動力學臨界問題的類型與處理方法

動力學臨界問題的類型與處理方法O、問題的緣起高中物理中的動力學臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動力學臨界問題的本質一一供需匹配問題牛頓第二定律￡F=ma，等式的左邊是其他物體提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度a運動時所需要的力（需），因此￡F=ma實際上是供需匹配的方程。當某些外界條件變化時，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動力學臨界問題，本質上講，就是供需匹配問題：①供需相匹配（等號成立），則可維持兩物體間的某種關聯(lián)（如相對靜止、距離不變等）；②若供需不匹配（等號不成立），則兩物體間的該種關聯(lián)被破壞（如兩物體相對滑動、距離增大或者減小等）。二、動力學臨界問題的類型依據(jù)其他物體提供給物體的力的特點，可將動力學臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內(nèi)變化；若所需要的力在該范圍內(nèi)，則能夠維持物體間的某種關聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關聯(lián)被破壞。具有這種特點的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1）靜摩擦力：-FWF<F^，F(xiàn)=NFfmffmfm 0N若：所需FfWFm，則兩物體相對靜止，若：所需Ff>Fm，則兩物體相對滑動。⑵彈力：F加，0WFTWFtm①支持力/壓力FN:所需FN三0，則兩物體相互接觸，所需FN<0，則兩物體相互分離。②繩中張力FT:所需FT滿足0WFTWFTm，則繩子繃直，兩物體維持某間距，所需FT<0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近，所需FT>FTm，則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的相對位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠離。具有這種特點的力有萬有引力、庫侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問題就屬于這類問題的典型，下文重點是供可變型，所以將此問題的處理方法單獨在此處說明，下文不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心廠處的A點以某速度。發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為v），衛(wèi)星在該處所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運動所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道上做圓周運動，有GM解得上做圓周運動，有GM解得v,―即有:TOC\o"1-5"\h\z:GM一—一，， ,v2 Mm i』，，一 ,若：v=v=1——，所需要的向心力m—=G ，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運動，Arr r r2.. GM v2 Mm,若：v>v= ，所需要的向心力m1>G ，供不應求，衛(wèi)星將做離心運動，Arr r r2.. GM一—一，， ,v2 Mm 1』，， ,若：v<v= ，所需要的向心力mi<G——，供過于求，衛(wèi)星將做近心運動。A r r r2三、動力學臨界問題處理的基本方法動力學臨界問題的處理方法有兩種：1、物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點第二步：分析臨界條件—一受力轉變條件如：F=Fm，F(xiàn)N=0，F(xiàn)t=0，F(xiàn)t=Ftm2、數(shù)學解析法第一步：假設法—一假設物體間的該關聯(lián)正常第二步：動力學方程（或平衡方程）+受力范圍條件如：下,m<FWfFnNO, 0WFT<Ftm不過，在此處要做一個說明：物理分析法對學生的生活經(jīng)驗或者物理實驗的經(jīng)驗有較強的依賴性，而數(shù)學解析法則對學生的數(shù)學能力—-解不等式組—-有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)劣，不同學生、不同問題，方法的選擇就會不同。【例1】（靜摩擦力類）如圖所示，質量M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)〃=0.2。現(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F，要使物塊保持與小車相對靜止.則拉力F不能超過多少？g取10m/s2.【解析】方法一：物理分析法 氯告 第一步：極端分析法一一找到臨界點 ?0 Q ~~'F根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，拉力F很小時，m將隨M一起 向右加速運動，拉力F很大時，m將相對M向后滑動。因此，拉力F從很小逐漸增大時，必定有一個時候（F取某個值F0），此時，m就要相對M向后滑動但還沒有相對滑動。這個狀態(tài)即為本問題的臨界點。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件在拉力F很小時，m之所以能夠隨M一起向右加速運動，是因為M對m的靜摩擦力足以維持兩物體相對靜止—-給m提供隨M一起向右加速運動的加速度一一這個加速度隨整體加速度增大而增大；當達到臨界點時，整體加速度達到了一個臨界值，此時，是最大靜摩擦力給m提供加速度；若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度—-不能滿足需要，于是就會發(fā)生相對滑動。即：最大靜摩擦力給m提供加速度，是本問題的臨界受力轉變條件。小物塊：Mmg=ma0整體：F=（M+m）a0 0聯(lián)立解得：F=（M+m）用=20N0即：拉力F不能超過20N。方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法——假設物體間的該關聯(lián)正常設m隨M一起向右加速運動，加速度為a.第二步：動力學方程（或平衡方程）受力范圍條件小物塊：F=maf靜整體：F=（M+m）a

