人教版九年級上冊數(shù)學第六講《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》學案(附訓練題及答案)

人教版九年級上冊數(shù)學第六講《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》學案【趣題引路】例生產(chǎn)某商品Xt需費用舊「；.「.「元，出售該商品Xt時的價格是每噸a+%元，其b中a,b是常數(shù)，如果生產(chǎn)出的商品都能賣掉，并且當產(chǎn)量是1502時利潤最大，這時的價格是每噸40元，求a，b的值.解析設賣出Xt的利潤是y元，則y=X(a+-)-(1000+5X+?X2)b 10,11、 , =(— )X2+(a—5)X—1000b10，又由題設知，當X=150時，y最大因此<-—a~5Γ~=1502(—)

b10150aH =40b即1,300a+ =35b150/八aH =40b解得a=45，b=-30.當b=-30時，（1-,）＜0，b10???函數(shù)有最大值，，a=45,b=-30為所求.點評：這是一個關(guān)于商品的利潤問題，解決此類問題的關(guān)鍵是函數(shù)建模，使之轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解.二次函數(shù)的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等聯(lián)系起來.【知識延伸】例1已知二次函數(shù)y=aX2+bX+C的圖象與X軸的一個交點坐標是（8,0）,頂點坐標是（6,-12）,求這個二次函數(shù)的解析式.解析方法一：由題意可列方程組aX82+bX8+c=0b=62acb2—=—124a解得a=3,b=—36,c=96.故函數(shù)解析式為y=3X2-36x+96；方法二：設所求解析式為y=a(X-6)2-12.又圖象過(8,0),.?.a(8-6)2-12=0,.?.a=3故函數(shù)解析式為y=3x2-36x+96；方法三：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=6對稱，因此圖象一定通過(8,0)和點(4,0),即4,8是方程ax2+bx+C=0的兩個根，因而二次函數(shù)可以寫成y=a(x-4)(X-8).又函數(shù)圖象過(6,-12),.??a(6-4)(6-8)=-12.?.a=3故函數(shù)解析式為y=3x2-36x+96.點評：在求二次函數(shù)解析式時，若已知拋物線上任意三點，常設一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);若已知頂點或?qū)ΨQ軸，常設頂點式：y=a(x+m)2+n，其中(-加,n)為頂點；若已知拋物線與X軸交點的坐標時，常設交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).【例2】已知拋物線y=x2+px+q上有一點M(X0,%)位于X軸下方，(1)求證：已知拋物線必與X軸有兩個交點A(X1,0),B(x2,0),其中X1<x2；(2)求證；X1<X0<x2；(3)當點M為(1,-1999)時，求整數(shù)x1,x2.y<0解析(1)由已知，得J0y°=X02+PX+q=(x+E)2-p~4q.

0 02 4Δ=p2-4q=4(x+P)-4y>0艮^Δ>0,02 0???方程x2+px+q=0有兩個實根，且不相等.不妨設x1<x2,拋物線與x軸有兩個交點A(x1,0),B(x2,0)；(2)由韋達定理?x1+X2=-PIx,x=q

