北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊 （定義與命題）平行線的證明新課件(第2課時)

第七章

平行線的證明7.2定義與命題第2課時

1課堂講解定理與公理證明2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升想一想

舉一個反例就可以說明一個命題是假命題，那么如何證實一個命題是真命題呢？

1知識點定理與公理知1－導(dǎo)用我們以前學(xué)過的觀察、實驗、驗證特例等方法.這些方法往往不可靠.能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實呢？知1－導(dǎo)那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實的？哦……那可怎么辦？1.其實，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題.公元

前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上，古

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前300年前后）編寫了一

本書，書名叫做《原本》（Elements）.為了說明每一結(jié)論的

正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分數(shù)

學(xué)名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發(fā)點和依

據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認的真命題稱為公理

(axiom).除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理

的方法進行判斷.

知1－講2.本套教科書選用九條基本事實作為證明的出發(fā)點和依據(jù)，我們

已經(jīng)認識了其中的八條，它們是：（1）兩點確定一條直線.（2）兩點之間線段最短.

（3）同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩

條直線平行(簡述為：同位角相等，兩直線平行).

（5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.

知1－講（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.（8）三邊分別相等的兩個三角形全等.另外一條基本事實我們將在后面的學(xué)習(xí)中認識它.此外，數(shù)與式的運算律和運算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，

以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).

例如，如果a=b，b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也可以作為

證明的依據(jù)，稱為“等量代換”.又如，如果a>b，b>c，

那么a>c,這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù).知1－講例1下列命題不是公理的是(

)A．兩點確定一條直線B．兩點之間線段最短C．兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D．三邊分別相等的兩個三角形全等導(dǎo)引：公認的真命題稱為公理，其正確性不需要推理

證實．知1－講（來自《點撥》）C總

結(jié)知1－講（來自《點撥》）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等是定理，不是公理．1“兩點之間，線段最短”這一語句是(

)

A．定理B．公理C．定義D．假命題2下列敘述錯誤的是(

)A．所有的命題都有條件和結(jié)論B．所有的命題都是定理C．所有的定理都是命題D．所有的公理都是真命題知1－練（來自《典中點》）BB2知識點證明知2－講

演繹推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.每個定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來證明.知2－講定義、命題、基本事實(公理)、定理之間的區(qū)別

與聯(lián)系：(1)聯(lián)系：這四者都是命題．(2)區(qū)別：定義、基本事實、定理都是真命題，

都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，

只不過基本事實是最原始的依據(jù)；而命題不

一定是真命題，因而不能作為進一步判斷其

他命題真假的依據(jù).

知2－講例2已知：如圖,直線AB與直線CD相交于點O,

∠AOC與∠BOD是對頂角.求證：∠AOC=∠BOD.證明：∵直線AB與直線CD相交于點O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定義).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補角(補角的定義).∴∠AOC=∠BOD(同角的補角相等).由上面的例題，我們可以得到定理：

定理對頂角相等.（來自教材）知2－講例3如圖，在直線AC上取一點O，作射線OB，OE和OF，使OE和OF分別平分∠AOB和∠BOC，求證：OE⊥OF.證明：因為OE和OF分別平分∠AOB和∠BOC，所以∠EOB＝又因為∠AOB＋∠BOC＝180°，所以∠EOB＋∠BOF＝×180°＝90°.即∠EOF＝90°，所以O(shè)E⊥OF.

（來自《點撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點撥》）要證明命題是正確的，可以從條件出發(fā)，根據(jù)定義、公理和已學(xué)過的定理，逐步進行推理．

知2－練（來自《典中點》）1下列說法錯誤的是(

)A．命題是判斷一件事情的句子B．基本事實的正確性必須得到證明C．證明假命題舉一個反例即可D．推理的過程叫做證明B知2－練（來自《典中點》）2在每一步推理后面的括號內(nèi)填上理由．證明：(1)如圖①，因為AB∥CD，EF∥CD，所以

AB∥EF(________________________________)．(2)如圖②，因為AB∥CD，過點F畫EF∥AB(____________________________________________)，

所以

EF∥CD(______________________________)．平行于同一條直線的兩直線平行平行于同一條直線的兩直線平行過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行幾何的推理方法主要有兩種：一種是綜合法，即由“因”到“果”，由已知條件逐步推導(dǎo)出結(jié)論；一種是分析法，即執(zhí)“果”索“因”，根據(jù)要推出的結(jié)論，分析必須找到什么樣的條件，一步一步反推到條件．證明的一般步驟：①審題，分清命題的條件和結(jié)論；②畫圖，結(jié)合圖形寫出已知和求證；③分析因果關(guān)系，找出證明途徑；④有條理地寫出證明過程．第二章·實數(shù)二次根式

2.什么是一個數(shù)的平方根？如何表示？1.什么叫做一個數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(或二次方根).