其中：F^^^mg/靜聯(lián)立解得F<20N【總結】本問題中研究對象的選取是關鍵——在本題中，對才有供需匹配的問題——對來說，拉力需要多大，就可以施加多大，因此，應先選為研究對象來分析臨界受力轉變條件。若本題拉力施加在上，則應先選為研究對象來分析臨界受力轉變條件?！纠?】（靜摩擦力類）如圖所示，質量m=1kg的物塊放在傾角為0的斜面上，斜面體質量M=2kg,斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)〃=0.2,地面光滑，0=37°.現(xiàn)對斜面體施加一水平推力F,要使物體m相對斜面靜止，力F應為多大？（設物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點推力F很小時，由于本題中日<tan37。，物體m就會相對斜面下滑，推力F很大時，物體m就會相對斜面上滑，因此，本題有兩個臨界點：推力F較小且大小合適時，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑；推力F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件推力F大小合適時，物體m之所以能夠相對斜面靜止，是因為能夠提供的靜摩擦力足以維持物體m相對斜面靜止;當推力F較小且大小合適時，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑，此時是沿斜面向上的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設此時推力為F1，此時物塊受力如圖甲.對m有：%方向：FN1sin0—rFN1cos0=ma1 ①y方向：FN1cos0+rFN1sin0—mg=0 ②解①②兩式得：a1=4.78m/s2對整體有：F1=（M+m）a1,所以F1=14.34N.當推力F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑，此時是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設此時推力為F2,此時物塊受力如圖乙.對m有：％方向：FN2sin0+rFN2cos0=ma2 ③y方向：FN2cos0—rFN2sin0—mg=0 ④解③④兩式得：a2=11.2m/s2對整體有：F2=（M+m）a2，所以F2=33.6N.F的范圍為：14.34N<F<33.6N.方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法——假設物體間的該關聯(lián)正常設m隨M一起向左加速運動，加速度為a.此時物塊受力如圖丙.第二步：動力學方程（或平衡方程）受力范圍條件對m有：TOC\o"1-5"\h\z%方向：FNsin0—Ffcos0=ma ⑤y方向：FNcos0+Ffsin0—mg=0 ⑥由于推力F較小時，物體m有相對斜面下滑的趨勢（摩擦力沿斜面向上），推力F較大時，物體m有相對斜面上滑的趨勢（摩擦力沿斜面向下），則有：-RFNWfrFN ⑦解⑤⑥⑦三式，得F的范圍為：14.34N<F<33.6N.

【總結】物理分析法對學生分析能力要求較高，但是其分析出來的結果很直觀；數(shù)學解析法盡管分析過程簡單些，但計算上講麻煩一點，而且算出來的結果直觀性較差。【例3】（彈力類——FN）試分析在豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側運動時，小球通過最高點的條件?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇═OC\o"1-5"\h\z第一步：極端分析法——找到臨界點 .——根據(jù)實驗，我們知道，小球在最低點初速度較大時，小球可以在圓周軌道內(nèi)側做完整圓周運動，小球在最低點初速度較小時，小球在到達最高點前就已脫離軌道做了斜拋運動。因此，必定有一種情況，小球在 /"'最低點初速度合適時，小球剛好能夠通過圓周最高點，由能量守恒可知， 0J-此時小球在最高點速度是確定的某個值。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件小球速度較大時，小球在最高點會緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點時，就是剛好到達最高點且不壓軌道時—一即FN=0.此時V2 ,——對小球： mg=m— 解得v=工gRR即小球通過最高點的條件是：小球在最高點的速度V之族方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法——假設物體間的該關聯(lián)正常其受力如圖所示。設小球能夠通過最高點，并設此時小球通過最高點的速度為V，第二步：動力學方程（或平衡方程）受力范圍條件其受力如圖所示。L v2對小球，有： mg+F=mnR其中F.只可能向下、不可能向上，即：F>0N N聯(lián)立，解得V>gRR【總結】如下圖甲、乙兩種情況中，F(xiàn)T、Fn均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點的條件均是v>RRR；如圖丙的情況，輕桿對小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于vRR，也可小于JRR，即小球能夠通過最高點的條件是v>0。圖甲 圖乙【例4】（彈力類——FN）如右圖所示，在傾角為e的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧，彈簧下端連有一質量為m的小球，小球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a（a<gsin3）沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間。【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點擋板A下滑過程中，最開始一段時間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當擋板A下滑太遠時，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個臨界點一一小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件門曙

