）3、全等的兩個三角形，三條對應邊相等三條對應邊相等的兩個三角形全等（）假命題真命題真命題第十六頁第十七頁，共54頁。練習1：指出下列命題的題設和結論，并說出它們的逆命題。1、如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余.一個三角形是直角三角形.結論：逆命題：題設：它的兩個銳角互余.如果一個三角形的兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形.第十七頁第十八頁，共54頁。2、等邊三角形的每個角都等于60°題設：一個三角形是等邊三角形.結論：它的每個角都等于60°逆命題：如果一個三角形的每個角都等于60°，那么這個三角形是等邊三角形.3、全等三角形的對應角相等.題設：兩個三角形是全等三角形.結論：它們的對應角相等.逆命題：如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等.第十八頁第十九頁，共54頁。4、到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.題設：一個點到一個角的兩邊距離相等.結論：它在這個角的平分線上.逆命題：角平分線上一點到角兩邊的距離相等.5、線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.題設：一個點在一條線段的垂直平分線上.結論：它到這條線段的兩個端點的距離相等.逆命題：到一條線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.第十九頁第二十頁，共54頁。6、直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

題設：直角三角形中，一個銳角等于30°結論：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半逆命題：直角三角形中，如果一個銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，那么這個角等于30°第二十頁第二十一頁，共54頁。7、直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方題設：直角三角形中結論：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方逆命題：三角形兩邊的平方和等于另一邊的平方，這個三角形是直角三角形第二十一頁第二十二頁，共54頁?；咀鲌D在幾何里,把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖.最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖.其中,直尺是沒有刻度的;一些復雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的.以前學過的”作一條線段等于已知線段”,就是一種基本作圖.下面介紹幾種基本作圖:第二十二頁第二十三頁，共54頁。已知：線段AB．求作：線段A’B’，使A’B’＝AB．AB作法與示范：(1)

作射線A’C’

；A’C’(2)

以點A’為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交射線A’C’于點B’，B’A’A’B’

就是所求作的線段。示范作法第二十三頁第二十四頁，共54頁。已知：∠AOB。BOA求作：

∠A’O’B’

使∠A’O’B’=∠AOB。O’A’(2)

以點O為圓心，任意長為半徑交OA于點C，(3)以點O’為圓心，畫弧，CD同樣(OC)長為半徑畫弧，C’(4)

以點C’為圓心，CD長為半徑畫弧，D’(5)

過點D’作射線O’B’.B’A’O’B’∠A’O’B’就是所求的角.作法示范(1)作射線O’A’;交OB于點D;交O’A’于點C’;交前面的弧于點D’

，（2）作一個角等于已知角第二十四頁第二十五頁，共54頁。思考：探究與合作你會做一條線段等于所給線段的和或差嗎？abACDaEb線段AE就是求做線段a+b,你能作出b-a嗎？試試看第二十五頁第二十六頁，共54頁。3、平分已知角——角平分線已知：∠AOB。求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC。第二十六頁第二十七頁，共54頁。作法：1、以點O為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA、OB于點D、E。2、分別以D、E為圓心、大于DE的一半的長為半徑畫弧，在∠AOB內(nèi)兩弧交于點C。3、作射線OC。OC就是所求的射線。AOBCDE作角平分線的原理是：三角形全等第二十七頁第二十八頁，共54頁。步驟：1、分別以點A、B為圓心，以大于AB一半的長為半徑畫弧，兩弧的交于點C、D。2、連結CD。則CD是線段AB的垂直平分線．ABCD已知：線段AB。求作：作直線CD交AB于O，使CD⊥AB,且AO=BO.4、畫已知線段的垂直平分線線段的垂直平分線作圖原理是：線段的垂直平分線的點到線段兩端的距離相等和兩點確定一條直線第二十八頁第二十九頁，共54頁。作法：(1)以點C為圓心，任一線段的長為半徑畫弧，交直線l于點A、B；(2)以點A、B為圓心,以大于CB長為半徑在直線一側畫弧，兩弧交于點D；(3)經(jīng)過點C、D作直線CD．直線CD即為所求．①.如圖，點C在直線l上，試過點C畫出直線l的垂線．5.過定點作已知直線的垂線DCABl第二十九頁第三十頁，共54頁。作法：(1)以點C為圓心，以適當長為半徑畫弧，交直線l于點A、B；(2)分別以點A.B為圓心，以CB長為半徑在直線另一側畫弧，兩弧于點D．(3)經(jīng)過點C、D作直線CD．直線CD即為所求．②.如圖，如果點C不在直線l上，試和同學討論，應采取怎樣的步驟，過點C畫出直線l的垂線？ABD第三十頁第三十一頁，共54頁。

你能畫出紅球在第一次反彈后的運動路線嗎？

用一用第三十一頁第三十二頁，共54頁。數(shù)學小知識打臺球時，球的反射角總是等于入射角.入射角反射角O第三十二頁第三十三頁，共54頁。1、已知：∠AOB。利用尺規(guī)作：

∠A’O’B’

使∠A’O’B’=2∠AOB.BOA獨立思考、合作交流；口述作法、保留作圖痕跡。作法一:CA’B’∠A’O’B’為所求.BOA法二:CDC’EB’O’A∠A’O’B’為所求.第三十三頁第三十四頁，共54頁。已知，求作∠ABC，使∠ABC