用(a≥0)表示.

一般地，若一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根.

a的算術(shù)平方根是(a≥0),其中0的算術(shù)平方根是0.知識回顧正數(shù)有兩個平方根且互為相反數(shù)；

0有一個平方根是0；

負數(shù)沒有平方根.

3.平方根的性質(zhì)是什么？1.16的平方根是什么?算術(shù)平方根是什么？2.0的平方根是什么？算術(shù)平方根是什么？3.－7有沒有平方根？有沒有算術(shù)平方根？正數(shù)和0都有算術(shù)平方根；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.思考

如圖所示，已知正方形的面積為b-3，則正方形的邊長是.b-3表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根;a叫做被開方數(shù).

你認為所得的各代數(shù)式有哪些共同特點？一般地，形如（a≥0)的式子叫做二次根式;共同探究

2.a可以是數(shù),也可以是式；3.形式上含有二次根號；5.既可表示開平方運算,也可表示運算的結(jié)果.1.表示a的算術(shù)平方根；4.a≥0,

≥0

(雙重非負性)；一般地，形如（a≥0)的式子叫做二次根式.核心歸納觀察下面的式子，它們都有什么共同特點？被開方數(shù)不含分母，也沒有能開得盡方的因數(shù)想一想：（a≥0，b≥0）注：在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示非負數(shù)．積的算術(shù)平方根等于各個被開方數(shù)算術(shù)平方根的積.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式.核心歸納成立嗎？為什么？想一想：非負數(shù)

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)核心歸納

(m≤0),(x,y

異號)，例1

說一說下列各式哪些是二次根式.自主探究⑴⑵

(3)(4)，(5)

判斷下列代數(shù)式中哪些是二次根式.，練一練（）例2

求下列二次根式中字母的取值范圍：【解析】（1）由于被開方數(shù)是非負數(shù)，可

知a+1≥0，即a≥-1.

（2）由于被開方數(shù)是非負數(shù)，且分母不

為零，可知1-2a>0，即a<.

（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意實數(shù).自主探究2.已知a，b為實數(shù)，且滿足你能求出a及a+b

的值嗎？【解析】依題意知：2b-1≥0，1-2b≥0,所以b=,把b=代入原式，得a=1,所以a+b=1+=1.滿足什么條件的根式是最簡二次根式?試化簡下列二次根式：2.上述化簡后的二次根式有什么特點?你會怎么對它們進行分類?幾個二次根式化簡后被開方數(shù)相同為一組；為一組.二次根式的乘除運算還記得嗎?（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．

二次根式的乘法法則和除法法則（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．典例精析例1：計算:練一練計算:1.試回顧如何計算3a2·2a3=

.還記得單項式乘以單項式的法則嗎？2.如何計算呢？6a5解：歸納總結(jié)二次根式的乘法擴充法則第一步：根號外的系數(shù)與系數(shù)相乘，積為結(jié)果的系數(shù)；第二步：根式和根式按公式相乘.

利用它可以進行二次根式的化簡.想一想（2）x2+2x2+4y=

;1.（1）3x2+2x2=

;2.類比合并同類項的方法，想想如何計算：解：3.能不能再進行計算?為什么?答：不能，因為它們都是最簡二次根式，被開方數(shù)不相同，所以不能合并.5x23x2+4y合作探究二次根式的加減運算典例精析解：(1)原式=例2：計算:(2)原式=(3)原式=(4)原式=典例精析解：(5)原式=例2：計算:(6)原式=歸納總結(jié)二次根式的加減法法則

一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.要點提醒1.加減法的運算步驟：“一化簡二判斷三合并”.2.合并的前提條件：只有被開方數(shù)相同的最簡二次根式才能進行合并.問題引入

如果梯形的上、下底長分別為

cm,cm，高為

cm，那么它的面積是多少？二次根式的混合運算例1：計算：

解：（1）（2）解法一：（3）你還有其他解法嗎？解法二：原式=解：(4)原式=思考：還可以繼續(xù)化簡嗎？為什么？

如果算式當(dāng)中有個別二次根式化簡最簡二次根式仍不能與其它最簡二次根式合并同類項，結(jié)果中可保留，不必化為最簡式.提醒

二次根式的混合運算，一般先將二次根式轉(zhuǎn)化為最簡二次根式，再靈活運用乘法公式等知識來簡化計算.要點歸納二次根式的化簡求值問題：化簡，其中a=3，b=2.你是怎么做的？解法一：把a=3，b=2代入代數(shù)式中，原式=解法二：原式=把a=3，b=2代入代數(shù)式中，原式先代入后化簡先化簡后代入哪種簡便？

解二次根式化簡求值問題時，直接代入求值很麻煩，要先化簡已知條件，再用乘法公式變形代入即可求得．方法總結(jié)例2：已知，求分析：先化