離開。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件門曙開始時小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當小球和擋板就分開后，兩者之間沒有壓力—一因此，小球就要離開擋板時，小球和擋板間的壓力為F=0.此時，對小球，有： mgsin0—kx=ma即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x=m3?—a)時小球與擋板分離。k由運動學公式X=1at2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為t=,：2m(gsin0-a)ka’方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法——假設物體間的該關聯(lián)正常TOC\o"1-5"\h\z設小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。 FNF /N^1第二步：動力學方程(或平衡方程)受力范圍條件 ＞彈一/此時，對小球，有： mgsin0-FN-kx=ma其中：FN-0e,、m(g, _m(gsin0—a) lf\o"CurrentDocument"聯(lián)立解得：xW~~- "gk即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x=m(gs?一a)時小球與擋板分離。k由運動學公式x=1at2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為t=_；2m(gsin0-a)\ika【總結】分離類問題，分離條件均是相互接觸的兩個物體間壓力FN=0時。不過要注意的是，分離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個物體在垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學生以為小球加速度為零時分離，從而出錯?！纠?】(彈力類——NT)如圖所示，繩AC、BC一端拴在豎直桿上，另一端拴著一個質量為m的小球，其中AC桿長度為/.當豎直桿以某一角速度①轉動時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時AC繩與豎直方向夾角為30°,BC繩與豎直方向夾角為45°。試求①的取值范圍。已知重力加速度為g.【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法——找到臨界點根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，當只有AC繩時，轉動桿的角速度①越大，AC繩偏離豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉動的角速度①太小，AC繩偏離豎直方向的夾角太小，BC繩就會松弛；若桿轉動的角速度①太大，BC繩偏離豎直方向的夾角太大，AC繩就會松弛；桿轉動的角速度①合適時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。即存在兩個臨界點一一桿轉動的角速度①較小，BC繩剛好松弛；桿轉動的角速度①較大，AC繩剛好松弛一一這兩種情況下，AC繩、BC繩與豎直方向夾角分別為30°和45°不變。第二步：分析臨界條件——受力轉變條件桿轉動的角速度①較小，BC繩剛好松弛，此時BC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT1,設此時的角速度為①1,則有豎直方向：FT1cos30°—mg=0水平方向：FT1sin30°=m①12r其中r=lsin30°,12,/3g聯(lián)立解得3JT

桿轉動的角速度⑴較大，AC繩剛好松弛，此時AC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT2,設此時的角速度為刃2,則有豎直方向：FT2cos45°—mg=0水平方向：FT2sin45°=m822r其中r=lsin30°聯(lián)立解得3—一2\l則當桿轉動角速度滿足I：2逑<3<.當時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。3l l方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法——假設物體間的該關聯(lián)正常設豎直桿以某一角速度①轉動時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時AC繩中張力為FT1,BC繩中張力為FT2。。第二步：動力學方程（或平衡方程）受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FT1cos30°+FT2cos45°—mg=0水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°=mm1r由于繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，因此有 FT1三0,FT2三0聯(lián)立解得：｛與g<3<泮33l ll【總結】對大多數(shù)學生來說，物理分析法分析這個問題要簡單直接一些；數(shù)學解