初中數(shù)學(xué)破題致勝微方法等腰直角三角形中的手拉手模

#等腰直角三角形手拉手模型的補全例：如圖1,在4ABC中，CA=CB,NACB=90°,D是4ABC內(nèi)部一點，NADC=135°,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE.(1)①依題意補全圖形；②請判斷NADC和NCDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.(2)在(1)的條件下，連接BE,過點C作CM,DE,請判斷線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．(3)如圖2,在正方形ABCD中，AB=、;2，如果PD=1,NBPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.圖1 圖2分析：(1)②NADC+NCDE=180°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證明A、D、E三點在同一條直線上，得到AE=AD+DE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，實質(zhì)得到兩個等腰直角三角形手牽手相似，則可證明△ACD04BCE,得到AD二BE,又CD二CE,NDCE=90°,CM，DE,得到DE=2CM,?'.AE=BE+2CM.(3)作AFLBP于F,此圖可看成不完整的等腰直角三角形手牽手，則相當(dāng)于^ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,??.作AHLBP于H,如圖，形成三角形4ABD和4AHP手牽手，3-1??.△ABH04ADP,???BP;BH+HP=PD+2AF,在Rt^BPD中借助勾股定理可得AF=——

解：（1）①依題意補全圖形（如下圖）;②ZADC+ZCDE=180°.(2)線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM,理由如下：??線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,?.CD=CE,ZDCE=90°.??.ZCDE=ZCED=45°.又：ZADC=135°,AZADC+ZCDE=180°,??A、D、￡三點在同一條直線上.AE=AD+DE.又???ZACB=90°,ANACB—NDCB=NDCE—NDCB,即ZACD=ZBCE.又\?AC=BC,CD=CE,??.AACD^ABCE..\AD=BE.???CD=CE,ZDCE=90°,CMXDE.ADE=2CM.AE=BE+2CM.(3)點A到BP的距離為亙二1.2總結(jié)：在等腰直角三角形頂角頂點的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了一個利用腰形成的三角形時，往往借助等線段、共端點考慮用旋轉(zhuǎn)的思路構(gòu)造此三角形旋轉(zhuǎn)90°利用等腰三角形另一腰形成三角形解決問題練習(xí)：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖I,4ACB和4DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.填空：①NAEB的度數(shù)為;②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2,4ACB和4DCE均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°點A、D、E在同一直線上，CM為4DCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷NAEB的度數(shù)及線段AM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說