12又y0=X02+Px0+q<0,即X02-(X1+X2)X0+X1X2<0,(x0-x1)(x0-x2)<0,∣PX1<x0<x2；(3)當點M為(1,-1999)時有X0=1,y0=-1999,則由X1,x2為整數(shù)，(X1-1)(x2-1)也為整數(shù)，且x1-1>x2-1,得，%I1=1999或HT=1IX-1=-1 IX-1=-199922解得尸1=2000或尸1=2IX=0 IX=-199822點評：此題“A”的求值較新穎，值得借鑒；第（3）問利用二次三項式的因式分解過渡自然.【好題妙解】佳題新題品味例：設拋物線產(chǎn)“X2+bχ+C開口向下，與X軸交于-1與3處，試判斷下列關(guān)系式哪些是正確的？（1）abc>0；（2）a+b+C=0；（3）a=--b；2（4）3b=2C；（5）a-b+C>0；（6）5a+b+C>0；（7）C>2b； （8）9a+3b+C=0.解析由開口向下知，a<0.由于拋物線與x軸交于x1=-1與x2=3處..y=a（X-X1）（X-X2）=a（X+1）（X-3）=aX2-2aX-3a，即b=—2a，c=—3a.由此可知abc=6a3<0表明（1）錯；a+b+c=—4a>0表明（2）錯；b=—2a表明（3）對；3b=—6a，2c=—6a表明（4）對；a—b+C=0表明（5）錯；5a+b+C=0表明（6）錯；c-2b=a<0，（7）錯；9a+3b+C=0，（8）對.中考真題欣賞例（北京市中考題）已知拋物線y=ax2+4ax+1了與X軸一個交點為A（—1,0）（1）求拋物線與X軸另一個交點B的坐標；（2）D是拋物線與y軸交點，C是拋物線上一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸，y軸的距離之比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在拋物線對稱軸同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使△APE的周長最??？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解析（1）由已知，—1為方程ax2+4ax+1=0的一根，設另一根為X2,則-1+X=-4a=-4，2 2a/.X2=-3，即拋物線與X軸另一交點為（-3,0）；（2）由（1）知—1?%=-2a??t=3a.則拋物線解析式為y=ax2+4a%+3a,???D為（0,3a）.又AB//CD.：.C為（-4,3a）,???∣AB∣=2,∣CD∣=4,梯形高為∣3a∣.,9=.3∣al，求得a=±1.故所求拋物線為y=x2+4%+3或y=-x2-4%-3；（3）設E（x0，為）則y=--x（X<0）.0 0 0 200&）若a=-1,則y=-x2-4X-3即--X=-x2-4X-3,0 0 0 20 0 0而此方程無實根；（ii）若a=1,則Uy=x2+4x+3.解方程-5X=X2+4X+3,,得X=-1,X=-6（舍去）.,0 0 0 20 0 0 01 2 02E（-1,5）.24AE長度一定，只須PA+AE最小.又點A關(guān)于X=-2的對稱點為B（-3,0）,,PA+PE=PB+PE≥BE.??P為BE與X=-2的交點時滿足題設要求.不難求得BE解析式為y=1x+3,22令X=-2,得y=2,,P（-2,~）即存在這樣的點P（-2,2）滿足（3）要求.點評：本題難點在（3）,關(guān)鍵是將^APE周長最小的條件轉(zhuǎn)化為B、P、E三點共線，從而求點P.競賽樣題展示例1若二次函數(shù)y=ax2+bx+C（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0,1）和（-1,0）,則S=a+b+c的值的變化范圍是（ ）.A.0<S<1B.0<S<2 C.1<S<2解析：將(0,1),(-1,0)代入y=GX2+bx+C得D.-1<S<1C=1即JC=1a一b+c=0Ia=b一1..??S=a+b+c=2b.???二次函數(shù)y=ax2+bx+c頂點在第一象限，.??一b〉0.又a=b-1，2a. b-〉0,即2b(b-1)<0.2(b-1).0<b<1即0<S<2.選B.點評：本題只給出兩點，不能求出a、b、c具體的值，只能求出a、b、c之間的關(guān)系，據(jù)此再求S的取值范圍.例2已知嬴是兩位數(shù)，二次函數(shù)y=X2+mx+n的圖象與X軸交于不同的兩點，這兩點間距離不超過2.(1)求證：0<m2-4n≤4;(2)求出所有這樣的兩位數(shù)mn.解析(1)設y=x2+mx+n的圖象與X軸的兩交點為A(X1,0),B(x2,0),X1≠X2，則X「X2為方程X2+mx+n=0的兩個不同實根，.X+X=-m,X?X=n.1 2 1 2又0<IX-XI≤2,即0<(X+X)2-4XX≤4,1 2 1 2 12也即0<m2-4n≤4(2)：m,n為整數(shù)(m≠0),???m2-4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1.故m2-4n被4除也余0或1,從而只能有m2-4n=1或m2-4n=4.