第15講信號與系統(tǒng)課件

信號與線性系統(tǒng)第15講教材位置:第6章連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)§6.6內(nèi)容概要:系統(tǒng)的穩(wěn)定性信號與線性系統(tǒng)第15講開講前言-前講回顧系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)的表示方法頻率特性、復軌跡、極點零點圖重點介紹極零圖的表示方法系統(tǒng)函數(shù)極點零點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性右半平面極點系統(tǒng)不穩(wěn)定左半平面極點系統(tǒng)穩(wěn)定虛軸極點特殊考慮系統(tǒng)函數(shù)極點零點分布與系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)函數(shù)極點零點的矢量表示極點零點附近的幅度、相位特征9/17/20232信號與線性系統(tǒng)－第15講開講前言-前講回顧系統(tǒng)函數(shù)的定義8/7/20232信號與線性開講前言－本講導入系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的意義無源系統(tǒng)穩(wěn)定有源系統(tǒng)不一定穩(wěn)定有源反饋系統(tǒng)，穩(wěn)定性是設(shè)計中重要問題穩(wěn)定性的定義從直觀感性的認識到嚴格數(shù)學的定義穩(wěn)定性的判定響應(yīng)形式的分析工程判定方法9/17/20233信號與線性系統(tǒng)－第15講開講前言－本講導入系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的意義8/7/20233信號§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件時域分析穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：對于有限（有界）的激勵只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)。若|e(t)|Me0t<則|r(t)|Mr0t<其中Me和Mr為有限的正實數(shù)。根據(jù)卷積積分r(t)=h(t)e(t)

|r(t)|＝|h(t)e(t)|有限，所以也有限，于是對穩(wěn)定系統(tǒng)，沖激響應(yīng)函數(shù)滿足絕對可積條件。|h(t)e(t)|Me=9/17/20234信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件|h(t)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性頻域分析穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)全部極點落于s左半平面（不含虛軸），則可以滿足，系統(tǒng)穩(wěn)定；不穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)極點落于s右半平面或在虛軸上具有二階以上的極點，則在足夠長時間以后，h(t)仍繼續(xù)增長，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：若H(s)的極點位于s平面的虛軸上,且只有一階,則在足夠長時間以后,h(t)趨于一個非零的有限值或形成一個等幅振蕩,此為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的一個重要性質(zhì)穩(wěn)定系統(tǒng)的H(s)分子多項式的冪次m最多只能比分母多項式的冪次n高一次，即mn+1。若m>n，s在無窮大處有（m–n）階極點，而無窮大在虛軸上，穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上不能有重階極點，故有m–n1，既得mn+1。9/17/20235信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性頻域分析8/7/20235信號與線性系統(tǒng)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性反饋系統(tǒng)E(s)G(s)=Y(s)[R(s)–H(s)Y(s)]G(s)=Y(s)R(s)G(s)=Y(s)[1+H(s)G(s)]這里T(s)是整個反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，G(s)H(s)為開環(huán)轉(zhuǎn)移函數(shù)。

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/17/20236信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性反饋系統(tǒng)G(s)H(s)R(s)+-E§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、通過轉(zhuǎn)移函數(shù)，初步判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)的極點必須位于S的左半平面內(nèi)極點位于虛軸上—稱為臨界穩(wěn)定.極點位于S右半平面上—不穩(wěn)定.穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上只能有單階極點.在復變函數(shù)理論中,s=0,s=∞的點都落在虛軸上.當m>n時,s→∞時,虛軸上就會有m-n階極點,為保證系統(tǒng)穩(wěn)定m-n=1,只有一階極點。9/17/20237信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、通過轉(zhuǎn)移函數(shù)，初步判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性8§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性多項式分解，用系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（必要條件）將H(s)的分母D(s)多項式分解，穩(wěn)定系統(tǒng)只出現(xiàn)：(s+a)—實根，(s2+bs+c)—復根，(s2+d)—虛根。（a、b、c、d為正）多項式系數(shù)an～a0都應(yīng)為正值(或全部為負值）D(s)多項式從最高次冪排列到最低次冪應(yīng)無缺項，僅允許a0=0。此時有一零根－－系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件若D(s)缺全部的偶次項(包括a0項)，或缺全部的奇次項。－－系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件9/17/20238信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性多項式分解，用系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（必要§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征多項式系數(shù)進行的判定是必要性判定不滿足上述條件的，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定滿足上述條件，系統(tǒng)不能保證穩(wěn)定舉例2s3+s2+s1+6=0符合第一條件，全部系數(shù)同號，沒有缺失項但是此方程的三個根分別為9/17/20239信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征多項式系數(shù)進行的判定是必要性判定8/§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據(jù)若D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0

