陜西省、青海省、四川省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月第二次月考練習(xí)卷數(shù)學(xué)（理）試題 02（含解析）

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陜西省、青海省、四川省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三第二次月考復(fù)習(xí)模擬卷（理）02

（集合與邏輯語句，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形）

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合，，則（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵，，則，，故選D。

2．下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，且為單調(diào)遞增函數(shù)，故選A。

3．已知集合，集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵直線與圓相離，∴的元素個(gè)數(shù)為，故選A。

4．已知、是一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，則“且”是“且”的

（）。

A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若且，則，

但是，時(shí)，滿足但不滿足，，

∴“且”是“且”的充分不必要條件，故選A。

5．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”。如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美。給出定義：能夠?qū)⒁宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心的圓的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為此圓的“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中一定是“優(yōu)美函數(shù)”的為（）。

A、B、

C、D、

【答案】C

【解析】根據(jù)優(yōu)美函數(shù)的定義可知，優(yōu)美函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，

A選項(xiàng)，不是奇函數(shù)，錯(cuò)，

B選項(xiàng)，不是奇函數(shù)，錯(cuò)，

C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，對，

D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，∴圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，錯(cuò)，

故選C。

6．若，，則（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵，∴，∴，∴，故選A。

7．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)、、處測得一個(gè)建筑物的仰角分別為、、，且，則建筑物的高度為（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】設(shè)建筑物的高度為，由題圖知，，，，

在中，由余弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，

∵，∴

解得（舍去）或（可取），即建筑物的高度為，故選D。

8．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】∵，，，∴，故選C。

9．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】當(dāng)時(shí)，，由題意可知，即，

當(dāng)時(shí)，，由題意可知，即，

∴的取值范圍為，故選D。

10．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程

（）有且僅有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、或B、或C、或D、或

【答案】C

【解析】∵函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，

作函數(shù)的圖像，

由于關(guān)于的方程，

解得或，

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，

由，則有個(gè)實(shí)根，由題意，只要有個(gè)實(shí)根，

由圖像可得當(dāng)時(shí)，有個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有個(gè)實(shí)根，

綜上可得：或，故選C。

11．已知函數(shù)，其中、、，則以下判斷正確的是（）。

A、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

B、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

C、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

D、函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且，

【答案】A

【解析】∵、，，∴，

，

，

，

∴存在，使得，且，

存在，使得，且、，

∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且，，故選A。

12．已知函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)、，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】、，

當(dāng)時(shí)，，是過定點(diǎn)的一次函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，最小值為，

根據(jù)直線和拋物線的知識可知：存在不相等的實(shí)數(shù)、，使成立，

當(dāng)時(shí)，，，

∴存在不相等的實(shí)數(shù)、，使成立，

當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，在遞增，

即在上遞增，∴不存在符合題意的、，

當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增，

根據(jù)直線和拋物線的知識可知：存在不相等的實(shí)數(shù)、，使成立，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選C。

二、填空題：本題共4小題，每小題6分，共20分。

13．已知函數(shù)，則。

【答案】

【解析】。

14．大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（，），已知大氣壓強(qiáng)（）隨高度（）的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強(qiáng)，。當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭?qiáng)是海平面處大氣壓強(qiáng)的，則高山上該處的海拔為米。（答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）

【答案】

【解析】由題意可知：，解得，∴（）。

15．在中，角、、的對邊分別是、、，且滿足，則。

【答案】

【解析】∵，∴，

∴，∴，

又，，∴，又，∴。

16．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。

【答案】

【解析】令，定義域?yàn)椋?/p>

與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，

，在內(nèi)單調(diào)遞增，令，即，

令，定義域?yàn)?，，?dāng)恒成立，

∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴存在唯一一個(gè)，使得，即，即，

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值也是最小值為，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∵在有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，即，

