基于多目標(biāo)規(guī)劃的投資組合優(yōu)化模型

基于多目標(biāo)規(guī)劃的投資組合優(yōu)化模型

俗話說“不要把所有的蛋都放在籃子里”。在證券市場中，投資類型的增加對投資的投資風(fēng)險也越來越小。用怎么樣的投資組合才能在多變的證券市場中以較低的風(fēng)險獲取盡可能高的收益是眾多的投資者所關(guān)心的問題。伴隨著這個問題的產(chǎn)生,證券投資組合理論應(yīng)運而生?，F(xiàn)在證券組合選擇已經(jīng)成為金融管理和投資決策的重要組成部分。自從1952年Markowitz提出證券組合分析以來,各種投資組合理論層出不窮。這里介紹一種多目標(biāo)規(guī)劃法進(jìn)行投資組合的方法。1.經(jīng)濟環(huán)境模型眾所周知,一個完整的投資過程是由兩部分組成的。第一部分是證券與市場分析。在這一階段投資者只有考慮到各種影響市場的因素,才能做出正確分析。但是由于經(jīng)濟現(xiàn)象的復(fù)雜多樣性,如果考慮所有的影響因素去建模型這無異于十八世紀(jì)一些科學(xué)幻想制造的“永動機”。因此,任何證券組合方法都需要對證券市場作出一些切合實際的理論假定,以減少模型中的不確定性,使模型具有可操作性。同樣的,多目標(biāo)規(guī)劃法也不例外。1.1.小額存款vi1.1.1投資人是理性的(即經(jīng)濟社會中的人都具有趨利避險的天性);1.1.2投資者在決策時不考慮二次投資;1.1.3購買某種證券(Si)時要交納交易費,其費率(Pi)及計算最低費率的起價(Vi)已知;1.1.4銀行存款(也視為一種投資)無最低存款額限制,且無交易費用,其收益率(r0)為銀行同期存款利率,風(fēng)險損失率(即實際收益率可能偏離預(yù)期值的程度,用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差表示,即qi=Di[x]????√)qi=Di[x]);1.1.5某種資產(chǎn)實際收益率不受投資數(shù)額的影響;1.1.6各種投資的收益相互獨立,即投資于任意一種資產(chǎn)的收益只與其自身因素有關(guān),不受其它投資影響;1.1.7總投資風(fēng)險用各項投資中最大風(fēng)險來度量這是因為風(fēng)險隨證券數(shù)目增多逐漸減小,因此用各項投資中最大風(fēng)險衡量總投資風(fēng)險體現(xiàn)了投資中的謹(jǐn)慎性原則。1.2.si的風(fēng)險損失率sin:可供投資的資產(chǎn)種類數(shù);Si:可供選擇的第i種資產(chǎn);ri:投資于Si的平均收益率;Ri:投資于Si的可能收益率;qi:投資于Si的風(fēng)險損失率;pi:投資于Si時需交納交易費的費率;ui:計算交易費時的最低起價額;mi:投資于Si的投資額;ci:投資于Si所花的交易費;Qi:投資的總體風(fēng)險;m:各種投資所獲的全部費用;RCi:各項投資扣除費用后的凈收益;RC:各項投資的凈收益之和;2.最優(yōu)投資組合在證券投資中,對于低度回避風(fēng)險的投資者,即對于風(fēng)險容忍度較大的投資者,將選擇具有高期望回報率的投資組合,盡管較高回報率伴隨的是較大的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)。對于高度回避風(fēng)險的投資者,將選擇風(fēng)險較低的組合,這里低風(fēng)險是通過期望回報率有較小的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)來度量。根據(jù)馬克維茨的投資理論,理性的投資行為應(yīng)具有“非滿足性”和“風(fēng)險回避性”兩個特征,即投資者在承受相同風(fēng)險的條件下總是選擇較高收益率的證券組合,或者在具有相同收益率的情況下選擇風(fēng)險較小的證券組合,因此,投資者根據(jù)以上兩個特征進(jìn)行組合證券投資,構(gòu)造自己滿意的證券投資組合。在多目標(biāo)規(guī)劃中這兩種類型的解釋方法只要稍加變換,模型基本上是完全一樣的,因此我們這里只討論其中一種,即凈收益盡可能大,而總體風(fēng)險盡可能小。在對證券市場作出合理假設(shè)之后,投資過程的第二步就是對n項資產(chǎn)作出分析,并利用分析結(jié)果建模,并得出最優(yōu)投資組合。首先根據(jù)假設(shè)容易得出投資于資產(chǎn)Si應(yīng)交納的交易費用為:Ci=?????pimimi≥uipiui0＜mi＜ui0mi=0Ci={pimimi≥uipiui0＜mi＜ui0mi=0則投資者凈收益為其收益扣除交易費的余額:RCi=rimi-ci;那么進(jìn)行n項投資的所有凈收益為:RC=Σi=0nRCiRC=Σi=0nRCi;由前面的假設(shè)可以得出n項投資的總體風(fēng)險:Max{miqi|i=0…n}。