＝＋尺規(guī)作圖：ba獨立思考、合作交流；口述作法、保留作圖痕跡。第三十四頁第三十五頁，共54頁。ABC作一點P，使點P到∠AOB的距離相等，到點E、F的距離也相等FE第三十五頁第三十六頁，共54頁。知識回顧對應邊相等①AB=DE②BC=EF③CA=FD對應角④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF1、什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。2、全等三角形有什么性質(zhì)？第三十六頁第三十七頁，共54頁。想一想：兩個三角形全等，通常需要3個條件，其中至少要有1組

對應相等。分為：2、三角形全等的判定條件邊①兩邊一角②兩角一邊③三條邊②三個角兩個三角形全等的條件是：應該具備三組對應的元素（邊或角）；如果只有一組或者兩組對應的元素（邊或角），這兩個三角形不一定全等第三十七頁第三十八頁，共54頁。知識點三角形全等的證題思路：第三十八頁第三十九頁，共54頁。問題：如果要證明兩個三角形全等，題中只給出兩個條件，現(xiàn)在又不允許添加條件，你有辦法證明兩個三角形全等嗎？例：如圖AB=AC，AD=AE,你能指出圖中哪些三角形全等？ABEDC缺什么條件，題中能找到嗎？公共角——∠AABCD例：如圖AB=AC，BD=CD,你能指出圖中哪些三角形全等？公共邊——AD第三十九頁第四十頁，共54頁。例:已知，如圖，ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ，求證：ＡＣ＝ＡＤ．有一同學證法如下：

證：連結AB在⊿ABC和⊿ABD中

BC=BD∠C=∠D

AB=AB∴⊿ABC≌⊿ABD(S.A.S.)∴AC=AD你認為這位同學的證法對嗎？如果錯誤，錯在哪里，應怎樣證明？

答：證法錯誤。S.A.S.定理應用錯誤。第四十頁第四十一頁，共54頁。（1）如圖，∠ACB=90°，AC=CB，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的長。練習：解：∵∠BCE=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD∠DAC∠ADC-∠ACD=90°-∠ACD∴∠BCE=∠DAC

又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB∴△CEB≌ADC(A.A.S.)∴AD=CE=2.5cm∴

BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm第四十一頁第四十二頁，共54頁。（2）如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO是角平分線,點D在AC的延長線上,DE過點O且DE⊥AB,垂足為E.(1)請你找出圖中一對相等的線段,并說明它們相等的理由;解：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC∵AO平分∠BAC

又DE⊥ABBC⊥AC∴OE=OC（角平分線上的點到角兩邊的距離相等

（2）圖中共有多少對相等線段，一一把它們找出來，并說明理由ACDOBE第四十二頁第四十三頁，共54頁。練習：3、如圖，∠B=∠C=90度，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DABADCBME證明：過點M作ME⊥AD,∵∠C=90度

∴

ME=MC（角平分線性質(zhì)定理）又∵∠B=90度

MC=MB（M是BC的中點）∴ME=MB（等量代換）∴AM平分∠DAB（角平分線性質(zhì)定理的逆定理）第四十三頁第四十四頁，共54頁。1805年，拿破侖率領大軍與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)，德俄聯(lián)軍在河的北岸設防，而法軍則在南岸集結，中間隔一條很寬的萊茵河，法軍要使炮彈準確落到對方陣地，就必須知道河有多寬，當時雙方劍拔弩張，坐船測量河寬是根本不可能的。拿破侖為解決這個難題在南岸觀望，一時束手無策．忽然，他發(fā)現(xiàn)河水與北岸的邊線，在視野里恰好擦著自己的帽舌邊緣，于是他眉頭一皺計上心來，他先一步一步向后退去，一直退到萊茵河與南岸的邊線正好擦著他的帽舌時，便立定，叫人把這個地方到萊茵河南岸水邊的距離測一下．他知道，量得的距離一定等于河的寬度，于是他命令部下根據(jù)量得的距離確定射擊目標，向北岸的德俄聯(lián)軍發(fā)起炮擊，果然炮彈像長了眼睛，每發(fā)都擊中了目標．士兵們不僅僅是佩服拿破侖的知識，更重要的是拿破侖運用數(shù)學知識的能力．拿破侖測萊茵河河寬第四十四頁第四十五頁，共54頁。第四十五頁第四十六頁，共54頁。試一試已知：A、B兩點之間被一個池塘隔開，無法直接測量A、B間的距離，請給出一個適合可行的方案，畫出設計圖，說明依據(jù)。第四十六頁第四十七頁，共54頁。ECDCDCD第四十七頁第四十八頁，共54頁。試一試,你準行

已知：AB=AC，EB=EC，AE的延長線交BC于D，試說明：BD=CDABDCE解：在△ABE和△ACE中AB=AC，EB=EC，AE=AE∴△ABE≌△ACE(S.S.S.)∴∠BAE＝∠CAE在△ABD和△ACD中∵AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)∴BD=CD第四十八頁第四十九頁，共54頁。做一做

1、如圖，要識別△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把還需要的兩個條