D(s)方程式的根全部位于s左半平面的必要條件是：多項式的全部系數(shù)都是正值（或均為負值）且無缺項.充分必要條件是：羅斯陣列中第一列數(shù)字（或稱元素）符號相同。羅斯陣列的排寫規(guī)則：（1）將D(s)的所有系數(shù)按如下順序排成兩行。anan-1an-2an-3an-4an-5an-6an-7依此類推排到a0止9/17/202310信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據(jù)a§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAnBnCnDn------Sn-1An-1Bn-1Cn-1Dn-1----Sn-2An-2Bn-2Cn-2-----

----Sn-3An-3Bn-3Cn-3----------S2A2B20S1A100S0A000頭兩行為An=an,An-1=an-1,Bn=an-2,Bn-1=an-3,Cn=an-4,---------下面各行按如下公式計算：11121112112------------=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA---9/17/202311信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAn§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性這樣構(gòu)成的陣列共有（n+1）行，且最后兩行都只有一個元素。第一列稱為羅斯數(shù)列。觀察羅斯陣列中第一列數(shù)字有無符號變化，若有，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；反之，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。羅斯定理：在羅斯數(shù)列中，若各數(shù)字符號不盡相同，則順次計算符號變化的次數(shù)等于方程所具有的實部為正的根數(shù)。221123221123-------------=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA--各元素的一般遞推式為iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111++-++--=-=--9/17/202312信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性這樣構(gòu)成的陣列共有（n+1）行，且最后兩§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實部為正的根。解：該方程的羅斯陣列為可見方程有兩個具有正實部的根，且可判定此特征方程對應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。2s3+s2+s+6=0S321S216S1-110s0609/17/202313信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實部為正的根。2§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：有反饋系統(tǒng)如圖所示，其中H(s)=1時，稱為全反饋。問K為何值系統(tǒng)穩(wěn)定？解：該反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/17/202314信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：有反饋系統(tǒng)如圖所示，其中G(s)§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)的特征方程為：它的羅斯陣列為：分析陣列知系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：合并兩個不等式，得到s3+5s2+4s+K=0S314S25K0S0K0S1>0及K>00<K<209/17/202315信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)的特征方程為：s3+5s§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況（1）羅斯陣列中出現(xiàn)某一行的第一列元素為零（即Ai=0），而其余元素又不全為零。例：s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0求解：S5142S4142S3010此行用ε10來代替010，ε10繼續(xù)排列羅斯表S210S100S0100符號改變9/17/202316信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況符號改§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時出現(xiàn)某一行元素全部為零，系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，具體確定還要采用輔助多項式分析。全零行前一行的元素組成輔助多項式輔助多項式的導數(shù)的系數(shù)代替全零行再繼續(xù)排列羅斯陣列增加判斷虛軸上面的極點是否單極點，才能最后決定系統(tǒng)穩(wěn)定性例題：D(s)=s3+4s2+2s+8=0S312S248S100利用全零行上一行系數(shù)組成輔助多項式80P(s)=4s2+8求導得到P’(s)=8s+0S08解P(s)=0，得到s=±jR－H數(shù)列無符號變化，S右半平面無極點，虛軸上面為共軛單極點系統(tǒng)臨界穩(wěn)定29/17/202317信號與線性系統(tǒng)－第15講§6.6系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時出現(xiàn)某一行元素全部本講小結(jié)穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性時域分析沖擊響應(yīng)滿足絕對可積條件穩(wěn)定性復頻域分析系統(tǒng)函數(shù)極點在復頻域位置與系統(tǒng)穩(wěn)定根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)判斷穩(wěn)定性特征方程系數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定的必要性條件R-H判斷方法系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件9/17/202318信號與線性系統(tǒng)－第15講本講小結(jié)穩(wěn)定性定義8/7/202318信號與線性系統(tǒng)－第15信號與線性系統(tǒng)第