解這兩個不定方程，得：m=1, Jm=3, Jm=5, Jm=2, Jm=4, Jm=6,n=0, In=2, In=6, In=0, In=3, In=8,，所求兩位數(shù)為10,32,56,20,43,68.點評：一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c與X軸兩交點的橫坐標即是方程ax2+bx+C=0的兩根，利用韋達定理即可求解.【過關(guān)檢測】A級.已知函數(shù)y=(m2+m)X2+mx+4,(1)m是何值時，y是X的一次函數(shù)？(2)m是何值時，y是x的二次函數(shù)？.已知拋物線y二2X2與直線'二x+k有交點，求k的取值范圍..已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,0)和(-1,8)，且與拋物線y=2X2的開口方向及形狀相同.(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)求其頂點坐標和與X軸交點坐標；(3)若將此拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°后,求旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式..二次函數(shù)y=X2+bX+C的圖象向左平移兩個單位，再向上平移三個單位，得到二次函數(shù)y=X2-2X+1，求b、C的值..已知拋物線y=X2+2X+(m-2)，問：當m取何值時，拋物線與y軸的交點在X軸的上方,在X軸的下方，拋物線過原點？.拋物線y=狽2+bx+c的對稱軸是x=1,則下列關(guān)系成立的是( )(如圖6-1)A.abc>0 B.a+b+c<0 C.a2<ab-ac圖6-1D.以上均不對B級1.設一元二次方程ax2+bx+C=0的商根為98，99,在二次函數(shù)y=X2+bx+C中，若X取0，1,2，…，100則y的值能被6整除的個數(shù)是().A.33 B.34 C.65 D.67.二次函數(shù)y=a2X2-4X+1有最小值-1，則a的值是().A.√2 B.-、、.2 C.土√2 D.±2.如圖6-2,已知拋物線j=1x2+(k+1)X+k+1(k為常數(shù))，與X軸交于A(X,0)，B(X,0)22 1 2(X<0<X)兩點，與y軸交于。點，且滿足(OA+OB)2=OC2+16.12(1)求此拋物線解析式；(2)設M、N是拋物線在X軸上方的兩點，且與X軸的距離均為1,點P是拋物線頂點，問：過M、N、C三點的圓與直線CP是否只有一個公共點C？試證明你的結(jié)論.圖6-2.已知拋物線y=3X2+bx+C與X軸交于A(-30，與y軸交于點E(0,-1).(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)若點Q(m,n)在此拋物線上，且—3≤m≤3,求n的取值范圍；(3)設點B是此拋物線與X軸的另一個交點，P是拋物線上異于點B的一個動點，連結(jié)BP交y軸于點N(點N在點E的上方)，若^AOE?△BONfWP的坐標..已知二次函數(shù)y=αx2+bx+c的圖象的頂點是。，它與X軸有兩個不相同的交點A和B.(1)若點C的橫坐標是3,A、B兩點的距離是8,求方程ax2-(6a-b)X+9a-3b+C=0的根;(2)若點C到X軸的距離等于A、B兩點距離的k倍，求證：b2-4ac=16k2.第六講一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)A級1.(l)m=-1時4是％的一次函數(shù)；(2)mH0,且∕nWl時,y是三的二次函數(shù).2,n-?β? ,T二),??rE?q;.(l)y=2x2-4x+2.(2)￠1,0),(110), (3)y=-3+4UC.δ=-6tc=6..在y=上2+〃+(6—2)中,令#=0,則y≈m-2.當m-2>0,即m>2時,拋物線與y軸交于?軸上方；? ??M當m-2<0,即迎<2時,拋物線與，軸交于欠軸下方；..；：.*'當m-2κθ,即n=2時,拋物線過原點. "?.D.B級 ,Zj?.D.由已知可得b=-197,c=98x99,則y=/—1974+98x99=%(x+l)-1984+98x99.要使6人貝∣J6∣r(4+1).又2∣x(%+l),只須3MZ+1),則3卜或3∣x+1：當3%時,共有［乎］+1=34個,當3卜+1時,共有［啜=33個故共67個,選D.2.C.由題意得Qj且%聲…,解得…后(1)7(04+Ofi)2=OC2+16t.?.(-X1+x2)2=OC2+16,λ49+∣?)'-4x2?+1)=(八1產(chǎn)÷16,得*］=-24=4.?.?x1<0<?t?e.xl?X2≈2(?+1)<0.fiβA<-1tΛA-2.拋物線為y=∕√-弄-1.(2)過M、N、C三點的圓與直線CP只有一個公共點C.如圖4所示拋物線上的*

點M、N在力軸上方,且到*粕距離均為1,設MN交y軸于點%.?.M(-1,1),

扭(4,1),且C(0,-1),P(∣?,q),在RtAMEC中,MCJ5.同理Nd=20.又圖4AfTV2=25,λMM=MC2+N