所以該問題的數(shù)學(xué)模型為:在式(1)中,對不同的投資者來說收益和風(fēng)險的權(quán)重不同且第二個目標(biāo)(Maxmiqi)的值不斷發(fā)生變化,為便于投資者根據(jù)模型選擇適合自己偏好的投資組合方案,根據(jù)實際情況,我們假定投資者在每次投資前都根據(jù)其對風(fēng)險的不同偏好,確定風(fēng)險損失率的最高上限q,由q可確定總體風(fēng)險的最大上限。當(dāng)投資者每項投資的風(fēng)險值都小于最大上限時,就認(rèn)為此投資組合是可接受的。此時的模型簡化為如下的線性規(guī)劃問題:MaxRc=Σi=0n(rimi?ci)s.t?????????miqi≤q(Σi=0nmi)Σi=0nmi+Σi=0nci=M(2)ΜaxRc=Σi=0n(rimi-ci)s.t{miqi≤q(Σi=0nmi)Σi=0nmi+Σi=0nci=Μ(2)對于式(2)的規(guī)劃模型有如下定理成立:在相同的風(fēng)險損失率下,對于不同的M值,其最優(yōu)方案中投資于各種資產(chǎn)的比例不變(證明見附錄)。因此將式(2)中的M換為1并不影響最終結(jié)果,只不過這樣所求得的總的凈收益變?yōu)橥顿Y組合的凈收益率。從本質(zhì)上說,該規(guī)劃模型的建立是專門用來使投資組合在給定風(fēng)險損失率上限的水平上,使收益率最大。該規(guī)劃模型求出不同的風(fēng)險損失率水平上收益最大的投資組合。按照這種方式下去,該規(guī)劃模型可求出不同風(fēng)險偏好的投資者一系列不同的投資組合,根據(jù)常識:風(fēng)險越高,投資者要求的收益率也就越高,據(jù)此,我們可認(rèn)為風(fēng)險與收益之間存在如下關(guān)系:根據(jù)圖形,投資者可以任意選擇不同的風(fēng)險與收益組合。而且每個投資者還可根據(jù)自身情況建立風(fēng)險與收益之間的回歸模型。利用模型選擇投資組合。3.投資組合的頻率與風(fēng)險損失率的關(guān)系為了驗證模型的實用性,我們利用下表的數(shù)據(jù)來檢驗上述的多目標(biāo)規(guī)劃模型。設(shè)某公司有一筆相當(dāng)大的資金M用作一個時期的投資。目前市場上有n種資產(chǎn)供其選擇,在這一時期內(nèi)投資于各種資產(chǎn)的平均收益率和風(fēng)險損失率已預(yù)測出,資料如下表:由上表數(shù)據(jù)可以看出,在風(fēng)險損失率大于0時,隨著最大風(fēng)險損失率的增加,投資逐漸集中于一種或少數(shù)幾種資產(chǎn),投資組合的收益率增長幅度越來越小,這與實際情況相吻合。為確定投資組合的收盜率和風(fēng)險損失率的關(guān)系,可在0—60%之間,等步長取k個點,代入式(2)用Lindo軟件分別求出其最大收益率,得到k組數(shù)據(jù),以此作為樣本對其進(jìn)行回歸分析。根據(jù)這k組數(shù)據(jù)的散點圖(見圖一),采用雙曲線模型1r=a+bq1r=a+bq進(jìn)行回歸,得出回歸方程為其擬合1r=2.33762+0.1319q1r=2.33762+0.1319q度R2為98.5%,a、b的T檢驗值分別為33.849、31.456,因此認(rèn)為用此方程表示投資組合的收益率與風(fēng)險損失率的關(guān)系較為合理。令h=drdq=0.1319(2.33762+0.1319)2,hh=drdq=0.1319(2.33762+0.1319)2,h表示投資者愿意接受的單位風(fēng)險損失率所能帶來的收益率的增量的最小值。對每一個投資者來說,可以認(rèn)為其可接受的h值一定,因此可以根據(jù)投資者的h值,由回歸方程可得到投資者愿意接受的最大風(fēng)險損失率,利用式(2)便可以得出投資者的最優(yōu)投資方案。4.投資si金額在m的比例由以上的分析可知,利用多目標(biāo)規(guī)劃法做證券投資組合分析不失為一種好方法。這種方法利用投資取舍原則,排除了部分投資項目,縮小了問題的規(guī)模,使問題易于求解,且在求解過程中,將一個十分復(fù)雜的多目標(biāo)規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃求解,既找到了合適的解又提高了運算速度和效率。而且采取固定風(fēng)險計算最大收益的方法,不僅使求解過程大大簡化,同時也給投資者多個方案進(jìn)行選擇,可操作性較強。附錄:證明:設(shè)投資為M時,投資Si金額在M中所占的比例為ai,投資為kM時,投資Si金額在kM所占的比例為bi,不投資時所占比例為0。當(dāng)投資為M時,模型為:MaxRCi=MΣi=0nai(ri?pi)s.t?????????aiqiM≤qΣi=0naiM(1)Σi=0n(ai+aipi)M=MΜaxRCi=ΜΣi=0nai(ri-pi)s.t{aiqiΜ≤qΣi=0naiΜ(1)Σi=0n(ai+aipi)Μ=Μ當(dāng)投資為kM時,模型為:令RC1=RC2/k,則