∵，∴，，則，

即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為。

三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分10分）已知，：，：。

（1）已知是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】（1）∵是成立的必要不充分條件，∴且，

則是的真子集，則解得，

又當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為；5分

（2）∵是成立的充分不必要條件，∴是的真子集，

則，解得，又當(dāng)時(shí)，兩集合相等，舍去，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為。10分

18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）在上的最大值為，把函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移（）個(gè)單位后，得到的函數(shù)的圖像，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）在中，三個(gè)內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，已知在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，若，求的面積的最大值。

【解析】（1）由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，1分

∴，，得，，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)滿足題意，故，3分

∴，故，，4分

∴，，又，∴，故；6分

（2）由題意知，，∴，，∴，8分

又得，∴，∴，10分

∴，∴的面積的最大值為。12分

19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（是常數(shù)）。

（1）若當(dāng)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若存在時(shí)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若方程在上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，2分

的對稱軸為，時(shí)的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；4分

（2）若存在時(shí)，恒有成立，則存在時(shí)，使得成立，6分

于是只需時(shí)的最小值為，即，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；8分

（3）若方程在上有唯一實(shí)數(shù)解，則在上有唯一實(shí)數(shù)解，9分

∵，故在上不可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，

令，∵，故只需，解得，11分

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是。12分

20．（本小題滿分12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且。

（1）證明：；

（2）求角的最大值。

【答案】（1）證明：在中，，

由題意得：，

即，∴，2分

由余弦定理得，化簡得，4分

又，∴一定為鈍角，∴、一定為銳角，

∴，

∴；6分

（2）解：由（1）得，8分

∵，∴，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，11分

此時(shí)取得最大值，又，∴角的最大值為。12分

21．（本小題滿分12分）設(shè)。

（1）證明；

（2）若，證明：。

【解析】（1）設(shè)，，則，1分

令，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，2分

于是有，，則在上單調(diào)遞增，3分

則當(dāng)時(shí)，即在上恒成立；4分

（2）由（1）知，則，5分

下面證明，令，則對于而言單調(diào)遞增，6分

∴需證明，即，7分

設(shè)，則，，，8分

在上單調(diào)遞增，9分

則在上單調(diào)遞增，10分

∴，即，即，11分

綜上。12分

22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，函數(shù)。

（1）試比較與的大??；

（2）若方程有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】（1）令，定義域?yàn)椋?/p>

∴，1分

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，2分

∴當(dāng)時(shí)，，也即，

當(dāng)時(shí)，，也即，

當(dāng)時(shí)，，也即，

綜上可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；4分

（2）設(shè)，定義域?yàn)?，?/p>

∵，∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)為，5分

當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，不滿足題意，6分

∴，，設(shè)，，

若，則恒成立，∴恒成立，∴單調(diào)，不合題意，7分

∴，即，解得，下面證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，則、，∴、，

不妨設(shè)，則、，8分

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∵，且，∴，，9分

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，

，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，

又，∴函數(shù)在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，則，

又，∴函數(shù)在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，11分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)根。12分絕密★啟用并使用完畢前測試時(shí)間：年月日時(shí)分——時(shí)分

陜西省、青海省、四川省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三第二次月考復(fù)習(xí)模擬卷（理）02

（集合與邏輯語句，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形）

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合，，則（）。

A、B、C、D、

2．下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）。

A、B、C、D、

3．已知集合，集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）。

A、B、C、D、

4．已知、是一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，則“且”是“且”的

（）。

A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

5．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”。如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美。給出定義：能夠?qū)⒁宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心的圓的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為此圓的“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中一定是“優(yōu)美函數(shù)”的為（）。

A、

B、

C、

D、

6．若，，則（）。

A、B、C、D、

7．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)、、處測得一個(gè)建筑物的仰角分別為、、，且，則建筑物的高度為（）。

A、

B、

C、

D、

8．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）。

A、B、C、D、

9．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

10．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程

（）有且僅有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、或B、或C、或D、或

11．已知函數(shù)，其中、、，則以下判斷正確的是（）。

A、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

B、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

C、函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、（），且、

D、函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且，

12．已知函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)、，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、